- 2021-06-10 发布 |
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文档介绍
【数学】2020届一轮复习北师大版 坐标系 作业
1.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(-1,2),(3,0),(5,1),则点D的坐标是( ) A.(9,-1) B.(-3,1) C.(1,3) D.(2,2) 解析:设点D的坐标为(x,y). 则-1+5=3+x,2+1=0+y,解得x=1,y=3. 故点D的坐标为(1,3). 答案:C 2.已知△ABC中,A(4,-3),B(5,-2),重心G(2,-1),则点C的坐标为( ) A.(-3,2) B.(3,-2) C.(2,-3) D.(-2,3) 解析:设点C(x,y),线段AB的中点D92,-52. 依题意得GC=2DG, 即(x-2,y+1)=22-92,-1+52. 得x-2=-5,y+1=3,解得x=-3,y=2, 故C(-3,2)为所求. 答案:A 3.方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示的图形是( ) A.两条直线 B.四条直线 C.两个点 D.四个点 解析:由方程得x2-4=0,y2-4=0,解得x=2,y=2或x=-2,y=-2或x=-2,y=2或x=2,y=-2,故选D. 答案:D 4.将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是( ) A.x+y-1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0 解析:因为(x-1)2+(y-2)2=4,所以圆心是(1,2),将圆心坐标代入各选项验证知选C. 答案:C 5.平面上有三个点A(-2,y),B0,y2,C(x,y),若AB⊥BC,则动点C的轨迹方程是 . 解析: AB=0,y2-(-2,y)=2,-y2,BC=(x,y)-0,y2=x,y2,∵AB⊥BC,∴AB·BC=0. ∴2,-y2·x,y2=0,即y2=8x. ∴动点C的轨迹方程为y2=8x. 答案:y2=8x 6.在平面直角坐标系中,已知点A为平面内的一个动点,点B的坐标为(2,0).若OA·BA=|OB|(O为坐标原点),则动点A的轨迹为 . 解析:设动点A的坐标为(x,y),则OA=(x,y),BA=(x-2,y),|OB|=22+0=2. 代入已知条件得x(x-2)+y2=2,即(x-1)2+y2=3,它表示一个圆. 答案:圆 7.已知真命题:若点A为☉O内一定点,点B为☉O上一动点,线段AB的垂直平分线交直线OB于点P,则点P的轨迹是以点O,A为焦点,OB长为长轴长的椭圆.类比此命题,写出另一个真命题:若点A为☉O外一定点,点B为☉O上一动点,线段AB的垂直平分线交直线OB于点P,则点P的轨迹是 . 解析:如图,连接AP,因为P是线段AB的垂直平分线上一点, 所以|PA|=|PB|. 因此||PA|-|PO||=||PB|-|PO||=|OB|=R=定值,其中R为☉O的半径.由于点A在圆外,故||PA|-|PO||=|OB|=R<|OA|,故动点P的轨迹是以O,A为焦点,OB为实轴长的双曲线. 答案:以点O,A为焦点,OB为实轴长的双曲线 8.关于x的一元二次方程x2-ax+b=0的两根为sin θ,cos θ,求点P(a,b)的轨迹方程其中|θ|≤π4. 解由已知可得a=sinθ+cosθ,b=sinθcosθ,①② 令①2-2×②得a2=2b+1. ∵a=sin θ+cos θ=2sinθ+π4,|θ|≤π4, ∴0≤a≤2. 由sin θ·cos θ=12sin 2θ,知|b|≤12. ∴点P(a,b)的轨迹方程是a2=2b+1(0≤a≤2). 9.导学号73144002已知定点F(0,1)和直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C. (1)求动点C的轨迹方程; (2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于P,Q两点,交直线l1于点R,求RP·RQ的最小值. 解(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离, 则点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线. 故动点C的轨迹方程为x2=4y. (2)由题意知,直线l2的方程可设为y=kx+1(k≠0),与抛物线方程x2=4y联立消去y,得x2-4kx-4=0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4. 又易得点R的坐标为-2k,-1, 则RP·RQ=x1+2k,y1+1·x2+2k,y2+1 =x1+2kx2+2k+(kx1+2)(kx2+2) =(1+k2)x1x2+2k+2k(x1+x2)+4k2+4 =-4(1+k2)+4k2k+2k+4k2+4 =4k2+1k2+8. ∵k2+1k2≥2,当且仅当k2=1时取等号, ∴RP·RQ≥4×2+8=16, 即RP·RQ的最小值为16. B组 1.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是( ) A.x29-y216=1 B.x216-y29=1 C.x29-y216=1(x>3) D.x216-y29=1(x>4) 解析:如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=|AD|-|BF|=8-2=6. 根据双曲线定义,所求轨迹是以点A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,方程为x29-y216=1(x>3). 答案:C 2.已知椭圆的焦点是F1,F2,点P是椭圆上的一个动点.若点M是线段F1P的中点,则动点M的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 解析:如图,设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0). 则|PF1|+|PF2|=2a,连接MO,由三角形的中位线可得,|F1M|+|MO|=a(a>|F1O|),则动点M的轨迹是以点F1,O为焦点的椭圆.故选B. 答案:B 3.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,点A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为( ) A.4x221-4y225=1 B.4x221+4y225=1 C.4x225-4y221=1 D.4x225+4y221=1 解析:∵点M为AQ垂直平分线上一点,∴|AM|=|MQ|, ∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5>|CA|=2,故点M的轨迹为椭圆. ∴a=52,c=1,则b2=a2-c2=214, ∴椭圆的标准方程为4x225+4y221=1. 答案:D 4.已知两条直线l1为2x-3y+2=0,l2为3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半径都动)与l1,l2都相交,且l1,l2被圆截得的弦长分别是定值26和24,则动圆圆心的轨迹方程是 . 解析:设动圆的圆心为M(x,y),半径为r,点M到直线l1,l2的距离分别为d1和d2. 由弦心距、半径、半弦长间的关系得, 2r2-d12=26,2r2-d22=24,即r2-d12=169,r2-d22=144, 消去r得动点M满足的几何关系为d22-d12=25, 即(3x-2y+3)213-(2x-3y+2)213=25. 化简得(x+1)2-y2=65, 此即为所求的动圆圆心的轨迹方程. 答案:(x+1)2-y2=65 5.已知双曲线x22-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点. (1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程; (2)若过点H(0,h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1⊥l2,求h的值. 解(1)由题设知|x1|>2,A1(-2,0),A2(2,0), 则直线A1P的方程为y=y1x1+2(x+2),① 直线A2Q的方程为y=-y1x1-2(x-2).② 联立①②解得交点坐标为x=2x1,y=2y1x1, 即x1=2x,y1=2yx,③ 则x≠0,|x|<2. 而点P(x1,y1)在双曲线x22-y2=1上,得x122-y12=1. 将③代入上式,整理得所求轨迹E的方程为x22+y2=1,x≠0且x≠±2. (2)设过点H(0,h)的直线为y=kx+h(h>1), 联立x22+y2=1与y=kx+h(h>1), 得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0. 令Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,得h2-1-2k2=0,解得k1=h2-12,k2=-h2-12. 由于l1⊥l2,则k1k2=-h2-12=-1,故h=3. 过点A1,A2分别引直线l1,l2通过y轴上的点H(0,h),且使l1⊥l2,因此A1H⊥A2H, 由h2×-h2=-1,得h=2. 此时,l1,l2的方程分别为y=x+2与y=-x+2, 它们与轨迹E分别仅有一个交点-23,223与23,223. 所以,符合条件的h的值为3或2. 6.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x2100+y225=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M0,647为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D(8,0).观测点A(4,0),B(6,0)同时跟踪航天器. (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程. (2)试问:当航天器在x轴上方时,观测点A,B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令? 解(1)由题意,可设曲线方程为y=ax2+647,将点D(8,0)的坐标代入,得0=a·64+647,解得a=-17. 故所求曲线方程为y=-17x2+647. (2)设变轨点为C(x,y). 根据题意可知 x2100+y225=1,y=-17x2+647, 消去x得4y2-7y-36=0, 解得y=4或y=-94(舍去), 于是x=6或x=-6(舍去),故点C的坐标为(6,4). 应用两点间距离公式计算,得|AC|=25,|BC|=4. 故当观测点A,B测得离航天器的距离分别为25,4时,应向航天器发出变轨指令. 7.导学号73144003设椭圆方程为x2+y24=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B两点,O为坐标原点,点P满足OP=12(OA+OB),点N的坐标为12,12,当直线l绕点M旋转时,求: (1)动点P的轨迹方程; (2)|NP|的最大值和最小值. 解(1)直线l过定点M(0,1),设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意知,A,B的坐标满足方程组y=kx+1,x2+y24=1. 消去y得(4+k2)x2+2kx-3=0. 则Δ=4k2+12(4+k2)>0, x1+x2=-2k4+k2,x1x2=-34+k2. 由OP=12(OA+OB),得点P是AB的中点. 设P(x,y),则 x=12(x1+x2)=-k4+k2,y=12(y1+y2)=12(kx1+1+kx2+1)=44+k2, 消去k得4x2+y2-y=0. 当斜率k不存在时,AB的中点是坐标原点,也满足这个方程,故点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0. (2)由(1)知4x2+y-122=14, 得-14≤x≤14. 而|NP|2=x-122+y-122 =x-122+1-16x24=-3x+162+712, 故当x=-16时,|NP|取得最大值216, 当x=14时,|NP|取得最小值14.查看更多