江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

南昌二中2019—2020学年度上学期期中考试高二数学（理）试卷 一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）‎ ‎1.命题：，，则（ ）‎ A. ：， B. ：，‎ C. ：， D. ：，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由含量词的命题的否定可得选项D成立。选D。‎ ‎2.在参数方程(，为参数)所表示曲线上有两点，它们对应的参数值分别为，，则线段的中点M对应的参数值是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据参数的几何意义求解即可。‎ ‎【详解】如图：‎ 由直线参数方程的参数 的几何意义可知，‎ ‎，，因为是的中点，所以.‎ 选D.‎ ‎【点睛】本题考查直线参数方程的参数的几何意义。‎ ‎3.设角A,B,C是的三个内角,则“”是“是钝角三角形”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：若,则若是钝角三角形,则C不一定为钝角,不一定成立,故选A.‎ 考点：充分条件与必要条件.‎ ‎4.已知双曲线的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 双曲线与抛物线焦点相同，得出，利用离心率公式以及、、关系可求得、，进一步得到双曲线的渐近线方程 ‎【详解】双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，‎ 焦点为 又，‎ 由得，‎ 因此，渐近线方程为，故选A ‎【点睛】本题考察双曲线渐近线方程，利用共焦点求得是关键 ‎5.若满足不等式组，则的最大值是（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，画出可行域，将目标函数转化为关于的表达式，再根据图形求解即可 ‎【详解】根据二元一次不等式组，画出目标可行域，将转化为，要求的最大值，即求对应在可行域内的轴截距的最大值，如图：‎ 当直线交阴影部分于点时，取到最大值，此时，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查由线性规划区域求目标函数的最大值，属于基础题 ‎6.椭圆以点为中点的弦所在直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可设弦的两端点为，结合点差法可求得斜率，再由点斜式即可求得直线方程 ‎【详解】由题意，该弦所在的直线斜率存在，设弦的两端点为代入椭圆得，两式相减得直线的斜率为，因此所求直线方程为，即.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查椭圆中由弦的中点坐标求弦的直线方程，点差法的应用，推导结论可作为常规结论加以记忆：若直线与椭圆相交弦的中点为，且直线的斜率为，则有，属于中档题 ‎7.直线（t为参数）被曲线所截的弦长是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 将方程，分别化为普通方程，所以圆心坐标为，半径为，‎ 圆心到直线的距离为，所以弦长.故选A.‎ 点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：‎ ‎（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；‎ ‎（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；‎ ‎（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．‎ ‎8.设点分别是双曲线的右顶点、右焦点,直线交该双曲线的一条渐近线于点,若是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：渐近线为，，化简得，两边除以得，，解得.‎ 考点：圆锥曲线的位置关系.‎ ‎【思路点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，考查划归与转化的数学思想方法、数形结合的数学思想方法，方程的思想.题目的突破口就在等腰二字.既然是等腰三角形，那么我们通过计算它的边长，利用边长相等，就可以建立一个方程，利用这个方程，我们就可以求出离心率.双曲线的渐近线为，两条渐近线取其中一条来计算.‎ ‎9.过抛物线的焦点作两条垂直的弦,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由抛物线，可知，设的倾斜角为，则的倾斜角为，过焦点的弦，所以，故选D.‎ 考点：抛物线的标准方程及其简单的几何性质.‎ ‎10.过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）‎ A. 10 B. 13 C. 16 D. 19‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题可知，，‎ 因此 ‎，故选B．‎ 考点：圆锥曲线综合题．‎ ‎11.已知点是椭圆上除顶点外的一动点，、为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的角平分线上的点，且，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：如图，延长交点为，连接因为是的平分线，且，可得所以,为的中点.又为的中点，所以.设，根据圆锥曲线的统一定义可得，所以，因为点是椭圆上异于顶点的一点，所以，所以故选B.‎ 考点：椭圆的定义、几何性质及向量垂直关系的应用.‎ ‎【方法点晴】本题重点考查了椭圆定义的应用，属于中档题.本题解答的难点是题意的转化，根据题目给出的条件和椭圆的特征建立与椭圆上的点的关系.根据圆锥曲线的统一定义和焦半径公式建立与点横坐标的关系，从而求得的取值范围，要特别注意点是椭圆上异于顶点的任意一点，也就是说，保证解答的准确性.‎ ‎12.椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题知AF⊥BF，根据椭圆的对称性，AF′⊥BF′（其中F′是椭圆的左焦点），因此四边形AFBF′是矩形，于是，|AB|=|FF′|=2c， ， ，根据椭圆的定义，|AF|+|AF′|=2a，∴，‎ ‎∴椭圆离心率，‎ 而，‎ 故e的最大值为，故选A．‎ 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可先将化简得，由充分不必要条件再确定参数满足条件即可 ‎【详解】由，“”是“”的充分不必要条件，，解得 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查由充分不必要条件求参数，属于中档题 ‎14.过抛物线的焦点作直线与其交于两点，若，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可结合抛物线第一定义，将转化为，结合抛物线方程求出点，再由两点求得直线方程，解得点横坐标，再结合第一定义即可求解 ‎【详解】由，焦点坐标为，，结合抛物线定义可得；‎ ‎，即，联立两点，‎ 可求出直线的方程为：， ‎ 联立抛物线方程可得：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的几何性质，韦达定理在解析几何中的应用，属于中档题 ‎15.已知在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数且），在以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线的极坐标方程为，则曲线与交点的直角坐标为__________．‎ ‎【答案】（2，2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由曲线的参数方程为（为参数且），消去参数得到曲线的普通方程为：；曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程得；由方程组：解得，（舍去），故曲线与交点的直角坐标为（2，2）．‎ 考点：1．参数方程与普通方程的互化；2．极坐方程与直角坐标方程的互化；３．曲线的交点．‎ ‎16.已知曲线（且）与直线相交于两点，且（为原点），则的值为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：则，设，，联立直线的方程和双曲线的方程消去得，，且，由得，化简得.‎ 考点：直线与圆锥曲线位置关系，向量运算.‎ ‎【思路点晴】本题考查直线与圆锥曲线位置关系，向量运算.两个向量的数量积等于零，也就是说这两个向量垂直，转化为代数式子就是，由此可以想到利用根与系数关系求出.联立直线的方程和曲线的方程，消去，写出根与系数关系，然后带入数量积，化简就可以得到.根与系数关系运算量较大，注意检验计算是否正确.‎ 三、解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17.已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）判断直线与曲线C的位置关系；‎ ‎（2）设点为曲线C上任意一点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）相离；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，圆的参数方程的应用以及直线和圆的位置关系的判断。（1）把直线、‎ 曲线方程化为直角坐标方程后根据圆心到直线的距离和半径的关系判断即可。（2）利用圆的参数方程，根据点到直线的距离公式和三角函数的知识求解。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，消去得直线的普通方程为：‎ 由，得.‎ ‎∴ ，‎ 即 .‎ 化为标准方程得：.‎ ‎∴ 圆心坐标为，半径为1，‎ ‎∵ 圆心到直线的距离，‎ ‎∴ 直线与曲线相离.‎ ‎（2）由为曲线上任意一点，可设，‎ 则，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎18.设命题：函数的定义域为；命题：关于的方程有实根.‎ ‎（1）如果是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎（2）如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 实数的取值范围为;(2) 实数的取值范围是或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由函数的定义域为可得，可得实数的取值范围为；（2）化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）若命题是真命题，则有①当时定义域为，不合题意 ‎②当时，由已知可得 故所求实数的取值范围为 ‎（2）若命题是真命题，则关于的方程有实根，令，‎ ‎ ∴‎ 若命题“”为真命题，且“”为假命题，则一真一假 若真假，则；若假真，则 综上：实数的取值范围是或.‎ ‎19.在直角坐标系中，直线的参数方程为，（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线过点，圆C与直线交于点，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）直接利用转换关系把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程．（2）将直线的参数方程和圆联立，整理成一元二次方程，进一步利用根和系数的关系求出结果．‎ 解析：‎ ‎(1)‎ ‎(2)证明：把 得证。‎ ‎20.已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上.‎ ‎（1）求定点的坐标与圆的方程；‎ ‎（2）已知点为圆直径的一个端点，若另一个端点为点，问：在轴上是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1），；（2）存在，或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可采用分离参数法求出直线恒过的定点，设圆的方程为 ‎，将两点代入一般方程，又圆心过直线，故有，联立求解即可；‎ ‎（2）由为直径对应的两个端点，根据对称关系先求得点，可判断点在圆外，故直角存在两种情况，以点为直角和以点为直角，结合两直线垂直斜率之积为-1即可求得点 ‎【详解】（1）由得，，‎ 令，得，即定点坐标为.‎ 设圆的方程为，‎ 由条件得，解得.‎ 所以圆的方程为.‎ ‎（2）圆的标准方程为，，设点关于圆心的对称点为，则有，解得，，故点的坐标为.因为在圆外，所以点不能作为直角三角形的顶点，‎ 若点为直角三角形的顶点，则有，‎ 若点是直角三角形的顶点，则有，‎ 综上，或 ‎【点睛】本题考查直线过定点的求法，圆的标准方程的求法，点关于点对称的求法，由点与圆的位置关系和两直线垂直求参数值，属于中档题 ‎21.已知直线与椭圆相交于两点.‎ ‎（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段的长；‎ ‎（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆离心率时，求椭圆的长轴长的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可先求得椭圆的标准方程，再联立直线与椭圆方程求得关于的一元二次方程，结合韦达定理和弦长公式即可求得；‎ ‎（2）设，由向量与向量互相垂直可得，同时联立直线与椭圆方程可得，消去得：，结合韦达定理和前式代换，最终可整理得，结合即可得到关于的不等式，进而求出长轴长的范围 ‎【详解】（1）,即，，则.‎ ‎∴椭圆的方程为，联立消去得：，‎ 设，则.；‎ ‎（2）设，‎ ‎，即，‎ 由消去得，‎ 由，‎ 整理得.‎ 又，‎ 得：‎ 整理得：①，，代入①式得 ‎，适合条件 由此得，故长轴长的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆中弦长的求法，韦达定理在解决椭圆实际问题中的应用，不等式在解析几何中的应用，运算推理能力，属于难题 ‎22.如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为 ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点.‎ ‎①求证：不可能是钝角；‎ ‎②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）①证明见解析；②存在，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可设，可由与关于圆心对称，求得圆心，再由半径处处相等建立等式，化简即可求解；‎ ‎（2）设直线，，联立方程得关于的表达式，结合韦达定理和向量的表示方法，即可求证；‎ ‎（3）可假设存在点，设的中点为，由直线和垂直关系求出点，由韦达定理和弦长公式求得弦，结合即可求解具体的的值，进而求解点；‎ ‎【详解】（1）设，因为点在圆上，且点关于圆心的对称点为，‎ 则，而，则，化简得：，所以曲线的方程为. ‎ ‎（2）①设直线，,‎ 由，得，‎ 则.‎ ‎，‎ ‎，‎ 则不可能是钝角.‎ ‎②假设存在这样的点，设的中点为，由①知;‎ ‎，则，则，‎ 则，而，由得，，所以存在点.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线轨迹方程的求法，韦达定理，向量法在解析几何中的具体应用，由特殊三角形的关系求解参数值，运算推理能力，综合性强，属于难题 ‎ ‎