【数学】2018届一轮复习人教A版专题1-2活用二级结论-备战高三数学考试万能工具包学案

【数学】2018届一轮复习人教A版专题1-2活用二级结论-备战高三数学考试万能工具包学案

第一篇 考前必看公式与结论 专题专题02 活用二级结论 结论一　奇函数的最值性质 ‎　　已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.‎ 例1　已知函数和均为奇函数， 在区间上有最大值5，那么在上的最小值为 A. －5 B. －3 C. －1 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【变式训练】‎ ‎1．已知函数，则=______．‎ ‎2．已知函数x的最大值为Ｍ，最小值为ｍ，则Ｍ＋ｍ＝_____________．‎ 结论二　 函数周期性问题 ‎　　已知定义在R上的函数f(x),若对任意x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:学*-++- ‎ ‎(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.‎ ‎(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.‎ ‎(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.‎ ‎(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.‎ 例2　【2018江西南昌集训】已知定义在上的奇函数满足，且 ‎，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【变式训练】‎ ‎1. 【2018山西太原第五中学模拟】已知定义域为的奇函数满足,且当时, ,则 A. B. C. D. ‎ ‎2.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(100)=(　　)‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ 结论三　函数的对称性 ‎　　已知函数f(x)是定义在R上的函数.‎ ‎(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;‎ ‎(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.‎ ‎　例3　【2018四川省广元市统考】已知定义在上的函数满足， ，若函数图象与函数图象的交点为，则（ ）‎ A. 8072 B. 6054 C. 4036 D. 2018‎ ‎【答案】B ‎【变式训练】‎ ‎1. 【2018安徽省六安市第一中学模拟】设函数是定义在上的偶函数，且，当时， ，若在区间内关于的方程有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 【2018贵州省遵义市模拟】已知，函数对任意有成立， 与的图象有个交点为， …，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 结论四　反函数的图象与性质 ‎　　若函数y=f(x)是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f -1(x).特别地,y=ax与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即(x0, f(x0))与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f -1(x)的图象上.学/*- ‎ ‎　例4　【2018四川省成都市9校联考】已知函数（， 为自然对数的底数）与的图象上存在关于直线对称的点，则实数取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【变式训练】设方程的根为，方程的根为，则________；‎ 结论五　两个经典不等式 ‎(1)对数形式:≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立.‎ ‎(2)指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.‎ 例5　设函数f(x)=1-e-x.证明:当x>-1时, f(x)≥.‎ 证明　x>-1时, f(x)≥⇔x>-1,1-e-x≥⇔1-≥e-x(x>-1)⇔≥(x>-1)⇔x+1≤ex(x>-1).当x>-1时,ex≥x+1恒成立,所以当x>-1时, f(x)≥.‎ 跟踪集训 ‎1.已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为(　　)‎ ‎2.已知函数f(x)=ex,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点.‎ 结论六　三点共线的充要条件 ‎　　设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,=+.‎ 例6　在△ABC中,已知D是AB边上一点,若,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【变式训练】‎ ‎　1.【2018河南省郑州市质量检测】如图，在中， 为线段上靠近的三等分点，点在上且，则实数的值为（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎2.【2018湖北省襄阳市调研】两个不共线向量的夹角为，M、N分别为线段OA、OB的中点，点C在直线MN上，且，则的最小值为_______．‎ ‎ 结论七　三角形“四心”向量形式的充要条件 ‎　　设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则 ‎(1)O为△ABC的外心⇔||=||=||=.‎ ‎(2)O为△ABC的重心⇔++=0.‎ ‎(3)O为△ABC的垂心⇔·=·=·.‎ ‎(4)O为△ABC的内心⇔a+b+c=0.‎ 例7　已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],λ∈R,则点P的轨迹一定经过(　　)‎ A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心 C.△ABC的重心 D.AB边的中点 答案　C ‎【变式训练】1.P是△ABC所在平面内一点,若·=·=·,则P是△ABC的(　　)‎ A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ‎2.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ‎3.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 结论八　等差数列 ‎　　设Sn为等差数列{an}的前n项和.‎ ‎(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+n⇒ap+aq=am+an(m,n,p,q∈N*).‎ ‎(2)ap=q,aq=p(p≠q)⇒ap+q=0.‎ ‎(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成的数列是等差数列.‎ ‎(4)=n+是关于n的一次函数或常函数,数列也是等差数列.‎ ‎(5)Sn====….‎ ‎(6)若等差数列{an}的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=.‎ ‎(7)若等差数列{an}的项数为奇数2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=.‎ ‎(8)若Sm=n,Sn=m(m≠n),则Sm+n=-(m+n).‎ ‎(9)Sm+n=Sm+Sn+mnd.‎ ‎　例8　设数列的前n项和Sn，且，则数列的前11项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ 数列是首项为，以为公差的等差数列， ， 数列是以为首项和公差的等差数列， 数列前项和为，故选D.‎ ‎【变式训练】‎ ‎1. 等差数列共有项，若前项的和为200，前项的和为225，则中间项的和为（ ）‎ A. 50 B. 75 C. 100 D. 125‎ ‎2. 【2018宁夏育才中学模拟】已知无穷等差数列的公差， 的前项和为，若，则下列结论中正确的是（ ）‎ A. 是递增数列 B. 是递减数列 C. 有最小值 D. 有最大值 ‎3. 已知项数为奇数的等差数列共有项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则项数的值是__________.‎ 结论九　等比数列 ‎　　已知等比数列{an},公比为q,前n项和为Sn.‎ ‎(1)an=am·qn-m,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*).‎ ‎(2)若m+n=p+q,则am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);反之,不一定成立.‎ ‎(3)a1a2a3…am,am+1am+2…a2m,a2m+1a2m+2…a3m,…成等比数列(m∈N*).‎ ‎(4)公比q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列(n∈N*).‎ ‎(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则=q.‎ ‎(6){an},{bn}是等比数列,则{λan},,{anbn},也是等比数列(λ≠0,n∈N*).xk-*/w ‎(7)通项公式an=a1qn-1=·qn.从函数的角度 看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.‎ ‎(8)与等差中项不同,只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.‎ ‎(9)三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个数成等比数列,通常设为,,xq,xq3.‎ ‎　　例9　【2018河南省中原名校第五次联考】已知等比数列的前项和为，且，则数列的公比为 （ ）‎ A. 3 B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【变式训练】‎ ‎　1.【2018西藏拉萨一模】已知等比数列的前项积为，若， ，则当取得最大值时， 的值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 6‎ ‎2. 已知数列的前项和为，且满足： ，则___________.‎ 结论十　多面体的外接球和内切球 ‎　　1.长方体的体对角线长d与共顶点的三条棱的长a,b,c之间的关系为d2=a2+b2+c2‎ ‎;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a2+b2+c2.‎ ‎2.棱长为a的正四面体内切球半径r=a,外接球半径R=a.‎ 例10　《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑， 平面，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【变式训练】‎ 如图，在等腰梯形中， ， ， 是的中点，将， 分别沿， 向上折起，使重合于点，若三棱锥的各个顶点在同一球面上，则该球的体积为__________．‎ 结论十一　焦点三角形的面积公式 ‎　　(1)在椭圆+=1(a>b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则△PF1F2的面积=b2·tan,其中θ=∠F1PF2.‎ ‎(2)在双曲线-=1(a>0,b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则△PF1F2的面积=,其中θ=∠F1PF2.‎ 例11　已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程.‎ ‎【解析】设，则. ，‎ 又，‎ ‎，即.‎ 解得：.‎ 所求椭圆的标准方程为或.‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则△的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 双曲线两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为则 ‎△F1PF2面积为( )‎ A．16 B．32 C．32 D．42‎ 结论十二　圆锥曲线的切线问题 ‎　　1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.‎ ‎2.过椭圆+=1上一点P(x0,y0)的切线方程为+=1.‎ ‎3.已知点M(x0,y0),抛物线C:y2=2px(p≠0)和直线l:y0y=p(x+x0).‎ ‎(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中M为切点,l为切线.‎ ‎(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.‎ ‎(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.‎ 例12　已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程.‎ 解析　联立方程得 消去y,整理得x2-4x+8=0,‎ Δ=(-4)2-4×8=-16<0,故直线l与抛物线C相离.‎ 由结论知,P在抛物线外,故切点弦AB所在的直线方程为x0x=2(y+y0),即y=x0x-y0.‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(　　)‎ A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0‎ C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0‎ ‎2.设椭圆C:+=1,点P,则椭圆C在点P处的切线方程为　　　　　　　　. ‎ 结论十三　圆锥曲线的中点弦问题 ‎　　1.在椭圆E:+=1(a>b>0)中:‎ ‎(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=-.‎ ‎(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-.‎ ‎(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=-.‎ ‎2.在双曲线E:-=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有:‎ ‎(1)k0·k=.‎ ‎(2)k1·k2=.‎ ‎(3)k0·k=.‎ 例13　已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为(　　)‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ ‎【变式训练】1.椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上且直线PA2‎ 的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是　　　　. 学 +-/ ‎ ‎2.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆+=1于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.对任意k>0,求证:PA⊥PB.‎ 结论十四　圆锥曲线中的一类定值问题 ‎　　在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.‎ 图示 条件 结论 已知椭圆+=1(a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.‎ 直线AB的斜率kAB为定值 ‎.‎ 已知双曲线-=1(a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,设A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.‎ 直线AB的斜率kAB为定值-.‎ 已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.‎ 直线AB的斜率kAB为定值-.‎ ‎　　例14　已知抛物线C:y2‎ ‎=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.证明:直线AB的斜率kAB为定值,并求出该定值.‎ 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),kPA=k,‎ 则kPB=-k(k≠0),又P(8,4),‎ 所以直线PA的方程为y-4=k(x-8),‎ ‎【变式训练】已知椭圆C:+=1,A为椭圆上的定点,若其坐标为A,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.‎ 结论十五　圆锥曲线中的一类定点问题 ‎　　若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.‎ ‎(1)对于椭圆+=1(a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线lAB过定点.‎ ‎(2)对于双曲线-=1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为 ‎.‎ ‎(3)对于抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若·=0,则弦AB所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若⊥,则直线AB过定点(0,2p).‎ 例15　已知抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B满足以AB为直径的圆过顶点.‎ 求证:AB所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.‎ 解析　由题意知lAB的斜率不为0(否则只有一个交点),故可设lAB:x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得y2-2pty-2pm=0,从而Δ=(-2pt)2-4(-2pm)=4p2t2+8pm>0,即pt2+2m>0,①‎ 因为以AB直径的圆过顶点O(0,0),所以·=0,即x1x2+y1y2=0,也即(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=0,把式①代入化简得m(m-2p)=0,得m=0或m=2p.‎ ‎(1)当m=0时,x=ty,lAB过顶点O(0,0),与题意不符,故舍去;‎ ‎(2)当m=2p时,x=ty+2p,令y=0,得x=2p,所以lAB过定点(2p,0),此时m=2p满足pt2+2m>0.‎ 综上,lAB过定点(2p,0).‎ ‎【变式训练】　已知椭圆+=1,直线l:y=kx+m与椭圆交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.‎ 结论十六　抛物线中的三类直线与圆相切问题 ‎　　AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=-的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点.‎ ‎(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.‎ ‎(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A·BB1.‎ ‎(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.‎ ‎　例16　过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N两点,自M,N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为M1,N1.当a=时,求证:AM1⊥AN1.‎ 证明　证法一:如图所示,当a=时,点A为抛物线的焦点,l为其准线x=-,由抛物线定义得|MA|=|MM1|,|NA|=|NN1|,所以∠MAM1=∠MM1A,∠NAN1=∠NN1A.‎ 因为MM1∥NN1,故∠M1MA+∠N1NA=180°,所以∠MM1A+∠MAM1+∠NN1A+∠NAN1=180°,所以∠MAM1+∠NAN1=90°,即∠M1AN1=90°,故AM1⊥AN1.‎ 由②可得y1·y2=-p2.‎ 因为=(-p,y1),=(-p,y2),‎ 故·=0,即AM1⊥AN1.‎ 证法三:同证法二得y1·y2=-p2.‎ 因为=-,=-,故·=-1,即AM1⊥AN1.‎ ‎【变式训练】‎ ‎1. 设抛物线的焦点为，直线，若过焦点的直线与抛物线相交于两点，则以线段为直径的圆与直线的位置关系为（ ）‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上三个答案均有可能 ‎2.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若·=0,则k=　　　　. ‎ ‎　【变式训练】‎ ‎1．【答案】2018‎ ‎ ， ， ，则=.‎ ‎2．【答案】2‎ ‎【解析】,又为奇函数 ‎∴的图象关于点对称，学/* ‎ ‎∴最大值对应的点与最小值对应的点也关于点对称 ‎∴，即 故答案为：2‎ 结论二　 函数周期性问题 ‎　【变式训练】‎ ‎1. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意，故函数为周期为的周期函数， ，故选A.‎ ‎2.‎ ‎【答案】C　‎ 结论三　函数的对称性 ‎　【变式训练】‎ ‎1. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，‎ ‎∴函数图象的对称轴为，即，‎ 又函数为偶函数，即，‎ ‎∴，‎ ‎∵函数为周期函数，且是一个周期．‎ 结合函数为偶函数，且当时， ，画出函数在区间上的图象（如图所示），并且．‎ ‎∵在区间内方程有且只有4个不同的根，‎ ‎∴函数和的图象在区间内仅有4个不同的公共点．‎ 结合图象可得只需满足 ，解得．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎2. ‎ ‎【答案】D 以 ， ，设 ，则，两式相加可，同理可得 ‎， ，故选D.‎ 结论四　反函数的图象与性质 ‎【变式训练】【答案】4‎ ‎【解析】由题意，方程的根为，方程的根为，‎ ‎……①， …… ② 由①得 ） 令 ，代入上式得 与②式比较得 于是 故答案为4．‎ 结论五　两个经典不等式 ‎1.‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】因为f(x)的定义域为即{x|x>-1且x≠0},所以排除选项D.‎ 令g(x)=ln(x+1)x,则由经典不等式ln(x+1)≤x知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=<0恒成立,所以排除A,C,故选B.‎ 结论六　三点共线的充要条件 ‎　【变式训练】‎ ‎　1. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，‎ ‎∴．‎ 又,‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴．选D．‎ ‎2.【答案】‎ ‎【解析】因为三点共线，所以，所以， ， 表示原点与直线动点的距离的平方，它的最小值为，填．‎ ‎ 结论七　三角形“四心”向量形式的充要条件 ‎【变式训练】1. 【答案】D　‎ ‎【解析】由·=·,可得·(-)=0,即·=0,∴⊥,同理可证⊥,⊥,∴P是△ABC的垂心.学 /*- ‎ ‎2. 【答案】C　‎ ‎【解析】设BC的中点为M,则=,则有=+λ,即=λ,∴P的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.‎ 结论八　等差数列 ‎【变式训练】‎ ‎1. 【答案】B ‎【解析】设等差数列前m项的和为x，由等差数列的性质可得，中间的m项的和可设为x+d，后m项的和设为x+2d，‎ 由题意得2x+d=200，3x+3d=225，‎ 解得x=125，d=﹣50，‎ 故中间的m项的和为75，‎ 故选B．‎ ‎2. 【答案】C ‎【解析】， ‎ 则是递增数列，‎ 但应是先减后增数列，‎ 故错误，‎ 应有最小值，故正确 故选 ‎3. 【解析】由题意，‎ 结论九　等比数列 ‎　　【变式训练】‎ ‎　1.【答案】C ‎【解析】设等比数列的公比为，则，此等比数列各项均为负数，当为奇数时， 为负数，当为偶数时， 为正数，所以取得最大值时， 为偶数，排除B，而， ， ‎ ‎ ， 最大，选择C.‎ ‎2.【答案】‎ 结论十　多面体的外接球和内切球 ‎　　【变式训练】‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，‎ 故外接球半径为，外接球的体积为，‎ 故答案为： ．‎ 结论十一　焦点三角形的面积公式 ‎　　【变式训练】‎ ‎1.【答案】A ‎【解析】设，则，‎ 故选答案A.‎ ‎2. 【答案】A ‎【解析】：设，则. .‎ 故答案选A.‎ 结论十二　圆锥曲线的切线问题 ‎【变式训练】‎ ‎1.【答案】A　‎ ‎【解析】如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).‎ 结论十三　圆锥曲线的中点弦问题 ‎　【变式训练】【答案】　‎ ‎【解析】　设PA2的斜率为k2,PA1的斜率为k1,则k1·k2=-=-,又k2∈[-2,-1],所以k1∈.‎ ‎2.‎ 证明　设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),C(x0,0),kAC==,又kPA==k,所以kAC=,由kBA·kPB =-知,kPB·kBA=kPB·kAC=·kPB=-,所以kPB·k=-1,即PA⊥PB.‎ 结论十四　圆锥曲线中的一类定值问题 ‎　【变式训练】【解析】设直线AE的方程为y=k(x-1)+,联立方程得 消去y,整理得(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+4-12=0,则xE==.①‎ 同理,设直线AF的方程为y=-k(x-1)+,学*/ +-/ ‎ 则xF=.②‎ 所以kEF=‎ ‎=‎ ‎=,将①②代入上式,化简得kEF=.‎ 结论十五　圆锥曲线中的一类定点问题 ‎　【变式训练】　【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得消去y得,(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0, ‎ 结论十六　抛物线中的三类直线与圆相切问题 ‎【变式训练】‎ ‎1. 【答案】C ‎【解析】根据结论知道一AB为直径的圆和准线相切，该抛物线的准线为，故这个圆和直线是相离的关系。‎ 故答案为：C。‎ ‎2.【答案】2‎ ‎【解析】如图所示,因为·=0,所以MA⊥MB,故点M在以AB为直径的圆上,又准线为x=-2,直线AB经过焦点F(2,0),所以有MF⊥AB,又kMF==-,所以kAB=2.‎