2019-2020学年重庆市第一中学高二上学期期中考试 数学 word版

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秘密★启用前 【考试时间：11月28日10:00—12:00】‎ ‎2019年重庆一中高2021级高二上期期中考试 数学测试试题卷 注意事项：‎ 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。‎ 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。‎ 3. 考试结束后，将答题卡交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 在中，角所对的边分别为，，，则等于( )‎ A. B. C. D.9‎ ‎3. 双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（ ）‎ A. B. C. D.2‎ ‎4. 已知直线与直线平行，则与的距离为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5．已知抛物线：的焦点为，是上一点，且，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6．椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，是坐标原点，则的值为（ ）‎ A. 8 B. 4 C.3 D.2‎ ‎7.已知双曲线方程为，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 若圆与圆有公共点，则的范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 过抛物线的焦点，作斜率大于的直线交抛物线于 两点 ‎（在的上方），且与抛物线的准线交于点，若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 设是双曲线的一个焦点，，是的两个顶点，上存在一点，使得与以为直径的圆相切于，且是线段的中点，则的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．设分别是双曲线的左右顶点，设过的直线与双曲线分别交于点,直线交轴于点，过的直线交双曲线的于两点，且，则的面积（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。‎ ‎13．已知，，且，则________.‎ ‎14．已知定点，点是圆上的动点，则线段的中点的轨迹方程为__________．‎ ‎15．如图，正方体中，E为线段的中点，‎ 则直线AE与直线所成角的余弦值为 ．‎ ‎16．设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为 . ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17. （10分）在△中，角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求△的面积.‎ ‎18．（12分）如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎19．（12分）已知过点的圆的圆心为，且圆与直线相切.‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）若过点且斜率为的直线交圆于两点，若的面积为，求直线的方程.‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，， ,点为棱的中点．‎ ‎（1）证明:；‎ ‎（2）若为棱上一点，满足，‎ 求二面角的余弦值．‎ ‎21．（12分）设抛物线的焦点为，过点作垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过点.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)若直线与抛物线交于，两点，点为曲线:上的动点，求面积的最小值.‎ ‎22．（12分）已知椭圆上的点到右焦点的最大距离为，离心率为.‎ 求椭圆的方程；‎ 如图，过点的动直线交椭圆于 两点，直线的斜率为，为椭圆上的一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且.过原点作以为圆心，以为半径的圆的切线，切点为.令，求取值范围.‎ ‎2019年重庆一中高2021级高二上期期中考试数学参考答案 一．选择题 BCBDD BACCA DA 二．填空题 ‎13． 14． 15. 16．‎ 三．解答题 ‎17.（1）因为， 由正弦定理可得：， 所以，即， 由，则， 由于，故.‎ ‎（2）由余弦定理得，，所以，‎ 故.‎ ‎18．（1）证明：如图，连接，. 在三棱柱中，为的中点.‎ 又因为为的中点， 所以.又平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 所以，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则， 令，得.‎ 记与平面所成角为，则.‎ ‎19. （1）设圆的标准方程为：，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 由题意得，解得或（舍去），所以，‎ 所以圆的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，‎ 又点到直线的距离为，‎ ‎，解得，，‎ 则直线的方程为.‎ ‎20. （1）∵底面，，‎ ‎∴以分别为轴正方向建立 空间直角坐标系，向量，‎ 故，所以．‎ ‎（2）向量．‎ 由点在棱上，设．‎ 故．‎ 由，得，因此，解得．‎ 即．设为平面的法向量，则 即．不妨令，可得为平面的一个法向量．‎ 取平面的法向量，‎ 则，易知，二面角是锐角，所以其余弦值为．‎ ‎21． (1)由题意得，圆的半径，解得：‎ 故抛物线的方程为.‎ ‎(2)设点，，由直线过抛物线的焦点，‎ 联立得，‎ 故，所以 由点为曲线上的动点，设点，点到直线的距离 ‎，‎ 由，故 ‎ 当且仅当，即时，取等号，所以，‎ ‎∴，‎ 故面积的最小值为.‎ ‎22．解：（1）依题意，‎ 得，故.‎ 所以椭圆的方程为 ‎（2）直线：与椭圆：联立，‎ 由题意知，，所以弦长 与椭圆：联立，解得所以 ‎ ‎ 令则换元得 ‎（再将看作一个整体），所以得到 ①‎ ‎ ‎ 令，由①换元得：‎ ‎,其中.所以