【数学】2018届一轮复习人教A版 6-3等比数列及其前n项和 学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版 6-3等比数列及其前n项和 学案

‎§6.3 等比数列及其前n项和 考纲展示► ‎ ‎1.理解等比数列的概念.‎ ‎2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.‎ ‎4.了解等比数列与指数函数的关系.‎ 考点1 等比数列的判定与证明 ‎1.等比数列的有关概念 ‎(1)定义:‎ 如果一个数列从第________项起,每一项与它的前一项的比等于________(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的________,通常用字母q表示,定义的表达式为=q.‎ ‎(2)等比中项:‎ 如果a,G,b成等比数列,那么________叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇔________.‎ 答案:(1)2 同一个常数 公比 (2)G G2=ab ‎2.等比数列的有关公式 ‎(1)通项公式:an=________.‎ ‎(2)前n项和公式:Sn= 答案:(1)a1qn-1 (2)na1‎ ‎[典题1] 已知数列{an}的前n项和为Sn,在数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.‎ ‎(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式.‎ ‎(1)[证明] ∵an+Sn=n,①‎ ‎∴an+1+Sn+1=n+1.②‎ ‎②-①,得an+1-an+an+1=1,‎ ‎∴2an+1=an+1,‎ ‎∴2(an+1-1)=an-1,‎ ‎∴=,∴{an-1}是等比数列.‎ 又a1+a1=1,∴a1=,又cn=an-1,‎ ‎∴c1=a1-1=-.‎ ‎∴{cn}是以-为首项,以为公比的等比数列.‎ ‎(2)[解] 由(1)可知,‎ cn=·n-1=-n,‎ ‎∴an=cn+1=1-n.‎ ‎∴当n≥2时,‎ bn=an-an-1=1-n- ‎=n-1-n=n.‎ 又b1=a1=,代入上式也符合,‎ ‎∴bn=n.‎ ‎[点石成金] 等比数列的四种常用判定方法 ‎(1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*)或=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则数列{an}是等比数列.‎ ‎(2)中项公式法:若数列{an}中,an≠0且a=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.‎ ‎(3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则数列{an}是等比数列.‎ ‎(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则数列{an}是等比数列.‎ ‎[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明;后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.‎ ‎(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.‎ 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.‎ ‎(1)设bn=an+1-2an,求证:数列{bn}是等比数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明:由a1=1及Sn+1=4an+2,得 a1+a2=S2=‎4a1+2.‎ ‎∴a2=5,∴b1=a2-‎2a1=3.‎ 又 ‎ ‎①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2),‎ ‎∴an+1-2an=2(an-2an-1).‎ ‎∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,‎ 故{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.‎ ‎(2)解:由(1)知,bn=an+1-2an=3·2n-1,‎ ‎∴-=,‎ 故是首项为,公差为的等差数列.‎ ‎∴=+(n-1)·=,‎ 化简,得an=(3n-1)·2n-2.‎ 考点2 等比数列的基本运算 ‎(1)[教材习题改编]已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项公式an=________.‎ 答案:3×2n-3‎ 解析:设等比数列{an}的公比为q,则 ‎ ‎②÷①,得q7=128,即q=2,‎ 把q=2代入①,得a1=,‎ ‎∴数列{an}的通项公式为 an=a1qn-1=×2n-1=3×2n-3.‎ ‎(2)[教材习题改编]设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则=________.‎ 答案: 等比数列的两个非零量:项;公比.‎ ‎(1)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第4项等于________.‎ 答案:-24‎ 解析:由等比数列的前三项为x,3x+3,6x+6,可得(3x+3)2=x(6x+6),‎ 解得x=-3或x=-1(此时3x+3=0,不合题意,舍去),则该等比数列的首项为x=-3,公比q==2,所以第4项为(6x+6)×q=-24.‎ ‎(2)等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=__________.‎ 答案:-2‎ 解析:∵S3+3S2=0,‎ ‎∴a1+a2+a3+3(a1+a2)=0,‎ ‎∴a1(4+4q+q2)=0.‎ ‎∵a1≠0,∴q=-2.‎ ‎[考情聚焦] 等比数列的基本运算是高考的常考内容,题型既有选择、填空题,也有解答题,难度适中,属中低档题.‎ 主要有以下几个命题角度:‎ 角度一 求首项a1,公比q或项数n ‎[典题2] [2017·浙江绍兴柯桥区高三二模]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,满足a5=2S4+3,a6=2S5+3,则此数列的公比为(  )‎ A.2 B.3 ‎ C.4 D.5‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由a5=2S4+3,a6=2S5+3可得a6-a5=‎2a5,即=3,故选B.‎ 角度二 求通项或特定项 ‎[典题3] [2017·广西南宁测试]在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,且‎2a1,a3,‎3a2成等差数列,则an=________.‎ ‎[答案] 2n ‎[解析] 设数列{an}的公比为q,‎ ‎∵‎2a1,a3,‎3a2成等差数列,‎ ‎∴‎2a1+‎3a2=‎2a3,‎ 即‎2a1+‎3a1q=‎2a1q2,即2q2-3q-2=0,‎ 解得q=2或q=-.‎ ‎∵q>0,∴q=2.‎ ‎∵a1=2,‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=2n.‎ 角度三 求前n项和 ‎[典题4] (1)已知正项数列{an}为等比数列,且‎5a2是a4与‎3a3的等差中项,若a2=2,则该数列的前5项的和为(  )‎ A.   B.31 ‎ C.   D.以上都不正确 ‎[答案] B ‎[解析] 设{an}的公比为q,q>0.‎ 由已知,得a4+‎3a3=2×‎5a2,‎ 即a2q2+‎3a2q=‎10a2,即q2+3q-10=0,‎ 解得q=2或q=-5(舍去),‎ 又a2=2,则a1=1,‎ 所以S5===31.‎ ‎(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若‎27a3-a6=0,则=________.‎ ‎[答案] 28‎ ‎[解析] 由题可知{an}为等比数列,设首项为a1,公比为q,所以a3=a1q2,a6=a1q5,所以‎27a1q2=a1q5,所以q=3,由Sn=,得S6=,S3=,所以 ‎=·=28.‎ ‎[点石成金] 解决与等比数列有关问题的常用思想方法 ‎(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.‎ ‎(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论.当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn==.‎ 考点3 等比数列的性质 等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广:an=am·________(n,m∈N*).‎ ‎(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=________=________.‎ ‎(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},,{a},{an·bn},(λ≠0)仍然是等比数列.‎ ‎(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk. ‎ 答案:(1)qn-m (2)ap·aq a 等比数列的基本公式:通项公式;前n项和公式.‎ ‎(1)在等比数列{an}中,若a1=,a4=4,则公比q=________.‎ 答案:2‎ 解析:由a4=a1q3,得4=q3,解得q=2.‎ ‎(2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则公比q=________.‎ 答案: 解析:易知公比q不为1,由等比数列求和公式得=,即1+q4=,所以q4= ‎,得q=或q=-(舍去).‎ 应用等比数列的前n项和公式的两个注意点:公比应分q=1与q≠1讨论;注意利用性质.‎ ‎(1)设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=‎3a3,则此数列的公比q=________.‎ 答案:1或- 解析: 当q=1时,S3=‎3a1=‎3a3,符合题意;当q≠1时,=‎3a1q2,‎ ‎∵a1≠0,所以1-q3=3q2(1-q),‎ ‎∴2q3-3q2+1=0,‎ 即(q-1)2(2q+1)=0,‎ 解得q=-.‎ 综上所述,q=1或q=-.‎ ‎(2)在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项的和S15=________.‎ 答案:11‎ 解析:由题意知a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…成等比数列,其公比q==-2,首项为a1+a2+a3=1,因此该数列的前5项和就是数列{an}的前15项的和,故S15==11.‎ ‎[典题5] (1)[2017·广东广州综合测试]已知数列{an}为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+‎2a3)+a‎3a9=(  )‎ A.10  B.20 ‎ C.100   D.200‎ ‎[答案] C ‎[解析] a7(a1+‎2a3)+a‎3a9=a‎7a1+‎2a7a3+a‎3a9=a+‎2a4a6+a=(a4+a6)2=102=100.‎ ‎(2)[2017·吉林长春调研]在正项等比数列{an}中,已知a‎1a2a3=4,a‎4a5a6=12,an-1anan ‎+1=324,则n=________.‎ ‎[答案] 14‎ ‎[解析] 设数列{an}的公比为q,‎ 由a‎1a2a3=4=aq3与a‎4a5a6=12=aq12,可得 q9=3,又an-1anan+1=aq3n-3=324,‎ 因此q3n-6=81=34=q36,所以3n-6=36,即n=14.‎ ‎[点石成金] 等比数列常见性质的应用 等比数列的性质可以分为三类:(1)通项公式的变形;(2)等比中项的变形;(3)前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.‎ ‎1.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若=3,则=(  )‎ A.2   B. ‎ C.   D.1或2‎ 答案:B 解析:设S2=k,S4=3k,由数列{an}为等比数列,得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列,∴S2=k,S4-S2=2k,S6-S4=4k,∴S6=7k,S4=3k,‎ ‎∴==.‎ ‎2.[2017·甘肃兰州诊断]数列{an}的首项为a1=1,数列{bn}为等比数列且bn=,若b10b11=2 015,则a21=________.‎ 答案:2 015‎ 解析:由bn=,且a1=1,得 b1==a2,‎ b2=,a3=a2b2=b1b2,‎ b3=,a4=a3b3=b1b2b3,…,‎ an=b1b2…bn-1,‎ ‎∴a21=b1b2…b20.‎ ‎∵数列{bn}为等比数列,‎ ‎∴a21=(b1b20)(b2b19)…(b10b11)=(b10b11)10‎ ‎=(2 015)10=2 015.‎ ‎[方法技巧] 1.判断数列为等比数列的方法 ‎(1)定义法:=q(q是不等于0的常数,n∈N*)⇔数列{an}是等比数列;也可用=q(q是不等于0的常数,n∈N*,n≥2)⇔数列{an}是等比数列.二者的本质是相同的,其区别只是n的初始值不同.‎ ‎(2)等比中项法:a=anan+2(anan+1an+2≠0,n∈N*)⇔数列{an}是等比数列.‎ ‎2.常用结论 ‎(1)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,,,…成等比数列.‎ ‎(2)若数列{an}的项数为2n,则=q;若项数为2n+1,则=q.‎ ‎[易错防范] 1.特别注意当q=1时,Sn=na1这一特殊情况.‎ ‎2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.‎ ‎3.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.‎ ‎4.Sn,S2n-Sn,S3n-S2n未必成等比数列(例如:当公比q=-1且n为偶数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不成等比数列;当q≠-1或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列),但等式(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n)总成立.‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1.[2015·新课标全国卷Ⅱ]已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=(  )‎ A.21        B.42           ‎ C.63        D.84‎ 答案:B 解析:设等比数列{an}的公比为q,则由a1=3,a1+a3+a5=21,得3(1+q2+q4)=21,解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故选B.‎ ‎2.[2016·新课标全国卷Ⅰ]设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a‎1a2…an的最大值为________.‎ 答案:64‎ 解析:设等比数列{an}的公比为q,‎ ‎∴⇒ ‎ 解得 ‎ ‎∴a‎1a2…an=(-3)+(-2)+…+(n-4)‎ ‎= =,‎ 当n=3或4时,取到最小值-6,‎ 此时取到最大值26,所以a‎1a2…an的最大值为64.‎ ‎3.[2015·新课标全国卷Ⅰ]在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=________.‎ 答案:6‎ 解析:∵a1=2,an+1=2an,‎ ‎∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.‎ 又∵Sn=126,∴=126,∴n=6.‎ ‎4.[2015·安徽卷]已知数列是递增的等比数列,a1+a4=9,a‎2a3=8,则数列的前n项和等于________.‎ 答案:2n-1‎ 解析:设等比数列的公比为q,‎ 则有解得或 又{an}为递增数列,‎ ‎∴∴Sn==2n-1.‎ ‎5.[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;‎ ‎(2)若S5=,求λ.‎ 解:(1)由题意,得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=,a1≠0.‎ 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1,得an+1=λan+1-λan,‎ 即an+1(λ-1)=λan,‎ 由a1≠0,λ≠0,得an≠0,所以=.‎ 因此{an}是首项为,公比为的等比数列,‎ 从而得通项公式an=n-1.‎ ‎(2)由(1),得Sn=1-n.‎ 由S5=,得1-5=,‎ 即5=,解得λ=-1.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 分类讨论思想在等比数列中的应用 ‎[典例] 已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)求证:Sn+≤(n∈N*).‎ ‎[审题视角]‎ ‎(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式;‎ ‎(2)求出前n项和,根据函数的单调性证明.‎ ‎(1)[解析] 设等比数列{an}的公比为q,‎ 因为-2S2,S3,4S4成等差数列,‎ 所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,‎ 可得‎2a4=-a3,于是q==-.‎ 又a1=,所以等比数列{an}的通项公式为 an=×n-1=(-1)n-1·.‎ ‎(2)[证明] 由(1)知,Sn=1-n,‎ Sn+=1-n+ ‎= 当n为奇数时,Sn+随n的增大而减小,‎ 所以Sn+≤S1+=;‎ 当n为偶数时,Sn+随n的增大而减小,‎ 所以Sn+≤S2+=.‎ 故对于n∈N*,有Sn+≤.‎ 方法点睛 ‎1.分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有:‎ ‎(1)已知Sn与an的关系,要分n=1,n≥2两种情况讨论.‎ ‎(2)等比数列中遇到求和问题要分公比q=1,q≠1讨论.‎ ‎(3)项数的奇、偶数讨论.‎ ‎(4)等比数列的单调性的判断注意与a1,q的取值的讨论.‎ ‎2.数列与函数联系密切,证明与数列有关的不等式,一般是求数列中的最大项或最小项,可以利用图象或者数列的增减性求解,同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.‎
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