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文档介绍
高科数学专题复习课件:第一章 1_3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础知识
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词 与 存在量词 基础知识 自主学习 课时作业 题型分 类 深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 1. 命题 p ∧ q , p ∨ q , 綈 p 的真假判断 知识梳理 p q p ∧ q p ∨ q 綈 p 真 真 ____ 真 假 真 假 ____ 真 假 假 真 假 真 ____ 假 假 假 ____ ____ 真 假 真 假 真 2. 全称量词和存在量词 量词名词 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ___ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ___ ∀ ∃ 3. 全称命题和特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对 M 中任意一个 x ,有 p ( x ) 成立 特称命题 存在 M 中的一个 x 0 ,使 p ( x 0 ) 成立 4. 含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀ x ∈ M , p ( x ) ∃ x 0 ∈ M , p ( x 0 ) ∀ x ∈ M , p ( x ) ∃ x 0 ∈ M , p ( x 0 ) ∃ x 0 ∈ M , 綈 p ( x 0 ) ∀ x ∈ M , 綈 p ( x ) 1. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1) p ∨ q : p 、 q 中有一个为真,则 p ∨ q 为真,即有真为真; (2) p ∧ q : p 、 q 中有一个为假,则 p ∧ q 为假,即有假即假; (3) 綈 p :与 p 的真假相反,即一真一假,真假相反 . 2. 含一个量词的命题的否定的规律是 “ 改量词,否结论 ”. 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 命题 p ∧ q 为假命题,则命题 p 、 q 都是假命题 .( ) (2) 命题 p 和 綈 p 不可能都是真命题 .( ) (3) 若命题 p 、 q 至少有一个是真命题,则 p ∨ q 是真命题 .( ) (4) 命题 綈 ( p ∧ q ) 是假命题,则命题 p , q 中至少有一个是真命题 .( ) (5) “ 长方形的对角线相等 ” 是特称命题 .( ) (6) 命题 “ 对顶角相等 ” 的否定是 “ 对顶角不相等 ”. ( ) 思考辨析 × √ √ × × × 1. 设命题 p :函数 y = sin 2 x 的最小正周期 为 ; 命题 q :函数 y = cos x 的图象关于直线 x = 对称 ,则下列判断正确的 是 A. p 为真 B . 綈 q 为假 C. p ∧ q 为假 D. p ∨ q 为真 考点自测 答案 解析 函数 y = sin 2 x 的最小正周期 为 = π ,故命题 p 为假命题; x = 不是 y = cos x 的对称轴,命题 q 为假命题,故 p ∧ q 为假 . 故选 C. 2. 已知命题 p , q , “ 綈 p 为真 ” 是 “ p ∧ q 为假 ” 的 A. 充分不必要 条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 答案 解析 綈 p 为真知 p 为假,可得 p ∧ q 为假; 反之,若 p ∧ q 为假,则可能是 p 真 q 假,从而 綈 p 为假, 故 “ 綈 p 为真 ” 是 “ p ∧ q 为假 ” 的充分不必要条件,故选 A. 3.( 教材改编 ) 下列命题中,为真命题的 是 答案 4.( 2017· 西安 调研 ) 命题 “ 全等三角形的面积一定都相等 ” 的否定 是 A. 全等三角形的面积不一定都相等 B. 不全等三角形的面积不一定都相等 C. 存在两个不全等三角形的面积相等 D. 存在两个全等三角形的面积不相等 答案 解析 命题是省略量词的全称命题,易知选 D. 5.(2015· 山东 ) 若 “ ∀ x ∈ , tan x ≤ m ” 是真命题,则实数 m 的最小值为 ___. 答案 解析 1 依题意, m ≥ y max ,即 m ≥ 1. ∴ m 的最小值为 1. 题型分类 深度剖析 题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 例 1 (1) 已知命题 p :对任意 x ∈ R ,总有 2 x >0 ; q : “ x >1 ” 是 “ x >2 ” 的充分不必要条件,则下列命题为真命题的 是 A. p ∧ q B .( 綈 p ) ∧ ( 綈 q ) C.( 綈 p ) ∧ q D. p ∧ ( 綈 q ) 答案 解析 ∵ p 是真命题, q 是假命题, ∴ p ∧ ( 綈 q ) 是真命题 . (2)(2016· 聊城模拟 ) 若命题 “ p ∨ q ” 是真命题, “ 綈 p 为真命题 ” , 则 A. p 真, q 真 B. p 假, q 真 C. p 真, q 假 D. p 假, q 假 答案 解析 ∵ 綈 p 为真命题, ∴ p 为假命题, 又 p ∨ q 为真命题, ∴ q 为真命题 . 思维 升华 “ p ∨ q ”“ p ∧ q ”“ 綈 p ” 等形式命题真假的判断步骤 (1) 确定命题的构成形式; (2) 判断其中命题 p 、 q 的真假; (3) 确定 “ p ∧ q ”“ p ∨ q ”“ 綈 p ” 等形式命题的真假 . 跟踪训练 1 已知命题 p :若 x > y ,则- x < - y ;命题 q :若 x > y ,则 x 2 > y 2 . 在命题 ① p ∧ q ; ② p ∨ q ; ③ p ∧ ( 綈 q ) ; ④ ( 綈 p ) ∨ q 中,真命题 是 A. ①③ B. ①④ C . ②③ D. ②④ 答案 解析 当 x > y 时,- x < - y , 故命题 p 为真命题,从而 綈 p 为假命题 . 当 x > y 时, x 2 > y 2 不一定成立, 故命题 q 为假命题,从而 綈 q 为真命题 . 由真值表知: ① p ∧ q 为假命题; ② p ∨ q 为真命题; ③ p ∧ ( 綈 q ) 为真命题; ④ ( 綈 p ) ∨ q 为假命题 ,故 选 C. 例 2 不等式 组 的 解集记为 D ,有下面四个命题: p 1 : ∀ ( x , y ) ∈ D , x + 2 y ≥ - 2 , p 2 : ∃ ( x , y ) ∈ D, x + 2 y ≥ 2 , p 3 : ∀ ( x , y ) ∈ D , x + 2 y ≤ 3 , p 4 : ∃ ( x , y ) ∈ D , x + 2 y ≤ - 1. 其中的真命题 是 A. p 2 , p 3 B. p 1 , p 4 C. p 1 , p 2 D. p 1 , p 3 题型二 含有一个量词的命题 命题点 1 全称命题、特称命题的真假 答案 解析 画出不等式 组 的 可行域 D 如图阴影部分所示, 两直线交于点 A (2 ,- 1) , 设直线 l 0 的方程为 x + 2 y = 0. 由图象可知, ∀ ( x , y ) ∈ D , x + 2 y ≥ 0 , 故 p 1 为真命题, p 2 为真命题, p 3 , p 4 为假命题 . 命题点 2 含一个量词的命题的否定 答案 解析 将 “ ∃ ” 改为 “ ∀ ” ,对结论中的 “ > ” 进行否定,可知 C 正确 . (2)(2015· 浙江 ) 命题 “ ∀ n ∈ N * , f ( n ) ∈ N * 且 f ( n ) ≤ n ” 的否定形式 是 A. ∀ n ∈ N * , f ( n ) ∉ N * 且 f ( n ) > n B. ∀ n ∈ N * , f ( n ) ∉ N * 或 f ( n ) > n C. ∃ n 0 ∈ N * , f ( n 0 ) ∉ N * 且 f ( n 0 ) > n 0 D. ∃ n 0 ∈ N * , f ( n 0 ) ∉ N * 或 f ( n 0 ) > n 0 答案 解析 由全称命题与特称命题之间的互化关系知选 D. 思维 升华 (1) 判定全称命题 “ ∀ x ∈ M , p ( x ) ” 是真命题,需要对集合 M 中的每一个元素 x ,证明 p ( x ) 成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个 x = x 0 ,使 p ( x 0 ) 成立 . (2) 对全 ( 特 ) 称命题进行否定的方法 ① 找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词 . ② 对原命题的结论进行否定 . 跟踪训练 2 (1) 下列命题是假命题的 是 A. ∃ α , β ∈ R ,使 sin( α + β ) = sin α + sin β B. ∀ φ ∈ R ,函数 f ( x ) = sin(2 x + φ ) 都不是偶函数 答案 解析 D. ∀ a >0 ,函数 f ( x ) = ln 2 x + ln x - a 有零点 取 α = 0 时, sin( α + β ) = sin α + sin β , A 正确; 对于三次函数 y = f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c , 当 x → - ∞ 时, y → - ∞ ,当 x → + ∞ 时, y → + ∞ , 当 f ( x ) = 0 时, ln 2 x + ln x - a = 0 , 所以 ∀ a >0 ,函数 f ( x ) = ln 2 x + ln x - a 有零点, D 正确,综上可知选 B. (2)( 2017· 福州质检 ) 已知命题 p : “ ∃ x 0 ∈ R , ” ,则 綈 p 为 A. ∃ x 0 ∈ R , B. ∃ x 0 ∈ R , C. ∀ x ∈ R , e x - x - 1>0 D. ∀ x ∈ R , e x - x - 1 ≥ 0 答案 解析 根据全称命题与特称命题的否定关系, 可得 綈 p 为 “ ∀ x ∈ R , e x - x - 1>0 ” ,故选 C. 题型三 含参数命题中参数的取值范围 例 4 (1) 已知命题 p :关于 x 的方程 x 2 - ax + 4 = 0 有实根;命题 q :关于 x 的函数 y = 2 x 2 + ax + 4 在 [3 ,+ ∞ ) 上是增函数,若 p ∧ q 是真命题,则实数 a 的取值范围是 __________________ ___ _. 答案 解析 若命题 p 是真命题,则 Δ = a 2 - 16 ≥ 0 , 即 a ≤ - 4 或 a ≥ 4 ;若命题 q 是真命题, ∵ p ∧ q 是真命题, ∴ p , q 均为真, ∴ a 的取值范围是 [ - 12 ,- 4] ∪ [4 ,+ ∞ ). [ - 12 ,- 4] ∪ [4 ,+ ∞ ) (2) 已知 f ( x ) = ln( x 2 + 1) , g ( x ) = ( ) x - m ,若对 ∀ x 1 ∈ [0 , 3] , ∃ x 2 ∈ [1 , 2] ,使得 f ( x 1 ) ≥ g ( x 2 ) ,则实数 m 的取值范围 是 答案 解析 当 x ∈ [0,3] 时, f ( x ) min = f (0) = 0 ,当 x ∈ [1,2] 时, 引申探究 本 例 ( 2) 中,若将 “ ∃ x 2 ∈ [1,2] ” 改为 “ ∀ x 2 ∈ [1,2] ” ,其他条件不变,则实数 m 的取值范围是 __________. 答案 解析 思维 升华 (1) 已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围 ; ( 2) 含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数值域 ( 或最值 ) 解决 . 跟踪训练 3 (1) 已知命题 p : “ ∀ x ∈ [0,1] , a ≥ e x ” ,命题 q : “ ∃ x 0 ∈ R , + 4 x 0 + a = 0 ”. 若命题 “ p ∧ q ” 是真命题,则实数 a 的取值范围 是 A.(4 ,+ ∞ ) B . [1,4] C. [e,4] D .( - ∞ ,- 1) 答案 解析 由题意知 p 与 q 均为真命题,由 p 为真,可知 a ≥ e , 由 q 为真,知 x 2 + 4 x + a = 0 有解,则 Δ = 16 - 4 a ≥ 0 , ∴ a ≤ 4. 综上可知 e ≤ a ≤ 4. (2) 已知函数 f ( x ) = x 2 - 2 x + 3 , g ( x ) = log 2 x + m ,对任意的 x 1 , x 2 ∈ [1,4] 有 f ( x 1 )> g ( x 2 ) 恒成立,则实数 m 的取值范围是 __________. 答案 解析 f ( x ) = x 2 - 2 x + 3 = ( x - 1) 2 + 2 , 当 x ∈ [1,4] 时, f ( x ) min = f (1) = 2 , g ( x ) max = g (4) = 2 + m , 则 f ( x ) min > g ( x ) max ,即 2>2 + m ,解得 m <0 , 故实 数 m 的取值范围是 ( - ∞ , 0). ( - ∞ , 0) 常用 逻辑用语 高频小考点 1 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现,多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合,难度中等以下 . 解决这类问题应熟练把握各类内在联系 . 考点分析 典例 1 (1) 已知命题 p : ∃ x 0 ∈ R , + 1<2 x 0 ;命题 q :若 mx 2 - mx - 1<0 恒成立,则- 4< m <0 , 那么 A. 綈 p 为 假命题 B. q 为真命题 C. p ∨ q 为假 命题 D. p ∧ q 为真命题 答案 解析 由于 x 2 - 2 x + 1 = ( x - 1) 2 ≥ 0 ,即 x 2 + 1 ≥ 2 x ,所以 p 为假命题; 对于命题 q ,当 m = 0 时,- 1<0 恒成立 ,所以 命题 q 为假命题 . 综上可知, 綈 p 为真命题, p ∧ q 为假命题, p ∨ q 为假命题,故选 C. 一、命题的真假判断 (2) 下列命题中错误的个数 为 ① 若 p ∨ q 为真命题,则 p ∧ q 为真命题; ②“ x >5 ” 是 “ x 2 - 4 x - 5>0 ” 的充分不必要条件; ③ 命题 p : ∃ x 0 ∈ R , + x 0 - 1<0 ,则 綈 p : ∀ x ∈ R , x 2 + x - 1 ≥ 0 ; ④ 命题 “ 若 x 2 - 3 x + 2 = 0 ,则 x = 1 或 x = 2 ” 的逆否命题为 “ 若 x ≠ 1 或 x ≠ 2 ,则 x 2 - 3 x + 2 ≠ 0 ”. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 解析 对于 ① ,若 p ∨ q 为真命题,则 p , q 至少有一个为真,即可能有一个为假,所以 p ∧ q 不一定为真命题,所以 ① 错误; 对于 ② ,由 x 2 - 4 x - 5>0 可得 x >5 或 x < - 1 ,所以 “ x >5 ” 是 “ x 2 - 4 x - 5>0 ” 的充分不必要条件,所以 ② 正确; 对于 ③ ,根据特称命题的否定为全称命题,可知 ③ 正确; 对于 ④ ,命题 “ 若 x 2 - 3 x + 2 = 0 ,则 x = 1 或 x = 2 ” 的逆否命题为 “ 若 x ≠ 1 且 x ≠ 2 ,则 x 2 - 3 x + 2 ≠ 0 ” ,所以 ④ 错误,所以错误命题的个数为 2 ,故选 B. 典例 2 (1) 已知 p : x ≥ k , q : < 1 ,如果 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 k 的取值范围 是 A.[2 ,+ ∞ ) B .(2 ,+ ∞ ) C. [ 1 ,+ ∞ ) D .( - ∞ ,- 1 ] 二、求参数的取值范围 答案 解析 即 ( x - 2)( x + 1)>0 , 解得 x < - 1 或 x >2 ,由 p 是 q 的充分不必要条件,知 k >2 ,故选 B. (2)(2016· 郑州一模 ) 已知函数 f ( x ) = x + , g ( x ) = 2 x + a ,若 ∀ x 1 ∈ [ , 3] , ∃ x 2 ∈ [2,3] 使得 f ( x 1 ) ≥ g ( x 2 ) ,则实数 a 的取值范围 是 A. a ≤ 1 B. a ≥ 1 C. a ≤ 0 D. a ≥ 0 当且仅当 x = 2 时, f ( x ) min = 4 , 当 x ∈ [2,3] 时, g ( x ) min = 2 2 + a = 4 + a , 依题意 f ( x ) min ≥ g ( x ) min , ∴ a ≤ 0 ,故选 C. 答案 解析 三、利用逻辑推理解决实际问题 典例 3 (1) 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A , B , C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市 . 由此可判断乙去过的城市为 ________. 由题意可推断:甲没去过 B 城市,但比乙去的城市多,而丙说 “ 三人去过同一城市 ” , 说明 甲去过 A , C 城市,而乙 “ 没去过 C 城市 ” ,说明乙去过 A 城市 , 由此可知 ,乙去过的城市为 A . A 答案 解析 (2) 对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测: 甲:中国非第一名,也非第二名; 乙:中国非第一名,而是第三名; 丙:中国非第三名,而是第一名 . 竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第 ____ 名 . 由题意可知:甲、乙、丙均为 “ p 且 q ” 形式,所以猜对一半者也说了错误 “ 命题 ” ,即只有一个为真,所以可知丙是真命题 , 因此 中国足球队得了第一名 . 一 答案 解析 课时作业 1. 命题 p :若 sin x >sin y ,则 x > y ;命题 q : x 2 + y 2 ≥ 2 xy . 下列命题为假命题的 是 A. p ∨ q B. p ∧ q C. q D . 綈 p √ 答案 解析 命题 p 假, q 真,故命题 p ∧ q 为假命题 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. 下列命题中,真命题 是 A. ∀ x ∈ R , x 2 >0 B . ∀ x ∈ R ,- 1查看更多