北京市房山区2020届高三上学期期末考试数学试题

北京市房山区2020届高三上学期期末考试数学试题

房山区 2019-2020 学年度第一期末期末检测 高三数学 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用交集定义直接求解． 【详解】∵集合 ，B＝{0，1，2，3}， ∴A∩B＝{0，1，2}． 故选：C． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题． 2.已知复数 ，则 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的代数形式的运算法则，先求出 z，由此利用复数的定义能求出 z 的虚部． 【详解】 ,故 的虚部为 故选：B { }1 2A x x= − ≤ ≤ { }0,1,2,3B = A B = { }0,1 { }1,0,1− { }0,1,2 { }1,0,1,2- { }1 2A x x= − ≤ ≤ i 2 i = +z z 1 3 2 3 1 3 − 2 3 − ( ) ( )( ) 2 i ii 1 2 3 32 i 2 i 2 i iz − = = = + + + − z 2 3 【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式 的合理运用． 3.等差数列 中，若 ， 为 的前 项和，则 （ ） A. 28 B. 21 C. 14 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 利用等差数列下角标性质求得 ，再利用求和公式求解 【详解】等差数列 中，若 ，则 则 故选：C 【点睛】本题考查等数列的前n 项公式，考查化简、计算能力，熟练运用等差数列下角标性 质是关键，属于基础题． 4.从 年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语 门统一高考成绩和考生选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为 、 、 、 、 ，各等级人数所占比例依次为： 等级 ， 等级 ， 等级 ， 等级 ， 等级 ．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取 人作为样本，则该样本中获得 或 等级的学生人数为（ ） A. 55 B. 80 C. 90 D. 110 【答案】D 【解析】 【分析】 利用抽样比求解 【详解】设该样本中获得 或 等级的学生人数为 ，则 故选：D 【点睛】本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题 5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） { }na 1 4 7 6a a a+ + = nS { }na n 7S = 4a { }na 1 4 7 6a a a+ + = 4 43 6, 2a a= ∴ = 7 47 14S a= = 2020 3 A B C D E A 15% B 40% C 30% D 14% E 1% 200 A B A B x 15 40 110200 100 x x += ∴ = A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 将三视图还原，利用三棱锥体积公式求解 【详解】三视图还原为如图所示的三棱锥：侧面 底面 ，且 为等腰三角 形， 为直角三角形，故体积 故选：A 【点睛】本题考查三视图及锥体体积，考查空间想象能力，是基础题 6.若点 在角 的终边上，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 2 3 4 3 SBC ⊥ ABC SBC∆ ABC∆ 1 1 22 2 13 2 3V = × × × × = 5π 5π(cos ,sin )6 6M α tan2α = 3 3 3 3 − 3 3− 先求出点 M 的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求出 tan 的值,再利用二倍角公式求 解 【 详 解 】 即 为 ， 则 故选：D 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，以及二倍角公式，属于容易题． 7.已知双曲线 方程为 ，点 ， 分别在双曲线的左支和右支上，则直线 的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用直线 的斜率与渐近线比较求解 【详解】由题双曲线的渐近线斜率为 ，当直线 的斜率为 时，满足题意，当直 线 的斜率 为时，交双曲线为同一支， 故选：A 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查渐近线斜率，是基础题 8.设 ， 均为单位向量，则“ 与 夹角为 ”是“ ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充 分也不必要条件 【答案】C 【解析】 的 α 5π 5π(cos ,sin )6 6M 3 1,2 2M  −    2 3 3 3tan , tan 2 313 1 3 α α − = − ∴ = = − − C 2 2 14 yx − = P Q PQ ( 2,2)− 1 1( , )2 2 − ( , 2) (2, )−∞ − +∞ 1 1( , ) ( , )2 2 −∞ − +∞ PQ 2± PQ ( 2,2)− PQ ( , 2) (2, )−∞ − +∞ a b a b π 3 | | 3a b+ =  【分析】 根据向量数量积的应用，利用平方法求出向量夹角，结合充分条件和必要条件的定义进行判 断即可． 【详解】由“| | 平方得| |2+| |2+2 • 3， 即 1+1+2 • 3，得 2 • 1， • ， 则 cosθ ， 则 与 夹角 θ ， 即“ 与 夹角为 ”是“| | ”的充分必要条件， 故选：C． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义结合向 量数量积的应用进行化简是解决本题的关键． 9.如图，在正方体 中， 为棱 的中点，动点 在平面 及其 边界上运动，总有 ，则动点 的轨迹为（ ） A. 两个点 B. 线段 C. 圆的一部分 D. 抛物线 的一部分 【答案】B 【解析】 【分析】 先找到一个平面总是保持与 垂直，取 B1B 的中点 E，CB 的中点 F，连接 AE，EF，在 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，可得 AF⊥面 DMD1， MD1⊥平面 AEF 即可得出． a b+  3= a b a b = a b = a b = a 1 2b = 1 12 1 1 2 a b a b ⋅= = =×   a b 3 π= a b 3 π a b+  3= 1 1 1 1ABCD A B C D− M AB P 1 1BCC B 1AP D M⊥ P 1D M 【详解】如图，先找到一个平面总是保持与 垂直， 取 B1B 的中点 E，CB 的中点 F，连接 AE，EF，AF,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中， 易证 DM⊥AF， ⊥AF，则有 AF⊥面 DMD1，同理 MD1⊥AE，则 MD1⊥平面 AEF 又点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动， 根据平面的基本性质得： 点 P 的轨迹为面 AEF 与面 BCC1B1 的交线段 EF． 故选：B 【点睛】本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征、轨迹的求法、平面的基本性质等基 础知识，考查空间想象力．属于基础题． 10.已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排 名．具体积分规则如表 1 所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表 2． 表 1 田径综合赛项目及积分规则 项目 积分规则 米跑 以 秒得 分为标准，每少 秒加 分，每多 秒扣 分 跳高 以 米得 分为标准，每多 米加 分，每少 米扣 分 掷实心球 以 米得 分为标准，每多 米加 分，每少 米扣 分 表 2 某队模拟成绩明细 姓名 100 米跑（秒） 跳高（米） 掷实心球（米） 甲 1D M 1D D 100 13 60 0.1 5 0.1 5 1.2 60 0.02 2 0.02 2 11.5 60 0.1 5 0.1 5 13.3 1.24 11.8 乙 丙 丁 根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】 由得分规则计算甲乙丙丁四人各项得分进行判断即可 【详解】由题，甲各项得分为：100 米跑 60-15=45 分；跳高 60+4=64；掷实心球 60+15=75； 则总分为 45+64+75=184 乙各项得分为：100 米跑 60+20=80 分；跳高 60+10=70；掷实心球 60-5=55，则总分为 80+70+55=205 丙各项得分为：100 米跑 60+5=65 分；跳高 60+6=66；掷实心球 60+10=70，则总分为 65+66+70=201 丁各项得分为：100 米跑 60-5=55 分；跳高 60+2=62；掷实心球 60+5=65，则总分为 55+62+65=182,综上，乙得分最多 故选：B 【点睛】本题考查数据分析及决策问题，理解题意是关键，是基础题 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 11.已知两点 ， ，则以线段 为直径的圆的方程为_____________． 【答案】 【解析】 分析】 根据中点坐标公式求圆心为（1，1），求两点间距离公式求 AB 的长并得出半径为 ，写出 圆的标准方程即可． 【 12.6 1.3 11.4 12.9 1.26 11.7 13.1 1.22 11.6 ( )2,0A ( )0,2B AB ( ) ( )2 21 1 2x y− + − = 2 【详解】直径的两端点分别为（0，2），（2，0）， ∴圆心为（1，1），半径为 ，故圆 方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2． 故答案为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2． 【点睛】在确定圆的方程时，选择标准方程还是一般方程需要灵活选择，一般情况下易 于确定圆或半径时选择标准方程，给出条件是几个点的坐标时，两种形式都可以．此题 选择标准形式较简单． 12. 函数 f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，则 f(2)＝________． 【答案】3 【解析】 由 f(－x)＝f(x)，得 a＝1，∴f(2)＝3. 13.已知数列 满足 ，且其前 项和 满足 ，请写出一个符合上述条件 的数列的通项公式 _______． 【答案】 或 （答案不唯一） 【解析】 【分析】 判断数列的特征，从数列的性质入手考虑解答． 【详解】设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且∀n∈N*，an+1＞an，说明数列是递增数列； ，说明数列项为负数； 故数列的通项公式 或 （答案不唯一） 故答案为： 或 （答案不唯一） 【点睛】本题考查数列的性质，数列的应用，是基本知识的考查． 14.已知 ，若 的最小正周期为____，若 对任意的实数 都成立，则 ____. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 的2 { }na 1n na a+ > n nS 1n nS S+ < na = 11( 1) ( )2 n−− ⋅ 1 n − 1n nS S+ < na = 11( 1) ( )2 n−− ⋅ 1 n − 11( 1) ( )2 n−− ⋅ 1 n − π( ) cos(2 )(0 )2 ϕ ϕ= < <+f x x ( )f x π( ) ( )12 −≤f x f x ϕ = π 6 π 利用周期公式求解周期，利用函数 取最大值得 值 【详解】由题 ，若 对任意的实数 都成立，则函数在 取最大值，故 ，又 故答案为： ， 【点睛】本题考查余弦函数的周期性，考查函数的最值，熟记函数性质是关键，是基础题 15.已知函数 ①当 时，函数 的值域是________； ②若函数 的图象与直线 只有一个公共点，则实数 的取值范围是__________． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 （1）分段求值域，再求并集可得 f（x）的值域； （2）转化为 f（x）＝ 在 上与直线 只有一个公共点，分离 a 求值域可得实 数 a 的取值范围． 【详解】（1）当 a＝1 时，即当 x≤1 时，f（x）＝ ， 当 x＞1 时，f（x）＝2-x<1， 综上所述当 a＝1 时，函数 f（x）的值域是 ， （2）由 无解，故 f（x）＝ 在 上与直线 只有一 个公共点，则 有一个零点，即实数 的取值范围是 故答案为： ； 【点睛】本题考查了分段函数的应用，同时考查了数形结合解决数学问题的能力，属于中档 题， 16.已知矩形 中 ， ，当每个 取遍 时， 在 12x π= − ϕ 2 2T π π= = π( ) ( )12 −≤f x f x 12x π= − 2 2 2 ,12 6k k k Z π πϕ π ϕ π × − + = ∴ = + ∈   π π0 2 6 ϕ ϕ< < ∴ = π 6 π 2 , 1,( ) 2 , 1.x x xf x a x  − >=  − ≤ 1a = ( )f x ( )f x 1y = a ( ,1]−∞ ( ]1,1− 2x a− 1x ≤ 1y = 2 1 ( 1,1]x − ∈ − ( ,1]−∞ ( ) ( )2 1, 1 ,f x x x= − = > 2x a− 1x ≤ 1y = ( )2 1 1xa x= − ≤ a ( ]1,1− ( ,1]−∞ ( ]1,1− ABCD 2AB = 1AD = ( 1,2,3,4,5,6)i iλ = ±1 的最小值是_____，最大值是_______． 【答案】 (1). 0 (2). 【解析】 【分析】 建立直角坐标系，向量坐标化求模长的最值即可 【 详 解 】 建 立 如 图 所 示 坐 标 系 ： , 则 由题意若使模长最大，则 不妨设为 则 当 时模长最大为 当 时模长最小值为 0 故答案为：0； 【点睛】本题考查向量坐标化的应用，建立坐标系是关键，考查推理能力，考查计算与推理 能力，是难题 1 2 3 4 5 6| |AB BC CD DA AC BDλ λ λ λ λ λ+ + + + +      2 17 ( ) ( ) ( )2,0 , 2,1 , 0,1B C D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 3 5 6 2 4 5 6 | 2,0 0,1 2,0 0, 1 2,1 2,1 2 2 2 2 , AB BC CD DA AC BDλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ + + + + + = + + − + − + + − = − + − − + +       1 3 2 42, 2,λ λ λ λ− = ± − = ± 1 3 2 42, 2,λ λ λ λ− = − = ( ) 1 2 3 4 5 6 5 6 5 64 2 2 ,2 AB BC CD DA AC BDλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ + + + + + = + − + +       5 6 5 62, 0λ λ λ λ+ = − = 2 17 1 2 3 4 5 61, 1, 1, 1, 1, 1λ λ λ λ λ λ= − = = = = = − 2 17 三、解答题共 6 题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17.如图，在平面四边形 中， ， ， ， ， . （1）求 的值； （2）求 ， 的值. 【答案】（1） ；（2） ， 【解析】 【分析】 （1）由同角三角函数基本关系得 ，利用两角和的正弦及内角和定理展开求 解即可 （2）利用正弦定理得 ，再利用余弦定理求解 【详解】（1）∵ ， ，∴ 在△ 中， ， ∴ （2）在△ 中，由正弦定理得 ，即 ABCD AB BC⊥ 3 3AB = 3CD = 3 3sin 14DBC∠ = 3C π∠ = sin BDC∠ BD AD 4 3 7 7BD = 7AD = 13cos 14DBC∠ = 7BD = 3 3sin 14DBC∠ = 2 2sin cos 1,0 2DBC DBC DBC π∠ + ∠ = < ∠ < 13cos 14DBC∠ = BDC ,3=C DBC C BDC π π∠ ∠ + ∠ + ∠ = sin sin( )BDC DBC C∠ = ∠ + ∠ sin cos cos sinDBC C DBC C= ∠ ⋅ + ∠ ⋅ 3 3 1 13 3 4 3 14 2 14 2 7 = ⋅ + ⋅ = BDC sin sin CD BD DBC C =∠ 3 3 3 3 14 2 BD= 解得 ，∵ ， ，∴ ， 在△ 中， ，根据余弦定理， 解得 【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和 转化思想，属于中档题． 18.某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业．该县 农科所为了对比 A，B 两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了 A，B 两种茶叶各 亩，所得亩产数据（单位：千克）如下： A： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； B： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （1）从 A，B 两种茶叶亩产数据中各任取 1 个，求这两个数据都不低于 的概率； （2）从 B 品种茶叶的亩产数据中任取 个，记这两个数据中不低于 的个数为 ，求 的分布列及数学期望； （3）根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶 A 还是茶叶 B？说明理由． 【答案】（1） ；（2）分布列见解析， ；（3）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】 （1）利用古典概型结合独立事件的概率求解 （2）利用超几何分布求解 （3）利用平均数和中位数大小比较即可 【详解】（1）从 A 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于 55 的有 11 个，从 B 种茶叶亩产数 据中任取一个，不低于 55 的有 4 个， 设“所取两个数据都不低于 55”为事件 ，则 7BD = 2ABD DBC π∠ + ∠ = 3 3sin 14DBC∠ = cos ABD∠ 3 3 14 = ABD 3 3AB = 2 2 2 2 cosAD AB BD AB BD ABD= + − ⋅ ∠ 2 2 3 3(3 3) 7 2 3 3 7 4914 = + − ⋅ ⋅ ⋅ = 7AD = 20 41.3 47.3 48.1 49.2 51.2 51.3 52.7 53.3 54.2 55.3 56.4 57.6 58.9 59.3 59.6 59.7 60.6 60.7 61.1 62.2 46.3 48.2 48.3 48.9 49.2 50.1 50.2 50.3 50.7 51.5 52.3 52.5 52.6 52.7 53.4 54.9 55.6 56.7 56.9 58.7 55 2 55 X X 11( )=100P A 2( ) 5E X = A 11 4 11( )= =20 20 100P A × （2） 的所有可能取值为 ， ， ， 的分布列为 0 1 2 期望 （3）如果选择 A，可以从 A 的亩产数据的中位数或平均值比 B 高等方面叙述理由．如果 选择 B，可以从 B 的亩产数据比 A 的方差小，比较稳定等方面叙述理由． 【点睛】本题考查古典概型及独立事件的概率，考查超几何分布，理解平均数中位数及 方差的意义是关键，是中档题 19.如图，在四棱锥 中， 平面 ，△ 为等边三角形， ， ， ， 分别为棱 ， 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值； X 0,1,2 2 0 16 4 2 20 60( 0)= = 95 C CP X C = 1 1 16 4 2 20 32( 1)= = 95 C CP X C = 0 2 16 4 2 20 3( 2)= = 95 C CP X C = ∴ X X P 12 19 32 95 3 95 ∴ 12 32 3 2( ) 0 1 219 95 95 5E X = × + × + × = P ABCD− CD ⊥ PAD PAD // AD BC 2 2AD CD BC= = = E F PD PB AE ⊥ PCD AEF PAD （3）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值，若不存在， 说明理由． 【答案】（1）见解析；（2） ；（3）存在， 【解析】 【分析】 （1）证明 和 即可证明 （2）取 的中点 ，连结 ，得 ，以 为原点，以 所 在直线分别为 轴如图建系，求得两平面的法向量，利用二面角向量公式求解 （3）假设棱 上存在点 ，使得 平面 ，且设 ，求得平面 的法向量，利用 得 【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，所以 ， ． 又因为△ 为等边三角形， 为 的中点，所以 ． ， 所以 平面 ． （2）取 的中点 ，连结 ，则易知 ， ， ．因为 △ 为等边三角形，所以 ． 以 为原点，以 所在直线分别为 轴如图建系， ，， ， 设平面 的法向量 ，则： ，即 ， 令 ，得平面 的一个法向量 ，易知平面 的一个法向量为 PC G //DG AEF PG PC 17 17 4 5 PG PC = CD AE⊥ PD AE⊥ AD O ,OP OB OP AD⊥ O OA OB OP、 、 x y、 、z PC G //DG AEF [ ], 0,1PG PC λ λ= ∈ AEF 0DG n⋅ =  4 5 λ = CD ⊥ PAD AD ⊂ PAD AE ⊂ PAD CD AD⊥ CD AE⊥ PAD E PD PD AE⊥ PD CD D∩ = AE ⊥ PCD AD O ,OP OB // OB CD OB ⊥ AD OB ⊥ OP PAD OP AD⊥ O OA OB OP、 、 x y、 、z 1 3 3(1,0,0), ( ,0, ), (0,1, ), (0,2,0)2 2 2A E F B− (0,0 3), ( 1,2,0), ( 1,0,0)P C D− − 3 3( ,0, )2 2 AE = − 1( ,1,0)2 EF = AEF ( , , )n x y z= 0 0 n AE n EF  ⋅ =  ⋅ =   3 3 02 2 1 02 x z x y − + =  + = 2x = AEF (2, 1,2 3)n = − PAD 所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ． （3）假设棱 上存在点 ，使得 平面 ，且设 ，则 ， ，则 ， ，要使得 平面 ，则 ，得 ， 所以线段 上存在点 ，使得 平面 ， ． 【点睛】 本题考查线面垂直的判定，考查向量法求解二面角及线面平行问题，考查计算能力，是中档 题 20.已知椭圆 ： 的右焦点为 ，且经过点 ． （1）求椭圆 的方程以及离心率； （2）若直线 与椭圆 相切于点 ，与直线 相交于点 ．在 轴是否存在 定点 ，使 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由． (0,2,0)OB = 2 17cos , 172 4 1 12     OB nOB n OB n ⋅ −< >= = = − + + AEF PAD 17 17 PC G //DG AEF [ ], 0,1PG PC λ λ= ∈ PG PCλ=  ( 1,2, 3)PC = − − ( ,2 , 3 3 )G λ λ λ− − (1 ,2 , 3 3 )DG λ λ λ= − − //DG AEF 2 2 2 6 6 0 DG n λ λ λ⋅ = − − + − = 4 5 λ = PC G //DG AEF 4 5 PG PC = E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > (2,0) (0,2) y kx m= + E P 4x = − Q x M MP MQ⊥ M 【答案】（1） ， ；（2）存在定点 ， 为 【解析】 【分析】 （1）利用 ， ， 求解方程 （2）设直线方程为 ，与椭圆联立利用判别式等于 0 得 ，并求得切 点坐标 及 ，假设存在点 ，利用 化简求值 【详解】（1）由已知得， ， ， ，椭圆的方程为 ，离 心率为 ； （2）在 轴存在定点 ， 为 使 ，证明：设直线方程为 代入 得 ，化简得 由 ，得 ， ， 设 ，则 ， ， 则 ，设 ，则 ，则 假设存在点 解得 所以在 轴存在定点 使 ． 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查切线的应用，利用判别式等于 0 得坐标是解 决问题的关键,考查计算能力,是中档题 21.已知函数 . 2 2 18 4 x y+ = 2 2e = M M ( 2 0)，− 2c = 2b = 2 2 2 8a b c= + = y kx m= + 2 28 4m k= + 8 4( , )kP m m − ( 4, 4 )Q k m− − + ( ),0M t 0MP MQ⋅ =  2c = 2b = 2 2 2 8a b c= + = 2 2 18 4 x y+ = 2 2 ce a = = x M M ( 2 0)，− MP MQ⊥ y kx m= + 2 2 18 4 x y+ = 2 22( ) 8x kx m+ + = 2 2 2( )2 1 4 2 8 0k x kmx m+ + + − = 2 2 2(4 ) 4(2 1)(2 8) 0km k m∆ = − + − = 2 28 4 0k m+ − = 2 28 4m k= + 0 0( , )P x y 0 2 2 8 2 1 km kx k m − −= =+ 2 2 0 0 8 8 4k m ky kx m k mm m m − −= + = ⋅ + = = 8 4( , )kP m m − 1( 4, )Q y− 1 4y k m= − + ( 4, 4 )Q k m− − + ( ),0M t 0 0 1( , ) ( , )MP MQ x t y t y⋅ = − ⋅ −  0 0 12( 2)x y y= − + + ( ) 28 2 ( 2) 0k t tm = + + + = 2t = − x ( )2 0，−M MP MQ⊥ ( ) (2 1)ln 1f x x x x= − + − （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）求证： . 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】 【分析】 (1)求导得直线的斜率利用点斜式得方程 (2)求导构造新函数证明 即可 【详解】（1）由 ，得 ， 则切线方程为 . （2） ，令 ， ，故 在 上单调递增. 又 ，又 在 上连续， 使得 ，即 ， .（*） 随 的变化情况如下： ↘ 极小值 ↗ . 由（*）式得 ，代入上式得 ( )y f x= (1, (1))f ( ) 1f x > − 2 2y x= − ( ) 1minf x > − ( ) (2 1)ln 1f x x x x= − + − 1'( ) 2ln 3f x x x = − + (1) 2 (1) 0f f′∴ = =， 2 2y x= − 1'( ) 2ln 3, (0, )f x x xx = − + ∈ +∞ 1( ) 2ln 3, (0, )h x x xx = − + ∈ +∞ 2 2 2 1 2 1'( ) 0xh x x x x +∴ = + = > ( )h x (0, )+∞ 1(1) 2 0, ( ) 1 ln 4 ln 02 4 eh h= > = − = < ( )h x (0, )+∞ 0 1( ,1)2x∴∃ ∈ 0( ) 0h x = 0'( ) 0f x = ∴ 0 0 12ln 3 0x x − + = '( ), ( )f x f x x x 0(0, )x 0x 0( , )x +∞ '( )f x − 0 + ( )f x ∴ min 0 0 0 0( ) ( ) (2 1)ln 1f x f x x x x= = − + − 0 0 1 3ln 2 2x x = − . 令 ， ，故 在 上单调递减. ，又 ，. 即 . 【点睛】本题考查导数的集合意义,考查导数证明不等式,转化为求函数最值是解题的关键,考 查推理及变形能力,是中档题 22.设 为给定 不小于 的正整数，考察 个不同的正整数 ， ， ， 构成的集合 ，若集合 的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称 集合 为“差异集合”． （1）分别判断集合 ，集合 是否是“差异集合”；（只需写 出结论） （2）设集合 是“差异集合”，记 ，求证：数列 的前 项和 ； （3）设集合 是“差异集合”，求 的最大值． 【答案】（1）集合 不是，集合 是；（2）见解析；（3）最大值为 【解析】 【分析】 （1）利用定义直接判断 （2）利用定义得 ，则 即可证明 （3）不妨设 ，变形 的 min 0 0 0 0 0 0 1 3 1 3( ) ( ) (2 1)( ) 1 22 2 2 2f x f x x x xx x = = − − + − = − − + 1 3 1( ) 2 , ( ,1)2 2 2t x x xx = − − + ∈ 2 2 1 (1 2 )(1 2 )'( ) 2 02 2 x xt x x x + −= − = < ( )t x 1( ,1)2 ( ) (1)t x t∴ > (1) 1t = − 0( ) 1f x > − ( ) 1f x∴ > − n 5 n 1a 2a  na 1 2{ , , , }nP a a a=  P P {1,3,8,13,23}A = {1,2,4,8,16}B = 1 2{ , , , }nP a a a=  12 ( 1,2, , )i i ib a i n−= − =  { }ib k 0kD ≥ ( 1,2, , )k n=  1 2{ , , , }nP a a a=  1 2 1 1 1 na a a + + + A B 1 12 2n−− 1 2 2 1k ka a a+ + + ≥ − 0 1 1 1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) (2 1) 0k k k k kD a a a a a a−= − + − + + − = + + + − − ≥  1 2 3 na a a a< < < < 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( )2 4 2 −− + − + − + + − n na a a a 结合 ， 即可证明 【详解】（1）集合 不是，因为 ，即子集 与子集 元素之 和相等； 集合 是，因为集合 的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等. （2）由集合 是“差异集合”知： 的 个非空子集元素和为互不相等 的 个正整数， 于是 ，所以 （3）不妨设 ，考虑 而 ，所以 当 时， ； 综上， 的最大值为 . 【点睛】本题考查集合新定义问题，考查变形推理能力，准确理解题意进行转化是关键，是 难题 1 2 12 2 1 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2− − − − − = − + − + + − + n nn n n n n n D D D Da a a a a a a 0≥ 1 1 1 1 1 11 22 4 2 2− −+ + + + = − n n 1 1 2 1 1 1 12 2 n na a a −+ + + ≤ − A 1 23 3 8 13+ = + + {1,23} {3,8,13} B B P 1 2 3{ , , , , }ka a a a 2 1k − 2 1k − 1 2 2 1k ka a a+ + + ≥ − 0 1 1 1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) (2 1) 0k k k k kD a a a a a a−= − + − + + − = + + + − − ≥  1 2 3 na a a a< < < < 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( )2 4 2 −− + − + − + + − n na a a a 1 31 2 1 1 2 3 4 21 2 2 4 2 − − − −− −= + + + + n n n n a aa a a a a a 3 2 11 2 1 1 1 2 32 4 2 − − − −−= + + + + n n n n D D D DD D D a a a a 1 2 12 2 1 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2− − − − − = − + − + + − + n nn n n n n n D D D Da a a a a a a 0≥ 1 1 1 1 1 11 22 4 2 2− −+ + + + = − n n 1 1 2 1 1 1 12 2 n na a a −+ + + ≤ − 1{1, 2, 4, , 2 }nP −=  1 1 2 1 1 1 12 2n na a a −+ + + = − 1 2 1 1 1 na a a + + + 1 12 2n−−