数学理卷·2018届辽宁省大连市高三第一次模拟考试（2018

数学理卷·2018届辽宁省大连市高三第一次模拟考试（2018

辽宁省大连市2018届高三第一次模拟 数学理试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A．1 B．0 C． D．-1‎ ‎3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.如图所示程序框图是为了求出满足的最小正偶数，那么空白框中及最后输出的值分别是（ ）‎ A．和6 B．和6 C. 和8 D．和8‎ ‎5.函数的部分图象大致为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎6. 某几何体的三视图如图所示（单位：），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：）是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种. ‎ A．24 B．36 C.48 D．60‎ ‎8. 的内角的对边分别为，若，，则面积的最大值是（ ）‎ A．1 B． C.2 D．4‎ ‎9. 已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕进行翻折，使为直角，则过四点的球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值可以为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，若上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C.2 D．3‎ ‎12.若直线和曲线的图象交于，，三点时，曲线在点、点处的切线总是平行的，则过点可作曲线的（ ）条切线.‎ A．0 B．1 C.2 D．3‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设实数，满足约束条件，则的最大值为 ．‎ ‎14.已知半径为的圆周上有一定点，在圆周上等可能地任意取一点与点 连接，则所得弦长介于与之间的概率为 ．‎ ‎15.已知抛物线，过点任作一条直线和抛物线交于、两点，设点，连接，并延长，分别和抛物线交于点和，则直线过定点 ．‎ ‎16.已知腰长为2的等腰直角中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，，.‎ 求和的通项公式；‎ 设，求数列的前项和.‎ ‎18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎46.6‎ ‎573‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎215083.4‎ ‎31280‎ 表中，.‎ 根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ 根据的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；‎ 已知这种产品的年利润与、的关系为.根据的结果回答下列问题：‎ 年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ 年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？‎ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：‎ ‎，.‎ ‎19. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，分别是线段，的中点，.‎ 求证：平面；‎ 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎20. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上.‎ 求椭圆的方程；‎ 已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于 两点，求四边形面积的最大值.‎ ‎21. 已知函数.‎ 若在上是单调递增函数，求的取值范围；‎ 设，当时，若，且，求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，.‎ 求与交点的极坐标；‎ 设点在上，，求动点的极坐标方程.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，.‎ 当时，求不等式的解集；‎ ‎，都有恒成立，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13.14 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：，‎ 当时，，‎ ‎， ，‎ ‎ .‎ 又数列为等比数列，，‎ ‎， ‎ 又 ‎，‎ ‎.‎ 由得：‎ 设数列的前项和为 当时，‎ ‎，‎ ‎.‎ 当时，，‎ 又当时， ，‎ 综上， .‎ ‎18. 解：由散点图可以判断适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型. ‎ 令，先建立关于的线性回归方程 ‎，‎ ‎，‎ 所以关于的线性回归方程为，‎ 所以关于的线性回归方程为.‎ 由知，当时，年销售量的预报值为，‎ 年利润的预报值为.‎ 根据的结果知，年利润的预报值 ‎，‎ 当，即时，年利润的预报值最大，‎ 故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.‎ ‎19.解：方法一：‎ 取中点，连接，‎ 分别是中点, ，‎ 为中点，为正方形，，‎ ‎,四边形为平行四边形，‎ 平面，平面，‎ 平面.‎ 方法二： ‎ 取中点，连接，.‎ 是中点，是中点，，‎ 又是中点，是中点，，‎ ‎，，‎ 又，平面，平面，平面，‎ 平面，平面平面.‎ 又平面，平面.‎ 方法三：‎ 取中点，连接，，‎ 在正方形中，是中点，是中点 又是中点，是中点，，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ 平面//平面.‎ 平面 平面.‎ 方法四：‎ 平面,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ‎ 则 ‎， ‎ 则设平面法向量为，‎ 则, 即, 取，‎ ‎，‎ 所以，又平面， ∥平面.‎ 平面,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ‎ 则 设平面法向量为，‎ 则, 即，‎ 取,‎ 则设平面法向量为，‎ 则, 即, 取，‎ ‎.‎ 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎（若第一问用方法四，则第二问部分步骤可省略）‎ ‎20. 解：由可得，，又因为，所以.‎ 所以椭圆方程为，又因为在椭圆上，所以.‎ 所以，所以，故椭圆方程为. ‎ 方法一：设的方程为，联立，‎ 消去得，设点，‎ 有 所以令，‎ 有，由 函数，‎ ‎ ‎ 故函数，在上单调递增，‎ 故，故 当且仅当即时等号成立，‎ 四边形面积的最大值为. ‎ 方法二：设的方程为，联立，‎ 消去得，设点，‎ 有 ‎ 有，‎ 点到直线的距离为，‎ 点到直线的距离为，‎ 从而四边形的面积 令，‎ 有，‎ 函数，‎ ‎ ‎ 故函数，在上单调递增，‎ 有，故当且仅当即时等号成立，四边形面积的最大值为. ‎ 方法三：①当的斜率不存在时，‎ 此时，四边形的面积为.‎ ②当的斜率存在时，设为：， 则 ‎ ，‎ ‎，‎ 四边形的面积 令 则 ‎ ‎,‎ 综上，四边形面积的最大值为. ‎ ‎21.解：在上是单调递增函数,‎ 在上，恒成立，即：‎ 设 ‎ ‎， ‎ 当时，在上为增函数，‎ 当时，在上为减函数，‎ ‎ ‎ ‎， 即 .‎ 方法一：因为，‎ 所以，‎ 所以 在上为增函数， ‎ 因为，即，‎ 同号，‎ 所以不妨设,设，…8分 所以，‎ 因为，，‎ 所以，所以在上为增函数， ‎ 所以，所以，‎ 所以，‎ 所以，即. ‎ 方法二：‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设 ，则，‎ ‎ 在上递增且 ‎ 令， ‎ 设, ，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎， 在上递增，‎ ‎， ‎ ‎， ‎ 令 ‎ 即： ‎ 又， ‎ 即：‎ 在上递增 ‎，即：得证. ‎ ‎22.解：联立，， ‎ ‎，，‎ ‎，‎ 交点坐标.‎ 设,且，，‎ 由已知，得，‎ ‎，点的极坐标方程为.‎ ‎23.解：当m=-2时，,‎ 当解得当恒成立 当解得 此不等式的解集为.‎ 当时，‎ 当时，不等式化为.‎ 由 当且仅当即时等号成立.‎ ‎，.‎ 当时，不等式化为.‎ ‎，令，.‎ ‎，‎ 在上是增函数.‎ 当时，取到最大值为.‎ ‎.‎ 综上.‎