2018-2019学年湖北省宜昌市第一中学高一5月数学试题解析版

2018-2019学年湖北省宜昌市第一中学高一5月数学试题解析版

‎2018-2019学年湖北省宜昌市第一中学高一5月数学试题解析版 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁BA=（　　）‎ A. ​ B. ​ C. ​ D. ​‎ 2. 已知a=，b=，c=，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 定义在R上的奇函数满足，且在上，则  ‎ A. B. C. D. ‎ 4. 将函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为（）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 若cos（-α）=，则cos（+2α）的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 已知△ABC中，a=1，，A=30°，则B等于（　　）‎ A. B. 或 C. D. 或 8. 若a＞0，b＞0，a+b=ab，则a+b的最小值为（　　）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ 9. 下列不等式一定成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ 10. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 1. 如图,在棱长为1的正方体中,点分别是棱的中点,是侧面内一点,若平面,则线段长度的取值范围是（　） A. B. C. 　 D. ‎ 2. 若函数f（x）=|logax|-2-x（a＞0，a≠1）的两个零点是m，n，则（　　）‎ A. B. C. D. 以上都不对 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 3. ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=______．‎ 4. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）=2x3+x2，则f（2）=______．‎ 5. 设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=______．‎ 6. 如图，已知三棱锥A－BCD中，AD，BD，CD两两垂直，AD＝BD＝1，，E，F分别为AC，BC的中点，则点C到平面DEF的距离为_________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 7. 已知集合A={x|ax2-3x+1=0，a∈R}． （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． ‎ ‎ ‎ 1. 已知函数. ‎ ‎   （1）求的单调增区间;‎ ‎   （2）若存在，使成立，求的取值范围. ‎ 2. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2​，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （1）求证：PA⊥BD； （2）求证：平面BDE⊥平面PAC； （3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积． ‎ 1. 函数f（x）=（log2x-2）（log4x-）． （1）当x∈[1，4]时．求该函数的值域； （2）若f（x）＞mlog4x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围． ‎ 2. 南通地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为. （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为​（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. ‎ 1. 如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已知米，米，记. ‎ ‎（1）试将污水净化管道的总长度(即的周长)表示为的函数，并求出定义域；‎ ‎（2）问当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度. ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A 【解析】‎ ‎【分析】 根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得CBA． 【解答】 解：A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}， B={x|2x+1＞1}={x|x＞-1}， CBA=[3，+∞）． 故选A．‎ ‎2.【答案】A 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案． 【解答】 解：∵a==， b=， c==， 综上可得：b＜a＜c， 故选A．‎ ‎3.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】 ‎ 本题考查函数值的求法，函数的周期性、奇函数的性质的综合应用，利用条件求出函数的周期、以及利用函数的性质逐步转化自变量是解题的关键． ​由条件和函数周期性的定义求出函数的周期，利用函数的周期性、奇函数的性质和函数的解析式，逐步转化由运算性质求出f（log354）的值. 【解答】 ​解：由f（x+2）=-得，f（x+4）=-=f（x）， ∴函数f（x）的周期是4， ∵f（x）定义在R上的奇函数，且3＜log354＜4， 且在（0，1）上f（x）=3x， ∴f（log354）=f（log354-4）=-f（4-log354）=-（）=-=-. 故选C.‎ ‎4.【答案】D 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题， ​求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x-）+]，化简整理即可得到所求函数式． 【解答】 解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π， 由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期即个单位， 可得图象对应的函数为y=2sin[2（x-）+]=2sin（2x-）， 故选D．‎ ‎5.【答案】A 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角． 根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】 ​解：，； ∴； 又0°≤∠ABC≤180°； ∴∠ABC=30°． 故选A． ‎ ‎6.【答案】A 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是基础题，利用二倍角公式求出cos（-2α）的值，再利用诱导公式求出cos（+2α）的值． 【解答】 解：∵cos（-α）=， ∴cos（-2α）=2cos2（-α）-1 =2×-1 =-， ∴cos（+2α）=cos[π-（-2α）] =-cos（-2α） =． ‎ 故选A． ‎ ‎7.【答案】D 【解析】‎ 解：由题意得，△ABC中，a=1，，A=30°， 由得，sinB===， 又b＞a，0°＜B＜180°， 则B=60°或B=120°， 故选：D． 根据题意和正弦定理求出sinB的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B． 本题考查正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于基础题．‎ ‎8.【答案】B 【解析】‎ 解：在等式a+b=ab两边同时除以ab，得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当a=b时，等号成立， 所以，a+b的最小值为4． 故选：B． 在等式a+b=ab两边同时除以ab，得，将代数式a+b和相乘，展开后利用基本不等式可求出a+b的最小值． 本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解决这类问题的关键在于对代数式进行灵活配凑，同时也考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎9.【答案】B 【解析】‎ ‎【分析】 考查对于基本不等式的运用，明确基本不等式成立的条件是解题的关键. 【解答】 解：A中x可能是负数，不成立； B，C中当且仅当3x2＝，即x4＝时取等号，故B成立，C不成立； D中x2－1也可能是负数，不成立． ​故选B.‎ ‎10.【答案】A 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题．先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．‎ ‎【解答】 解：正方体体积为8，可知其边长为2， 正方体的体对角线为=2， 即为球的直径，所以半径为， 所以球的表面积为=12π． 故选A．‎ ‎11.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置.分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得. 【解答】 解：如下图所示：‎ ‎  分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，  ∵M、N、E、F为所在棱的中点，‎ ‎∴MN∥BC1，EF∥BC1，  ∴MN∥EF， 又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF， ∴MN∥平面AEF； ∵AA1∥NE，AA1=NE， ∴四边形AENA1为平行四边形， ∴A1N∥AE， 又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF， ∴A1N∥平面AEF， 又A1N∩MN=N， ∴平面A​1MN∥平面AEF， ∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF， 则P必在线段MN上， 在Rt△A1B1M中，， 同理，在Rt△A1B1N中，求得， ∴△A1MN为等腰三角形， 当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，  ，  ‎ ‎， 所以线段A1P长度的取值范围是. ​故选C.‎ ‎12.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】 ​本题考查了基本初等函数的图象与性质，对数的运算性质，属于中档题． ​结合图象得出|logam|和|logan|的大小关系，利用对数的运算性质化简即可得出答案． 【解答】 解：令f（x）=0得|logax|=， 则y=|logax|与y=的图象有2个交点， 不妨设m＜n，a＞1， 作出两个函数的图象如图： ∴＞，即-logam＞logan， ∴logam+logan＜0，即loga（mn）＜0， ∴mn＜1． 故选C． ‎ ‎13.【答案】 【解析】‎ 解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得， 2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB， ∵sinB≠0， ∴cosB=， ∵0＜B＜π， ∴B=， 故答案为： 根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可 本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题 ‎14.【答案】12 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题． 由已知中当x∈（-∞，0）时，f（x）=2x3+x2，先求出f（-2），进而根据奇函数的性质，可得答案． 【解答】 解：∵当x∈（-∞，0）时，f（x）=2x3+x2， ∴f（-2）=-12， 又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（2）=-f（-2）=12， 故答案为12. ‎ ‎15.【答案】-2 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力． 利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可． 【解答】 解：|+|2=||2+||2， 可得•=0． 向量=（m，1），=（1，2）， 可得m+2=0，解得m=-2． 故答案为-2．‎ ‎16.【答案】 【解析】‎ ‎【分析】‎ 此题考查点到面的距离，考查线面垂直的判断，及三棱锥的体积公式，关键是利用体积相等列方程.‎ ‎【解答】‎ 解：三棱锥A－BCD中，AD，BD，CD两两垂直，‎ 则，‎ 点A到平面BDC的距离为AD＝1，‎ E为AC的中点，‎ 则点E到平面DFC的距离为，‎ 又，，‎ ‎，，‎ 所以，‎ 设点C到平面DEF的距离为d，‎ 又，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故答案为.‎ ‎17.【答案】解：（1）若A=∅，则方程ax2-3x+1=0无实数根， 则，解得． ∴若A是空集，a的取值范围为． （2）若A中至多只有一个元素，则A=∅或A中只有一个元素． 1、当A=∅时，由（1）得． 2、当A中只有一个元素时，a=0或， 解得或a=0或． 综上，若A中至多只有一个元素，a的取值范围为{a|a=0或． 【解析】‎ ‎ （1）根据空集的含义，利用一元二次方程的判别式求解． （2）利用分类讨论思想，对集合中元素的个数是0和1进行讨论求解． 本题考查分类讨论思想及集合中元素的个数问题．‎ ‎18.【答案】解：(1)，‎ ‎,，‎ 解得，，‎ 所以的单调增区间为,；‎ ‎（2）∵ ，      ‎ ‎∴  ，‎ ‎∴在上的最小值为，‎ 由，解得，‎ m的取值范围为.‎ ‎ 【解析】‎ 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，以及函数的周期性与单调性、三角函数不等式的应用问题，是基础题目．‎ ‎（1）利用三角恒等变换化简f（x），求出f（x）的单调增区间；  （2）由f（x）0，只需求出在上的最小值即可求解此题． ‎ ‎19.【答案】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC， AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B， 可得PA⊥平面ABC， 由BD⊂平面ABC， 可得PA⊥BD； （2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点， 可得BD⊥AC， 由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC， 可得平面PAC⊥平面ABC， 又平面PAC∩平面ABC=AC， ‎ BD⊂平面ABC，且BD⊥AC， 即有BD⊥平面PAC， BD⊂平面BDE， 可得平面BDE⊥平面PAC； （3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC， 且平面PAC∩平面BDE=DE， 可得PA∥DE， 又D为AC的中点， 可得E为PC的中点，且DE=PA=1， 由PA⊥平面ABC， 可得DE⊥平面ABC， 可得S△BDC=S△ABC=××2×2=1， 则三棱锥E-BCD的体积为DE•S△BDC=×1×1=． 【解析】‎ ‎ （1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证； （2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证； （3）由线面平行的性质定理可得PA∥DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值． 本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．‎ ‎20.【答案】解（1）f（x）=（log2x-2）（log4x-），   令t=log4x，x∈[1，4]时，t∈[0，1]， 此时y=f（x）=（2t-2）（t-）=2t2-3t+1， ‎ 当t=时，y取最小值-，当t=0时，y取最大值1， ∴ 即函数的值域为：； （2）若f（x）＞log4x对于x∈[4，16]恒成立， 令t=log4x，即2t2-3t+1≥mt对t∈[1，2]恒成立， ∴对t∈[1，2]恒成立 易知在t∈[1，2]上单调递增 ∴g（t）min=g（1）=0， ∴m＜0． 【解析】‎ ‎ （1）令t=log4x，x∈[1，4]时，t∈[0，1]，此时y=f（x）=（2t-2）（t-）=2t2-3t+1，由二次函数的图象和性质，可得函数的值域； （2）若f（x）＞mlog4x对于x∈[4，16]恒成立，令t=log4x，即2t2-3t+1≥mt对t∈[1，2]恒成立，进而可得答案． 本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，二次函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，难度中档．‎ ‎21.【答案】解：（1）当10≤t≤20，p(t)=500，‎ 当2≤t<10，p(t)=500-k(10-t)2,‎ ‎∵p(2)=372，∴k=2，∴p(t)=500-2(10-t)2,‎ ‎∴，‎ ‎∴p(5)=450(人)；‎ ‎（2）当2≤t<10时，‎ ‎,‎ 当且仅当t=4时等号成立，‎ 当10≤t≤20时，在[10,20]上单调递减，‎ ‎∴t=10时，Q(t)取得最大值为74.4,‎ ‎∴t=4时，取得最大值，最大值为132,‎ 故当发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为132.‎ ‎ 【解析】‎ 本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．‎ ‎（1）由题意知，当10≤t≤20，p(t)=500，当2≤t≤10，p(t)=500-k(10-t)2,∵p(2)=372，∴k=2，∴p(t)=500-2(10-t)2,故得；‎ ‎ （2）写出分段函数Q(t），利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．‎ ‎22.【答案】解：（1）∵，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴管道的总长度，‎ 定义域为；‎ ‎（2）∵，‎ ‎ ，‎ 设，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵在内单调递减，‎ ‎∴当时，取的最大值米.‎ ‎（此时或），‎ 答：当或时所铺设的管道最短，为米.‎ ‎ 【解析】‎ 本题考查了函数模型的应用，涉及到三角函数的化简，三角函数的图象与性质的应用，三角函数恒等变换中辅助角公式的应用.‎ ‎（1）根据题意，得到，注意其定义域为；‎ ‎（2）利用函数解析式，结合三角函数的恒等变换，得到最值，及总长度.‎