【数学】福建省泰宁第一中学2019-2020学年高二上学期第一阶段考试试题

【数学】福建省泰宁第一中学2019-2020学年高二上学期第一阶段考试试题

福建省泰宁第一中学2019-2020学年 高二上学期第一阶段考试试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，‎ 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项：‎ ‎1. 答题前，考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答，答案无效.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．抛物线的准线方程为（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎2．已知向量，，且//，则实数（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎3．下列命题错误的是（ ）‎ ‎.“若，则”的否命题为“若，则”‎ ‎.若为假命题，则均为假命题；‎ ‎.命题“，”的否定为“，”‎ ‎.命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程无实数根，则”；‎ 4. ‎ 抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为( )‎ A. B. C. D. 或 ‎5．“”是“椭圆焦距为”的（ ）‎ ‎.充分不必要条件 .必要不充分条件 .充要条件 .既不充分也不必要条件 ‎6．在空间四边形中，点在线段上，且，点为的中点．若，，，则等于（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎7． 已知双曲线C: 的离心率为，则的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 8． 如图所示，在正方体中，点是棱的中点，‎ 点是棱的中点，则异面直线与所成的角为（　 ）‎ ‎.120° .90° .60° .30°‎ ‎9．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2 ，点P在椭圆上，则的最大值是（　 ）‎ A． B．4 C. D．2‎ ‎10．如图，在二面角α﹣l﹣β的棱l上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，若二面角α﹣l﹣β的大小为，AB=AC=2，BD=3，则CD=（　　）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（   ）‎ ‎12．已知双曲线C:的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点.若，则的离心率是（   ）‎ A． B． C．2 D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．双曲线的焦距长为_______． ‎ ‎14．命题“”是假命题，则实数a的取值范围为_________‎ ‎15．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 ‎ ‎16．在正方体中，若棱长为，点、分别为线段、上的动点，则下列结论中正确结论的序号是__________‎ ‎①面； ②面面；‎ ‎③点到面的距离为定值； ④线与面所成角的正弦值为定值.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知命题无实数解，命题：方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎（Ⅰ）若命题为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若命题“或”为真，命题“且”为假，求实数的取值范围.‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知双曲线 的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，且经过点（2，3）．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的标准方程和其渐近线方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l经过点（0，﹣1），且斜率为k．求直线l与双曲线C有两个公共点时k的取值范围．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图所示，在直三棱柱中,为等腰直角三角形,‎ ‎,且,分别为、、的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知点满足,设点M的轨迹是曲线C．‎ Ⅰ求曲线C的方程．‎ Ⅱ过点且斜率为1的直线l与曲线C交于两点A,B,求（O为坐标原点）的面积 ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=45°，PA⊥底面ABCD，AB=AC=PA=2，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段PD上．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）设，若直线ME与平面PBC所成的角θ的正弦值为，求λ的值．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：的左焦点为,过点做轴的垂线交椭圆于两点,且.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若为椭圆短轴的上顶点，直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为，问：直线是否过定点？若是，求出这个定点，否则说明理由.‎ 参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B B C A C C B B A D C 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13、 4 14、 15、 16、①②③‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）‎ ‎17、解： （Ⅰ）命题：，得 ……………………………2分 依题意得为真命题……………………………………………………………………3分 所以，的取值范围为 …………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）命题：，得 ………………………………6分 依题意得p与q必然一真一假…………………………………………………………7分 若真假，则，得或 …………………8分 若假真，则，此时无解 ……………………………………9分 所以，实数的取值范围为 …………………………………………10分 ‎18【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）法一：由已知，双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0）…‎ 据定义有：…‎ 故a2=1，c2=4，b2=3，从而所求双曲线C的方程为．…‎ 其渐近线方程为：…‎ 法二：由，故所求双曲线C的方程为…‎ 其渐近线方程为：…‎ ‎（Ⅱ）由得：（3﹣k2）x2+2kx﹣4=0…‎ 当3﹣k2≠0，即时，…‎ 若△＞0，即△=4k2﹣4（﹣4）（3﹣k2）=12（4﹣k2）＞0⇒4﹣k2＞0⇒﹣2＜k＜2时，‎ 直线与双曲线相交，有两个公共点；…‎ 所以，当﹣2＜k＜2，且时，直线与双曲线有两个公共点 ‎19、解: （Ⅰ）方法一：设的中点为，连接，则,‎ ‎∴四边形为平行四边形…………………………………………………………2分 ‎∴………………………………………………………………………………4分 又, ∴面． ……………………………6分 法二：以点为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系 令，则, …2分 ‎，面的一个法向量为 ……………………………3分 ‎∵，∴ ………………………………………………………5分 又∵，∴∥平面．………………………………… ……6分 ‎（Ⅱ）,,‎ ‎∴ ‎ ‎∴ , ‎ ‎∵ ∴面 ‎ ‎∴平面的一个法向量为…………………………………………8分 ‎ 设平面的法向量为，则由，即.‎ 令，则 …………………………………………9分 ‎ ……………………………………………………11分 ‎ ‎∴锐二面角的余弦值为 ……………………………………………12分 ‎20.（12分）解：由已知得点M的轨迹是以点为焦点的抛物线 ‎∴ ∴‎ 所以曲线的方程为 ……………………5分 (2)联立 得 ………7分 ‎ ……………9分 ‎ ………12分 ‎21.【解答】（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠ABC=45°，‎ 所以∠ACB=45°，故AB⊥AC． …‎ 由E、F分别为BC、AD的中点，得EF∥AB，所以EF⊥AC…‎ 因为PA⊥底面ABCD，EF⊂底面ABCD，所以PA⊥EF． …‎ 又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，…‎ 所以EF⊥平面PAC． …‎ ‎（向量法参照给分，建立空间直角坐标系时没有证明AB⊥AC扣1分）‎ ‎（Ⅱ）解：因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以AP，AB，AC两两垂直，分别以AB，AC，AP所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．‎ 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0）．‎ 所以，，…‎ 由已知，，故，‎ 所以M（﹣2λ，2λ，2﹣2λ），，…‎ 设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），‎ 由，得 令x=1，得=（1，1，1）．…‎ 所以 ‎=，…‎ 化简得4λ2+4λ﹣3=0，…‎ 故或（舍）…‎ ‎22.【答案】（1）（2）过定点（2，-1）‎ ‎【详解】解：(1)由题意可知，‎ 令，代入椭圆可得， ‎ ‎ ‎ 又，‎ 两式联立解得：， ‎ ‎；‎ ‎(2)①当斜率不存在时，设，‎ ‎，‎ 得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足题意.‎ ‎②当斜率存在时，设，‎ ‎，‎ 联立，‎ 整理得， ，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ，，此时，存在使得成立．‎ ‎∴直线的方程为，即，‎ 当，时，上式恒成立，‎ 所以过定点．‎