2019-2020学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题

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2019-2020学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题

北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷 ‎ 高二数学 2020.1‎ 试卷满分:150分 考试时间:120分钟 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.‎ ‎1.已知椭圆的一个焦点为,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知数列满足,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知命题:,,则为( )‎ A., B.,‎ C., D.,‎ ‎4.已知,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知向量,且,那么( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知直线,分别在两个不同的平面内,则“直线和直线相交”是“平面和 平面相交”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7. 已知向量,,,若共面,则等于 ‎ ‎( )‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎ ‎8. 德国著名数学家高斯,享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时,定义了一 个函数,其中表示不超过的最大整数,比如. 根据以上定义,当 时,数列,,( )‎ A.是等差数列,也是等比数列 B.是等差数列,不是等比数列 C.是等比数列,不是等差数列 D.不是等差数列,也不是等比数列 ‎9.设有四个数的数列,该数列前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,‎ 其和为. 则实数m的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 曲线.给出下列结论:‎ ①曲线关于原点对称;‎ ②曲线上任意一点到原点的距离不小于1;‎ ③曲线只经过个整点(即横、纵坐标均为整数的点).‎ 其中,所有正确结论的序号是( )‎ A. ①② B. ② C. ②③ D. ③‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎11.设是椭圆上的点,到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离 为__________.‎ ‎12. 不等式的解集为_________. ‎ ‎13. 能说明“若,则”为假命题的一组、值是 , . ‎ ‎14.若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心 率的值是__________.‎ ‎15.某渔业公司今年初用万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种费用万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加万元.‎ 若该渔船预计使用年,其总花费(含购买费用)为________ 万元; ‎ 当______时,该渔船年平均花费最低(含购买费用).‎ ‎16. 若 表示从左到右依次排列的9盏灯,现制定开灯与关灯的规则如下:‎ ‎(1)对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作;‎ ‎ (2)灯在任何情况下都可以进行一次操作;对任意的,要求灯 的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作.‎ 如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯关闭最少需要 次操作;‎ 如果除灯外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要 次操作.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分13分)‎ 已知等比数列的公比为,且,,成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设的前项和为,且,求的值.‎ ‎18.(本小题满分13分)‎ 已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)若,求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若对恒成立,求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)求关于的不等式的解集.‎ ‎19.(本小题满分13分)‎ 已知椭圆的右焦点为,离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设点为椭圆的上顶点,点在椭圆上且位于第一象限,且,求的面积.‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 如图,四棱锥中,平面,, .‎ ‎,,,是的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:⊥平面;‎ ‎(Ⅱ)若二面角的余弦值是,求的值;‎ D A B C P E ‎(Ⅲ)若,在线段上是否存在一点,使得⊥. 若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ 已知抛物线,抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程及其准线方程;‎ ‎(Ⅱ)过的直线交抛物线于不同的两点,交直线于点,直线交直线于点. 是否存在这样的直线,使得? 若不存在,请说明理由;若存在,求出直线的方程.‎ ‎22.(本小题满分13分)‎ 若无穷数列满足:对任意两个正整数,与至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.‎ ‎(Ⅰ)求证:若数列为等差数列,则为“和谐数列”;‎ ‎(Ⅱ)求证:若数列为“和谐数列”,则数列从第项起为等差数列;‎ ‎(Ⅲ)若是各项均为整数的“和谐数列”,满足,且存在使得,‎ ‎,求p的所有可能值. ‎ 北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷 ‎ 高二数学参考答案 2020.1‎ 一、 选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.‎ ‎1. A 2. B 3.C 4. D 5. A 6. A 7. B 8. D 9. B 10. C ‎ 二、 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. ‎ ‎11. 12. 13. (答案不唯一) 14. ‎ ‎15.; 16. 3;21‎ 注:13、15、16题第一个空2分,第二个空3分.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.‎ ‎17.(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)因为为公比为的等比数列,‎ 所以,,, ………………3分 依题意得 , ………………5分 即, ………………6分 整理得, 解得. ………………7分 所以数列的通项公式为. ………………8分 ‎(Ⅱ)依题意 , ………………10分 ‎. ………………11分 所以,整理得, ………………12分 解得 所以的值是. ………………13分 ‎18.(本小题满分13分)‎ ‎ 解:(Ⅰ)由得,‎ 整理得, ………………2分 解得或. ………………4分 ‎(Ⅱ)对恒成立,则, ………………6分 所以, ………………7分 整理得,‎ 解得. ………………8分 ‎(Ⅲ)解,得,‎ ①当时,即时,或 ; ………………10分 ②当时,即时,或 ; ………………12分 ③当时,即时, . ………………13分 综上,当时,不等式的解集为或;当时,不等式的解集为或;当时,不等式的解集为.‎ 19. ‎(本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)依题意 ,, ………………2分 解得,, ………………4分 所以椭圆的方程为. ………………5分 ‎(Ⅱ)设点,因为点在椭圆上,所以…①, ………………7分 因为,所以,得…②, ………………8分 由①②消去得,,‎ 解得(舍),, ………………10分 代入方程②得,所以, ………………11分 所以,又, ………………12分 所以的面积. ………………13分 ‎20. (本小题满分14分)‎ ‎(Ⅰ)证明:因为 平面,,‎ 所以 平面. ………………1分 又因为 平面,所以 . ………………2分 在中,,是的中点,‎ 所以 . ………………3分 又因为 ,所以 平面. ………………4分 D A B C P E y z x ‎(Ⅱ)解:因为 平面,‎ 所以,. ………………5分 又因为 ,‎ 所以 如图建立空间直角坐标系.‎ 则,,,,‎ ‎,,‎ ‎,. ………6分 设平面的法向量为.‎ 则 ………………7分 ‎ 即 令,则,,‎ 于是. ………………8分 因为平面,所以. 又,‎ 所以平面.‎ 又因为, ‎ 所以 取平面的法向量为. ………………9分 所以 , ………………10分 即,解得.‎ 又因为,所以. ………………11分 ‎(Ⅲ)结论:不存在.理由如下:‎ 证明:设.‎ 当时,.‎ ‎,. ………………12分 由知,,,.这与矛盾. ………13分 所以,在线段上不存在点,使得. ………………14分 ‎21. (本小题满分14分)‎ 解:(Ⅰ)因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, ………2分 所以, ………………3分 所以准线方程为. ………………4分 ‎(Ⅱ)显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.‎ 联立得 消去得. ………………5分 由,解得. 所以且.‎ 由韦达定理得,. ………………7分 方法一:‎ 直线的方程为,‎ 又,所以,所以, ………………8分 因为,所以直线与直线的斜率相等. ………………9分 又,所以. ………………10分 整理得,即, ………………11分 化简得,,即. ………………12分 所以,整理得, ………………13分 解得. 经检验,符合题意.‎ 所以存在这样的直线,直线的方程为或.………14分 方法二:‎ 因为,所以,所以. ………………10分 整理得,即, ………………12分 整理得. ………………13分 解得,经检验,符合题意.‎ 所以存在这样的直线,直线的方程为或.………14分 ‎22.(本小题满分13分)‎ ‎(Ⅰ)证明:因为数列为等差数列,‎ 所以 对任意两个正整数,有 , ………………2分 所以 .‎ 所以 数列为“和谐数列”. ………………4分 ‎(Ⅱ)证明:因为数列为“和谐数列”,‎ ‎ 所以 当,时,只能成立, 不成立.‎ 所以 ,即. ………………6分 ‎ 当,时,也只能成立,不成立.‎ 所以 ,,,‎ 即 ,‎ ‎ 所以 . ………………7分 令,则数列满足.‎ ‎ 所以,数列从第3项起为等差数列. ………………8分 ‎(Ⅲ)解:①若,则,与矛盾,不合题意. ‎ ‎②若,则,,但,不合题意. ………………9分 ‎③若,则,,由,得, ‎ 此时数列为:,符合题意. ………………10分 ‎④若,设,‎ 则.‎ 所以,‎ 即 .‎ ‎ 因为 ,所以. ………………11分 ‎ 所以 不合题意.‎ 所以 . ………………12分 因为p为整数,所以为整数,所以.‎ 综上所述,p的所有可能值为. ………………13分
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