2017-2018学年江西省南康中学高二下学期第一次月考数学理试题（解析版）

2017-2018学年江西省南康中学高二下学期第一次月考数学理试题（解析版）

南康中学2017～2018学年度第二学期高二第一次大考数学试卷（理科）‎ 一、选择题.本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知集合，若，则（ ）‎ A. 10 B. 12 C. 14 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵,且，据此可得 本题选择C选项.‎ ‎2. 已知是虚数单位，复数满足，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，则=.‎ 本题选择D选项.‎ ‎3. 对于命题：使得，则为（ ）‎ A. 使得 B. 使得 C. 使得 D. 使得 ‎【答案】D ‎【解析】特称命题的否定为全称命题，改量词，否定结论，‎ 故为“使得”.‎ 本题选择D选项.‎ ‎4. 在中，是为锐角三角形的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若B为钝角，A为锐角，则sinA>0，cosB<0，则满足sinA>cosB，但△ABC为锐角三角形不成立，充分性不成立；‎ 故“”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.‎ 本题选择B选项.‎ ‎5. 如图是一个算法的流程图，则输出的值是（ ）‎ A. 15 B. 31 C. 63 D. 127‎ ‎【答案】C ‎【解析】执行循环得：结束循环，输出，选C 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎6. 用数学归纳法证明不等式“”时的过程中,由到时,不等式的左边增加了（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】时,左边，‎ 时,左边为：‎ 不等式的左边增加了.‎ 本题选择A选项.‎ ‎7. 若曲线在P点处的切线平行于直线，则P点的坐标为（ ）‎ A. （1，1） B. （，1） C. D. (1,0)‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，设点P坐标为，则有 则，所以P点的坐标为.‎ 本题选择C选项.‎ ‎8. 观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 018的末四位数字为（ ）‎ A. 3125 B. 5625 C. 0625 D. 8125‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意,55=3125，其末四位数字为3125，‎ ‎56=15625，其末四位数字为5625，‎ ‎57=78125，其末四位数字为8125，‎ ‎58=390625，其末四位数字为0625，‎ ‎59=1953125，其末四位数字为3125，‎ ‎510=9765625，其末四位数字为5625，‎ ‎511=48828125，其末四位数字为8125，‎ ‎512=244140625，其末四位数字为0625，‎ ‎…‎ 分析可得：54k+1的末四位数字为3125,54k+2的末四位数字为5625,54k+3的末四位数字为8125,54k+4的末四位数字为0625,(k⩾1).又由2018=4×504+2,则52018的末四位数字为5625.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．‎ ‎9. 从图中所示的矩形OABC区域内任取一点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】阴影部分面积，‎ 由几何概型性质可知.‎ 本题选择B选项.‎ ‎10. 在三棱锥中，底面是等腰三角形，，，平面，若三棱锥的外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，将三棱锥补形为直三棱柱，取的中点，则三棱锥的外接球即三棱柱的外接球，取的外心，作平面，与平面交于点，则为外接球的球心，‎ 设球的半径为，由球的表面积公式可得：，‎ 由正弦定理可得：，则，‎ 则棱锥的高：，‎ 由正弦定理可得：‎ 该三棱锥的体积为.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.‎ ‎11. 已知圆及圆，动圆与两圆相内切或外切，动圆M的圆心的轨迹是两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设动圆M的半径为，‎ 当动圆与均内切时，有：，‎ 故：，其离心率，‎ 当动圆与内切，与外切时，有：，‎ 故：，其离心率，‎ 则：，整理可得：‎ ‎，‎ ‎，故：‎ 当且仅当时等号成立，‎ 故.‎ 本题选择A选项.‎ ‎12. 设函数在上存在导函数，对任意，都有且 时，，若则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ 令,，‎ ‎∴函数g(x)为奇函数.‎ 时,.时, ,故函数在上是增函数，故函数在上也是增函数,‎ 由,可得在R上是增函数.‎ ‎,等价于，‎ 即，，解得.‎ 本题选择B选项.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 已知是虚数单位，i=_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合复数的运算法则和虚数单位i定义可得：‎ ‎.‎ ‎14. _________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 其中，‎ 表示以为圆心，1为半径的圆的面积的，.‎ ‎15. 已知点是双曲线的左右焦点，若双曲线左支上存在点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过焦点F且垂直渐近线的直线方程为，‎ 联立渐近线方程与，可得 故对称中心的点坐标为，由中点坐标公式可得对称点的坐标为，‎ 将其代入双曲线的方程可得，‎ 即：，故，,‎ 故可得.‎ 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎16. 对于函数，若存在区间，当时的值域为 ，则称为倍值函数．若是倍值函数，则实数的取值范围是____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：的定义域这，且在定义域内为单调递增函数，因此有，即，即是方程的两个不同的实数根，所以，令，，所以函数的极大值为，又当时，，当，因此当时，有两个不同的解，所以实数的取值范围是.‎ 考点：1.导数与函数的极值、单调性；2.新定义下函数数的值域与最值问题；‎ ‎【名师点睛】本题考查新定义下函数的值域问题和函数极值、最值问题，属中档题；对于新定义问题，要根据题意将问题适当转化为熟悉的问题求解，旨在考查学生的转化能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 的内角A,B,C所对的边分别为 ‎（1）若成等差数列，证明：‎ ‎（2）若成等比数列，且，求的值 ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由等差数列的结论可得,结合正弦定理边化角可得.‎ ‎(2)由等比数列的结论结合题意可得，结合余弦定理计算有.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由等差数列的结论可得,正弦定理得，.‎ ‎(2)由等比数列的结论可得，据此可得：，‎ 则.‎ ‎18. 如图，已知五面体，其中内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，，且二面角所成角的余弦值为，试求该几何体的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）8‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由圆的性质可得，由线面垂直的性质可得，结合线面垂直的判断定理有平面，故平面平面 .‎ ‎（2）设，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，结合(1)的结论可得平面的一个法向量是，结合方向向量可得平面ABD的一个法向量为，利用空间向量的结论解方程可得，则结合体的体积.‎ 试题解析：‎ ‎(1)是圆的直径， ，‎ 又平面又平面，且，‎ 平面， ‎ 又平面，平面平面 .‎ ‎（2）设，以所在直线分别为轴，轴，轴，如图所示，‎ 则，，，，‎ 由（1）可得，平面，‎ 平面的一个法向量是，‎ 设为平面的一个法向量，‎ 由条件得，，，‎ ‎ 即 不妨令，‎ 则，，，‎ ‎，，‎ ‎ 得 ，‎ ‎.‎ ‎19. 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S市的A区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x表示在各区开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和. ‎ ‎ x(个)‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ y(百万元)‎ ‎ 2.5‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎4.5 ‎ ‎ 6‎ ‎(1)在年收入之和为2.5（百万元）和3（百万元）两区中抽取两分店调查，求这两分店来自同一区的概率 ‎(2)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；‎ ‎(3)假设该公司在A区获得的总年利润z(单位：百万元)与x，y之间的关系为z＝y－0.05x2－1.4，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分店，才能使A区平均每个分店的年利润最大？‎ 参考公式：‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意结合古典概型公式可知满足题意的概率值为.‎ ‎（2）首先计算样本中心点：，然后结合回归方程系数公式可得y关于x的线性回归方程y＝0.85x＋0.6.‎ ‎(3)结合(2)中的结论可得z＝－0.05x2＋0.85x－0.8，则A区平均每个分店的年利润，结合均值不等式的结论可得该公司应在A区开设4个分店，才能使A区平均每个分店的年利润最大.‎ 试题解析：‎ ‎（1）结合古典概型公式可知，满足题意的概率值为：.‎ ‎（2）＝x＋，;‎ ‎，∴.‎ ‎∴y关于x的线性回归方程y＝0.85x＋0.6.‎ ‎(3)z＝y－0.05x2－1.4＝－0.05x2＋0.85x－0.8，‎ A区平均每个分店的年利润t＝＝－0.05x－＋0.85＝－0.01＋0.85，‎ 故当，即x＝4时，t取得最大值，‎ 故该公司应在A区开设4个分店，才能使A区平均每个分店的年利润最大.‎ 点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）对任意的，若,有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)函数f(x)的定义域为且，据此分类讨论可得：‎ 当时，在区间上单调递增；‎ 当时，函数在区间上递减，在上递增.‎ ‎(2)原问题即，令，则单调递增，结合导函数的性质和二次函数的性质可得实数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎(1)定义域为 当时，恒成立，‎ 所以当时，在区间上单调递增，‎ 当，若，；若，，‎ 即当时，函数在区间上递减，在上递增.‎ ‎(2)若恒成立即：‎ 恒成立,令，则，‎ 即为递增函数，‎ 即恒成立，，‎ 再令，只需，故.‎ ‎21. 已知椭圆 C:离心率，短轴长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意可得，结合离心率可得，则椭圆方程为.‎ ‎（2）设，结合直线方程可得，则以MN为直径的圆的方程为，点P,Q在椭圆上，则，据此计算可得圆恒过定点.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由短轴长为，得，由，得．‎ ‎∴椭圆的标准方程为． ‎ ‎（2）以为直径的圆过定点．‎ 证明如下：设，则，且，即，‎ ‎∵，∴直线方程为：，则 直线方程为：，则，‎ 以为直径的圆为 即，‎ 其中，，‎ 令，则，解得.∴以为直径的圆过定点．‎ 点睛：求定值问题常见的方法有两种：‎ ‎(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎22. 已知函数。‎ ‎（1）若函数在上是减函数，求实数a的最小值；‎ ‎（2）若存在，使成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析： 在上为减函数，等价于在上恒成立，进而转化为，根据二次函数的性质可得 命题“若存在, ，使成立”等价于 ‎“当时，有 ”， 由易求，从而问题等价于“当时，有 ‎”，分,两种情况讨论:‎ 当是易求，当时可求得的值域为，再按 两种情况讨论即可 解析：（1）由已知得，‎ 因在上为减函数，故在上恒成立。‎ 所以当时。‎ 又， ‎ 故当时，即时，.‎ 所以，于是，故的最小值为. ‎ ‎（2）命题“若存在, ，使成立”等价于 ‎“当时，” ”， ‎ 由（1），当时，， .‎ 问题等价于：“当时，有”. ‎ 当，由（1），在为减函数，‎ 则，故. ‎ 当时，由于在上的值域为 ‎（i），即，在恒成立，故在上为增函数，‎ 于是，，矛盾。 ‎ ‎（ii），即，由的单调性和值域知，‎ 存在唯一，使，且满足：‎ 当时，，为减函数；当时，，为增函数；‎ 所以，， ‎ 所以，，与矛盾。‎ 综上得 ‎ 点睛：遇到““若存在, ，使成立””的条件是要进行转化，转化为最值之间的不等关系，利用导数性质结合分类讨论，求出结果。题目可以改编“若任意，使成立”则等价于“”‎