数学理卷·2018届福建省华安一中高二下学期期末考试(2017-07)

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数学理卷·2018届福建省华安一中高二下学期期末考试(2017-07)

‎2016-2017学年高二下学期期末考理科数学试卷 ‎(时间:120分钟 总分:150分)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.在复平面内,复数对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.已知随机变量若则(  )‎ A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977‎ ‎3.若n=,则(x﹣)n的展开式中常数项为(  )‎ A. B. ﹣ C. D. ﹣‎ ‎4.甲、乙两人独立地解决同一个问题,甲能解决这个问题的概率是P1,乙能解决这个问题的概率是P2,那么至少有一人能解决这个问题的概率是(  )‎ A. P1+P2 B. P1P2 C. 1﹣P1P2 D. 1﹣(1﹣P1)(1﹣P2)‎ ‎5.随机变量ξ~B(n,P),Eξ=15,Dξ=11.25,则n=(  )‎ A. 60 B. 55 C. 50 D. 45‎ ‎6.6个人排成一排,其中甲、乙不相邻的排法种数是(  )‎ A. 288 B. 480 C. 600 D. 640‎ ‎7.在比赛中,如果运动员A胜运动员B的概率是,那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是(  )‎ A. B. C. D. ‎8.已知x>0,由不等式x+≥2=2,x+=≥3=3,…,可以推出结论:x+≥n+1(n∈N*),则a=(  )‎ A. 2n B. 3n C. n2 D. nn ‎9.某产品40件,其中有次品数3件,现从中任取2件,则其中至少有一件次品的概率是( )‎ A.0.146 2 B.0.153 8 C.0.996 2 D.0.853 8‎ ‎10.已知抛物线,过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于两点,若线段的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为(  )‎ A. +=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1‎ ‎12.已知函数 与 图象上存在关于 轴对称的点,则 的取值范围是(    )‎ A. B. C . D. ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.曲线y=x3+x在点(1,)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为  .‎ ‎14.如图所示,直线分抛物线与轴所围成图形为面积相等的两部分,则实数的值为 . ‎ ‎15.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是 . ‎ ‎16.已知f(x)=x3﹣x2+2x+1,x1,x2是f(x)的两个极值点,且0<x1<1<x2<3,则实数a的取值范围为  .‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎17.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴为极轴建立极坐标系,曲线的方程为(为参数),曲线的极坐标方程为,若曲线与相交于、两点.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求点到、两点的距离之积.‎ ‎18.(本小题满分12分)为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:‎ 日期 ‎4月1日 ‎4月7日 ‎4月15日 ‎4月21日 ‎‎4月30日 温差x/℃ 10 11 13 12 8‎ 发芽数y/颗 23 25 30 26 16‎ ‎(Ⅰ)从这5天中任选2天,记发芽的种子数分别为m,n,求事件“m,n均不小于‎25”‎的概率.‎ ‎(Ⅱ)从这5天中任选2天,若选取的是‎4月1日与‎4月30日的两组数据,请根据这5天中的另3天的数据,求出y关于x的线性回归方程.‎ ‎(参考公式:=,=﹣)‎ ‎19.(本小题满分12分)“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1~8号8扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎),选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中,发现参赛选手多数分为两个年龄段:20~30;30~40(单位:岁),其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.‎ ‎(1)写出2×2列联表;判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关;说明你的理由;(下面的临界值表供参考)‎ ‎(参考公式:其中)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ (2) 现计划在这次场外调查中按年龄段分层抽样选取6名选手,并抽取3名幸运选手,求3名幸运选手中在20~30岁之间的人数的分布列和数学期望.‎ A1‎ A C1‎ B1‎ B D C ‎20.(本小题满分12分)三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示,截面为,,平面,,,,,.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值.‎ ‎21.(本小题满分12分)已知椭圆C:的左焦点F1的坐标为(﹣,0),F2是它的右焦点,点M是椭圆C上一点,△MF‎1F2的周长等于4+2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过定点P(0,2)作直线与椭圆C交于不同的两点A,B,且OA⊥OB(其中O为坐标原点),求直线的方程.‎ ‎22.(本小题满分12分)已知函f(x)=ax2﹣ex(a∈R).‎ ‎(Ⅰ)a=1时,试判断f(x)的单调性并给予证明;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2).‎ ‎(i) 求实数a的取值范围;‎ ‎(ii)证明: (注:e是自然对数的底数)‎ ‎2016-2017学年高二下期末考理科数学答题卷 一、选择题:‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 ‎18、‎ 二、填空题:‎ ‎13、       14、      15、       16、    ‎ 三、解答题:‎ ‎17、‎ ‎18、 ‎ ‎ ‎ ‎19、‎ ‎(1)‎ 年龄/正误 正确 错误 合计 ‎20~30‎ ‎30~40‎ 合计 ‎(2)‎ ‎20、 ‎ ‎ ‎ ‎21、 ‎ ‎ ‎ ‎22、‎ ‎2016-2017学年高二下期末考理科数学试卷 参考答案及评分标准 一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C A D A B B D A C D B ‎18、‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 ‎13、 14、  15、   16、(3,)‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.‎ ‎17解: (1) 曲线的普通方程为,,‎ 则的普通方程为,则的参数方程为: ‎ ‎……………………2分 代入得,. ‎ ‎………………………… 6分 ‎(2) . ……………………10分 ‎18解:(Ⅰ)用数组(m,n)表示选出2天的发芽情况,‎ m,n的所有取值情况有:‎ ‎(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),‎ ‎(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(30,26),共有10个 设“m,n均不小于‎25”‎为事件A,‎ 则包含的基本事件有(25,30),(25,26),(30,26)‎ 所以P(A)=,‎ 故m,n均不小于25的概率为;……………………………….6分 ‎(Ⅱ)由数据得=12,=27,3•=972,xiyi=977,xi2=434,32=432.‎ 由公式,得==,=27﹣×12=﹣3.‎ 所以y关于x的线性回归方程为=x﹣3.............12分 ‎19解:(1)‎ 年龄/正误 正确 错误 合计 ‎20~30‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎30~40‎ ‎10‎ ‎70‎ ‎80‎ 合计 ‎20‎ ‎100‎ ‎120‎ 有的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关……………4分 ‎(2)设3名选手中在20~30岁之间的人数为,可能取值为0,1,2,………5分 ‎20~30岁之间的人数是2人……………6分 ‎,,………10分 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎…………11分 ‎ ……………………12分 ‎ ‎20解:(Ⅰ)以AB、AC、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 则,‎ ‎,.‎ 点坐标为.,.‎ ‎,,,,又,‎ 平面 ……………………………….5分 ‎(Ⅱ)平面,取为平面的法向量,‎ 设平面的法向量为,则.‎ ‎,如图,可取,则,‎ ‎ …………12分21解:(1)∵椭圆C:=1的左焦点F1的坐标为(﹣,0),‎ F2是它的右焦点,点M是椭圆C上一点,△MF‎1F2的周长等于4+2,‎ ‎∴,‎ 解得a=2,b=1,‎ ‎∴椭圆C的方程为..............4分 ‎(2)当直线l的斜率不存在时,不满足题意.‎ 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx﹣2,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立,得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,‎ ‎△=(﹣16k)2﹣48(1+4k2)>0,‎ 由根与系数关系得x1+x2=,x1•x2=,..............8分 ‎∵y1=kx1﹣2,y2=kx2﹣2,‎ ‎∴y1y2=k2x1•x2﹣2k(x1+x2)+4.‎ ‎∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,‎ ‎∴(1+k2)x1x2﹣2k(x1+x2)+4=0,‎ ‎∴﹣+4=0,‎ 解得k=±2,‎ ‎∴直线l的方程是y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2...............12分 ‎22解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=x2﹣ex,f(x)在R上单调递减.‎ 事实上,要证f(x)=x2﹣ex在R上为减函数,只要证明f′(x)≤0对∀x∈R恒成立即可,‎ 设g(x)=f′(x)=2x﹣ex,则g′(x)=2﹣ex,‎ 当x=ln2时,g′(x)=0,‎ 当x∈(﹣∞,ln2)时,g′(x)>0,当x∈(ln2,+∞)时,g′(x)<0.‎ ‎∴函数g(x)在(﹣∞,ln2)上为增函数,在(ln2,+∞)上为减函数.‎ ‎∴f′(x)max=g(x)max=g(ln2)=2ln2﹣2<0,故f′(x)<0恒成立 所以f(x)在R上单调递减;..............4分 ‎ ‎(Ⅱ)(i)由f(x)=ax2﹣ex,所以,f′(x)=2ax﹣ex.‎ 若f(x)有两个极值点x1,x2,则x1,x2是方程f′(x)=0的两个根,‎ 故方程2ax﹣ex=0有两个根x1,x2,‎ 又因为x=0显然不是该方程的根,所以方程有两个根,‎ 设,得.‎ 若x<0时,h(x)<0且h′(x)<0,h(x)单调递减.‎ 若x>0时,h(x)>0.‎ 当0<x<1时h′(x)<0,h(x)单调递减,‎ 当x>1时h′(x)>0,h(x)单调递增.‎ 要使方程有两个根,需‎2a>h(1)=e,故且0<x1<1<x2.‎ 故a的取值范围为...............8分 ‎(ii)证明:由f′(x1)=0,得:,故,x1∈(0,1)‎ ‎=,x1∈(0,1)‎ 设s(t)=(0<t<1),则,s(t)在(0,1)上单调递减 故s(1)<s(t)<s(0),即...............12分
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