2020高中数学 课时分层作业5 综合法和分析法 新人教A版选修1-2

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2020高中数学 课时分层作业5 综合法和分析法 新人教A版选修1-2

课时分层作业(五)  综合法和分析法 ‎(建议用时:40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1.证明命题“f(x)=ex+在(0,+∞)上是增函数”,一个同学给出的证法如下:‎ ‎∵f(x)=ex+,∴f′(x)=ex-.‎ ‎∵x>0,∴ex>1,0<<1 ∴ex->0,‎ 即f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.‎ 他使用的证明方法是(  )‎ A.综合法      B.分析法 C.反证法 D.以上都不是 A [该证明方法符合综合法的定义,应为综合法.故选A.]‎ ‎2.设P=,Q=-,R=-,那么P,Q,R的大小关系是(  ) ‎ ‎【导学号:48662076】‎ A.P>Q>R B.P>R>Q C.Q>P>R D.Q>R>P B [先比较R,Q的大小,可对R,Q作差,即Q-R=--(-)=(+)-(+).‎ 又(+)2-(+)2=2-2<0,‎ ‎∴Q<R,由排除法可知,选B.]‎ ‎3.要证-<成立,a,b应满足的条件是(  )‎ A.ab<0且a>b B.ab>0且a>b C.ab<0有a<b D.ab>0且a>b或ab<0且a<b D [要证-<,‎ 只需证(-)3<()3,‎ 即证a-b-3+30且b-a<0或ab<0,且b-a>0.故选D.]‎ ‎4.下面的四个不等式:‎ 5‎ ‎①a2+b2+c2≥ab+bc+ca;②a(1-a)≤;‎ ‎③+≥2;④(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2.‎ 其中恒成立的有(  ) ‎ ‎【导学号:48662077】‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C [∵(a2+b2+c2)-(ab+bc+ac)=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0‎ a(1-a)-=-a2+a-=-≤0,‎ ‎(a2+b2)·(c2+d2)=a‎2c2+a2d2+b‎2c2+b2d2≥a‎2c2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2.∴应选C.]‎ ‎5.若两个正实数x、y满足+=1,且不等式x+0,y>0,+=1,‎ ‎∴x+=(x+)(+)=2++ ‎≥2+2=4,‎ 等号在y=4x,即x=2,y=8时成立,‎ ‎∴x+的最小值为4,‎ 要使不等式m2-‎3m>x+有解,‎ 应有m2-‎3m>4,∴m<-1或m>4,故选B.]‎ 二、填空题 ‎6.如图222所示,四棱柱ABCDA1B‎1C1D1的侧棱垂直于底面,满足________时,BD⊥A‎1C(写上一个条件即可).‎ 5‎ 图222‎ AC⊥BD(答案不唯一) [要证BD⊥A‎1C,只需证BD⊥平面AA‎1C.‎ 因为AA1⊥BD,只要再添加条件AC⊥BD,‎ 即可证明BD⊥平面AA‎1C,从而有BD⊥A‎1C.]‎ ‎7.已知sin α+sin β+sin r=0,cos α+cos β+cos r=0,则cos(α-β)的值为________. ‎ ‎【导学号:48662078】‎ ‎- [由sin α+sin β+sin r=0,cos α+cos β+cos r=0,得sin α+sin β=-sin r,cos α+cos β=-cos r,‎ 两式分别平方,相加得2+2(sin αsin β+cos αcos β)=1,所以cos (α-β)=-.]‎ ‎8.设a>0,b>0,则下面两式的大小关系为lg(1+)________[lg(1+a)+lg(1+b)].‎ ‎≤ [∵(1+)2-(1+a)(1+b) =1+2+ab-1-a-b-ab =2-(a+b)=-(-)2≤0.‎ ‎∴(1+)2≤(1+a)(1+b),‎ ‎∴lg(1+)≤[lg(1+a)+lg(1+b)].]‎ 三、解答题 ‎9.设实数a,b,c成等比数列,非零实数x,y分别为a与b,b与c的等差中项,求证:+=2.‎ ‎ 【导学号:48662079】‎ ‎[证明] 由已知条件得b2=ac,‎ ‎2x=a+b,2y=b+c. ①‎ 要证+=2,只要证ay+cx=2xy,‎ 只要证2ay+2cx=4xy. ②‎ 由①②得2ay+2cx=a(b+c)+c(a+b)=ab+‎2ac+bc,‎ ‎4xy=(a+b)(b+c)=ab+b2+ac+bc=ab+‎2ac+bc,‎ 所以2ay+2cx=4xy.命题得证.‎ ‎10. 设a>0,b>0,‎2c>a+b,求证:‎ ‎(1)c2>ab;‎ ‎(2)c-<a<c+.‎ 5‎ ‎[证明] (1)∵a>0,b>0,‎2c>a+b≥2,‎ ‎∴c>,‎ 平方得c2>ab;‎ ‎(2)要证c-<a<c+.‎ 只要证-<a-c<.‎ 即证|a-c|<,‎ 即(a-c)2<c2-ab,‎ ‎∵(a-c)2-c2+ab=a(a+b-‎2c)<0成立,‎ ‎∴原不等式成立.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.已知函数f(x)=,a、b∈R+,A=f,B=f(),C=f,则A、B、C的大小关系为(  )‎ A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A A [≥≥,又函数f(x)=在(-∞,+∞)上是单调减函数,∴f≤f()≤f.即A≤B≤C.]‎ ‎2.若a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是(  )‎ A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3‎ C.++≥2 D.abc(a+b+c)≤ B [∵a,b,c∈R,∴a2+b2≥2ab,‎ b2+c2≥2bc,a2+c2≥‎2ac,‎ ‎∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac=1,‎ 又(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+‎‎2ac ‎=a2+b2+c2+2≥3.]‎ ‎3. 若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是________. ‎ ‎【导学号:48662080】‎  [若对任意x>0,≤a恒成立,只需求y=的最大值,且令a不小于这个最大值即可.因为x>0,所以y==≤=,当且仅当x 5‎ ‎=1时,等号成立,所以a的取值范围是.]‎ ‎4.已知x1是方程x+2x=4的根,x2是方程x+log2x=4的根,则x1+x2的值是________.‎ ‎4 [∵x+2x=4,∴2x=4-x,∴x1是y=2x与y=4-x交点的横坐标.‎ 又∵x+log2x=4,∴log2x=4-x,∴x2是y=log2x与y=4-x交点的横坐标.‎ 又y=2x与y=log2x互为反函数,其图象关于y=x对称,由得x=2,∴=2,∴x1+x2=4.]‎ ‎5.求证抛物线y2=2px(p>0),以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切. ‎ ‎【导学号:48662081】‎ ‎[证明] 如图,作AA′、BB′垂直准线,取AB的中点M,作MM′垂直准线.‎ 要证明以AB为直径的圆与准线相切,只需证|MM′|=|AB|,‎ 由抛物线的定义:|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|,‎ 所以|AB|=|AA′|+|BB′|,‎ 因此只需证|MM′|=(|AA′|+|BB′|)‎ 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的.‎ 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切.‎ 5‎
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