【数学】2018届一轮复习人教A版专题16　平面向量的应用学案

【数学】2018届一轮复习人教A版专题16　平面向量的应用学案

专题16　平面向量的应用 ‎1．向量的线性运算．‎ ‎2．向量的坐标运算．‎ ‎3．向量的数量积运算．‎ 例1　证明：平行四边形的对角线互相平分．‎ 变式训练1　如图，▱ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE与AC交于R，AF与BE交于T，证明：BT＝4TE.‎ 例2　证明：如果平行四边形的对角线相等，那么该平行四边形是矩形．‎ 变式训练2　如图，在△ABC中，AB，BC，CA的长分别为c，a，b.求证：b2＝c2＋a2－2accos B.‎ 例3　一条渔船距对岸为4 km，现正以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km，求河水的流速．‎ 变式训练3　作用于同一点的两个力F1和F2，|F1|＝5，|F2|＝3，夹角为60°，求F1＋F2的大小．‎ A级 ‎1．一物体受到相互垂直的两个力F1、F2的作用，两力大小都为5，则两个力的合力的大小为(　　)‎ A．10 N B．0 N C．5 N D. N ‎2．在△ABC中，已知A(4，1)、B(7，5)、C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是(　　)‎ A．2 B. C．3 D. ‎3．已知一物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5，1)，则共点力对物体做的功W为(　　)‎ A．lg 2 B．lg 5‎ C．1 D．2‎ ‎4．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则这个三角形是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 ‎5．作用于原点的两个力F1(1，1)，F2(2，3)，为使它们平衡，需要加力F3＝________．‎ ‎6．已知在△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝________．‎ ‎7．过点(1，2)且与直线3x－y＋1＝0垂直的直线的方程是____________．‎ B级 ‎8．向量a＝(－1，1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的范围是(　　)‎ A．(1，＋∞) B．(－1，1)‎ C．(－1，＋∞) D．(－∞，1)‎ ‎9．在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积的比值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎10．已知|a|＝8，|b|＝15，|a＋b|＝17，则a与b的夹角θ为________．‎ ‎11．设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，则＝__________________________________________________.‎ ‎12．已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5.则·＋·＋·＝______．‎ ‎13．在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，求船实际航行的速度的大小．‎ 专题16　平面向量的应用 典型例题 例1　证明　如图，设＝a，＝b，＝λ，＝μ，‎ 则＝a＋b，＝b－a，‎ 则＝λ＝λ(a＋b)＝λa＋λb，‎ 又＝＋＝a＋μ＝a＋μ(b－a)‎ ‎＝(1－μ)a＋μb，‎ 由于向量a、b不共线，所以，‎ 解得λ＝μ＝，即＝，＝，‎ 所以平行四边形的对角线互相平分．‎ 变式训练1　证明　如图，设＝a，＝b，＝λ，＝μ，‎ 则＝a＋b，＝b－a，‎ 则＝λ＝λ(＋)＝λ(a＋b)＝a＋λb，①‎ 又＝＋＝a＋μ＝a＋μ(－)‎ ‎＝a＋μ(－)＝a＋μ(b－a)＝(1－μ)a＋b，②‎ 所以解得μ＝，即＝，‎ 所以＝4，故BT＝4TE.‎ 例2　证明　如图，设＝a，＝b，‎ 则＝a＋b，＝b－a，‎ 由题意，得||＝||，‎ 即|a＋b|＝|b－a|，‎ 所以(a＋b)2＝(b－a)2，‎ 整理得a·b＝0，‎ 故a⊥b，即AB⊥AD，所以该平行四边形是矩形．‎ 变式训练2　证明　∵＝＋，‎ ‎∴·＝(＋)·(＋)＝2＋2·＋2‎ ‎＝||2＋2||·||cos(180°－B)＋||2＝c2－2accos B＋a2，‎ 即b2＝c2＋a2－2accos B.‎ 例3　解　如图所示，设表示船垂直于对岸的速度，则＋＝，知就是渔船实际航行的速度．因为航行的时间为4÷2＝2(h)，‎ 所以在Rt△ABC中，||＝2 km/h，||＝8÷2＝4 km/h，则||＝2 km/h.‎ 答　河水的流速为2 km/h.‎ 变式训练3　解　|F1＋F2|2＝F＋2F1·F2＋F＝25＋2×5×3×cos 60°＋9＝49，所以|F1＋F2|＝7.‎ 强化提高 ‎1．C ‎2．B　[BC中点为D，＝，‎ ‎∴||＝.]‎ ‎3．D　[合力F＝F1＋F2＝(lg 2，lg 2)＋(lg 5，lg 2)＝(1，2lg 2)，‎ 所以W＝F·s＝(1，2lg 2)·(2lg 5，1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.]‎ ‎4．B　[∵＝(2，－2)，＝(6，6)，‎ ‎∴·＝12－12＝0，‎ ‎∴⊥，∴△ABC为直角三角形．]‎ ‎5．(－3，－4)‎ 解析　F3＝－(F1＋F2)＝(－3，－4)．‎ ‎6．150°‎ 解析　∵·<0，∴∠BAC为钝角，‎ 又∵S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝.‎ ‎∴sin∠BAC＝，∴∠BAC＝150°.‎ ‎7．x＋3y－7＝0‎ 解析　设P(x，y)是所求直线上任一点，‎ 直线3x－y＋1＝0的方向向量为(1，3)，‎ 由(x－1，y－2)·(1，3)＝0得x＋3y－7＝0.‎ ‎8．C　[注意a与a＋2b同向，‎ 可设a＋2b＝λa(λ>0)，则b＝a，‎ 从而a·b＝a2＝λ－1.‎ 又∵λ>0，∴λ－1>－1.]‎ ‎9．A　[由题意可得＝2，‎ 所以P是线段AC的三等分点(靠近点A)，‎ 易知S△PAB＝S△ABC，即S△PAB∶S△ABC＝1∶3.]‎ ‎10．90°‎ 解析　|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝289＋240cos θ＝289，‎ ‎∴cos θ＝0，∴θ＝90°.‎ ‎11．± 解析　∵·＝0，∴OM⊥CM，‎ ‎∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，‎ 由＝，得k＝±，即＝±.‎ ‎12．－25‎ 解析　△ABC中，B＝90°，cos A＝，cos C＝，‎ ‎∴·＝0，·＝4×5×＝－16，‎ ·＝5×3×＝－9.‎ ‎∴·＋·＋·＝－25.‎ ‎13.解　如图用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度．‎ 则v0＋v1表示船实际航行速度，‎ ‎∵|v0|＝4，|v1|＝8，‎ ‎∴解直角三角形|v0＋v1|‎ ‎＝＝4.‎ 故船实际航行的速度为4千米/小时．‎