2020版高中数学 第二章 推理与证明滚动训练三 新人教A版选修2-2
第二章 推理与证明
滚动训练三(§1.5~§2.3)
一、选择题
1.已知f(x)=则的值为( )
A. B.
C. D.-
考点 分段函数的定积分
题点 分段函数的定积分
答案 B
解析 =+=+1
=+1=,故选B.
2.用三段论推理:“任何实数的平方大于0,因为a是实数,所以a2>0”,你认为这个推理( )
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.是正确的
考点 “三段论”及其应用
题点 大前提错误导致结论错误
答案 A
解析 任何实数的平方大于0,因为a是实数,所以a2>0,
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大前提:任何实数的平方大于0是不正确的,0的平方就不大于0.故选A.
3.如图,抛物线y=-x2+2x+1与直线y=1形成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是( )
A.1 B.
C. D.2
考点 利用定积分求曲线所围成图形面积
题点 不需分割的图形的面积求解
答案 B
解析 由知或
故所求面积S=ʃ(-x2+2x+1)dx-ʃ1dx
=-x|=.
4.有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长,其中只有一位当选.有人走访了四位同学,甲说:“是乙或丙当选”,乙说:“甲、丙都未当选”,丙说:“我当选了”,丁说:“是乙当选了”,若四位同学的话只有两句是对的,则当选的同学是( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
考点 演绎推理的综合应用
题点 演绎推理在其他方面中的应用
答案 C
解析 若甲当选,则都说假话,不合题意.
若乙当选,则甲、乙、丁都说真话,丙说假话,不符合题意.
若丁当选,则甲、丁、丙都说假话,乙说真话,不符合题意.
故当选的同学是丙,故选C.
5.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是( )
A.各正三角形内的任一点
B.各正三角形的中心
C.各正三角形边上的任一点
D.各正三角形的某中线的中点
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考点 类比推理的应用
题点 平面几何与立体几何之间的类比
答案 B
解析 正三角形类比正四面体,正三角形的三边类比正四面体的四个面,三边的中点类比正三角形的中心.
6.用数学归纳法证明1+++…+
1),第二步证明中从“k到k+1”时,左边增加的项数是( )
A.2k+1 B.2k-1
C.2k-1 D.2k
考点 数学归纳法定义及原理
题点 数学归纳法第二步:归纳递推
答案 D
解析 当n=k时,左边=1+++…+,
那么当n=k+1时,左边=1+++…+++…+=1+++…+++…+,
所以左边增加的项为++…+,所以项数为2k.
7.观察下列数表规律
2→3 6→7 10→11
↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓
0→1 4→5 8→9 12→…
则数2 017的箭头方向是( )
A.2 017→ B. ↓
↑ 2 017→
C. ↑ D.→2 017
→2 017 ↓
考点 归纳推理的应用
题点 归纳推理在数阵(表)中的应用
答案 C
解析 因下行奇数是首项为1,公差为4的等差数列,若2 017在下行,则2 017=1+(n-1)·4,得n=505∈N*.故2 017在下行,又因为在下行奇数的箭头为→,故选C.
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8.已知f(x)=x3+x,a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值一定( )
A.大于零 B.等于零
C.小于零 D.正负都有可能
考点 演绎推理的综合应用
题点 演绎推理在函数中的应用
答案 A
解析 ∵f(x)=x3+x,∴f(x)是增函数且是奇函数.
∵a+b>0,∴a>-b,
∴f(a)>f(-b)=-f(b),∴f(a)+f(b)>0.
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二、填空题
9.用数学归纳法证明++…+>-.假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是________________________.
考点 数学归纳法定义及原理
题点 数学归纳法第二步:归纳递推
答案 ++…+++>-
解析 观察不等式中的分母变化知,++…+++>-.
10.观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,….根据上述规律,第五个等式为________________.
考点 归纳推理的应用
题点 归纳推理在数对(组)中的应用
答案 13+23+33+43+53+63=212
解析 由所给等式可得,等式两边的幂式指数规律明显,底数关系如下,
1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,
即左边底数的和等于右边的底数,故第五个等式为
13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.
11.已知点A(x1, ),B(x2,)是函数y=3x的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的上方,因此有结论>成立.运用类比思想方法可知,若点A(x1,tan x1),B(x2,tan x2)是函数y=tan x的图象上任意不同两点,则类似地有________________成立.
考点 类比推理的应用
题点 平面曲线之间的类比
答案 0.
又cos B=,只需证a2+c2-b2>0.
即证a2+c2>b2.
又a2+c2≥2ac,只需证2ac>b2.
由已知=+,即2ac=b(a+c),
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只需证b(a+c)>b2,即证a+c>b成立,在△ABC中,最后一个不等式显然成立.
所以B为锐角.
综合法:
由题意得=+=,
则b=,b(a+c)=2ac>b2(因为a+c>b).
因为cos B=≥>0,
又0
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