2017-2018学年辽宁省实验中学、东北育才学校高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

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绝密★启用前 辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析:先化简集合B,再求,再求.‎ 详解：由题得B={x|x＞2}，所以={x|x≤2}，所以.‎ 点睛：（1）本题主要考查集合的化简与运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)化简集合B时，要看清“|”前面是“x”，所以它代表函数的定义域，不要看成函数的值域了.‎ ‎2．已知,则复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，故选A.‎ ‎3．用反证法证明“若则或”时，应假设（ ）‎ A. 或 B. 且 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由于或的否定是且0,所以选择B.‎ 详解：反证法证明时，应先假设原命题的结论不成立，结论的反面成立.‎ 由于或的否定是且0,所以选择B.‎ 故答案是：B.‎ 点睛：（1）本题主要考查反证法和命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) “小于等于”的否定是“大于”，“或”的否定是“且”.‎ ‎4．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：,因为得,故是其的一个充分不必要条件.选B.‎ 考点：充分条件；必要条件.‎ ‎5．如果曲线在点处的切线垂直于直线，那么点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先设点P(a,b)，再求导，根据切线的斜率得到一个方程，再根据点再曲线上得到另外一个方程，解方程组即得点P坐标.‎ 详解：设点P(a,b)，则，‎ 由题得，‎ 因为曲线在点处的切线垂直于直线，‎ 所以，所以a=1.‎ 所以b=,所以点P的坐标为（1,0）.‎ 故答案为：A.‎ 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是 ‎6．在平面几何里有射影定理：设三角形的两边，是点在上的射影，则.拓展到空间，在四面体中，面，点是在面内的射影，且在内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，（如图所示）若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2=BD•BC，我们可以类比这一性质，推理出若三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，则（S△ABC）2=S△BOC．S△BDC 详解：由已知在平面几何中，‎ 若△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC，E是垂足，‎ 则AB2=BD•BC，‎ 我们可以类比这一性质，推理出：‎ 若三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，‎ 则（S△ABC）2=S△BOC．S△BDC．‎ 故答案为：A．‎ 点睛：（1）本题主要考查类比推理，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 类比推理的一般步骤是：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．‎ ‎7．下列说法：①设有一个回归方程，变量增加一个单位时，平均增加个单位；②线性回归直线必过必过点 ‎；③在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有的可能患肺病；其中错误的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：利用回归方程和独立性检验对每一个命题逐一判断.‎ 详解：对于①，一个回归方程，变量增加一个单位时，应平均减少个单位，所以该命题是错误的；对于②，线性回归直线必过必过点，是正确的；对于③，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，并不能说明他有的可能患肺病，所以该命题是错误的.‎ 故答案为：C.‎ 点睛：本题主要考查回归方程和独立性检验，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎8．函数的图象大致是下图中的哪个（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先观察x时，y>0,所以排除C, 当x时，y<0,所以排除D,再通过函数的零点确定答案.‎ 详解：当x时，y>0,所以排除C,‎ 当x时，y<0,所以排除D,‎ 由题得，所以当x>0时，函数有两个零点，所以选A.‎ 故答案为：A.‎ 点睛：（1）本题主要考查根据函数的解析式找图像，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)类似这种问题，一般先找差异，再验证.‎ ‎9．已知定义在上的奇函数满足，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵为奇函数，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数是周期为4的周期函数，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴．选A．‎ 点睛：‎ 函数的奇偶性、对称性和周期性是函数的三个重要性质，这三个性质具有紧密的联系，即已知其中的两个则可推出第三个性质，考查时常将这三个性质结合在一起，并结合函数的图象、零点等问题，这类问题的难度较大、具有一定的综合性。‎ ‎10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老实说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ）‎ A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩 ‎【答案】D ‎【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D．‎ 点睛: 推理问题实际考查的是数据处理能力，从众多数据中，挑选关键数据进行分类讨论，一般利用反证法、类比法、分析法得到结论.‎ ‎11．已知，函数满足：恒成立，其中是的导函数，则下列不等式中成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：利用已知条件，构造函数g（x）=cosxf（x）利用函数的导数，判断函数的单调性，然后求解即可．‎ 详解：因x∈（0，），‎ 故tanxf（x）＞f′（x）⇔sinxf（x）＞f′（x）cosx⇔sinxf（x）﹣cosxf′（x）＞0，‎ 令g（x）=cosxf（x），则 g′（x）=cosxf′（x）﹣sinxf（x）＜0，‎ 所以函数g（x）在（0，）为减函数，‎ ‎∴cosf（）＞cosf（），∴f（）＞f（）．‎ 故答案为：A．‎ 点睛：（1）本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是转化得到sinxf（x）﹣cosxf′（x）＞0，其二是构造函数g（x）=cosxf（x）.‎ ‎12．若曲线y=与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．‎ 详解：作出曲线y= 的图象如图：‎ 直线y=kx﹣1过定点（0，﹣1），‎ 当k=0时，两个函数只有一个交点，不满足条件，‎ 当k＜0时，两个函数有2个交点，满足条件，‎ 当k＞0时，直线y=kx﹣1与y=在x＞1相切时，‎ 两个函数只有一个交点，‎ 此时=kx﹣1，即kx2﹣（1+k）x+3=0，‎ 判别式△=（1+k）2﹣12k=0，解得k2﹣10k+1=0，‎ k=5﹣2或k=5+2（舍去）‎ 综上满足条件的k的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，5﹣2），‎ 故答案为：D．‎ 点睛：（1）本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是准确地画出函数的图像，其二是数形结合分析.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知是虚数单位，复数满足，则__________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ 点睛：复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．‎ ‎14．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得决自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如一下形式的等式具有“穿墙术”：‎ ‎，，，，‎ 则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则__________．‎ ‎【答案】63.‎ ‎【解析】∵，，，‎ ‎∴按照以上规律，可得.‎ 故答案为.‎ ‎15．已知函数，若在区间上单调，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析：先求出函数图像的对称轴方程，再分单调递增和单调递减两种情况讨论，最后综合得解.‎ 详解：由题得二次函数的对称轴为.‎ 因为函数在区间上单调，‎ 所以当函数单调递增时，，解之得m≥0.‎ 当函数单调递减时，，解之得m≤2，‎ 综合得m的取值范围为：.‎ 故答案为：.‎ 点睛：（1）本题主要考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是对单调性分类讨论，其二是数形结合分析转化准确.‎ ‎16．如果函数在上存在满足，，则称函数是在上的“双中值函数”，已知函数是上的“双中值函数”，则函数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析：根据题目给出的定义可得f′（x1）=f′（x2）==t2﹣t，即方程3x2﹣2x=t2﹣t在区间（0，t）有两个解，利用二次函数的性质可知实数t的取值范围．‎ 详解：由题意可知，∵f（x）=x3﹣x2+t，f′（x）=3x2﹣2x 在区间[0，t]存在x1，x2（0＜x1＜x2＜t），‎ 满足f′（x1）=f′（x2）==t2﹣t，‎ ‎∵f（x）=x3﹣x2+t，‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣2x，‎ ‎∴方程3x2﹣2x=t2﹣t在区间（0，t）有两个不相等的解．‎ 令g（x）=3x2﹣2x﹣t2+t，（0＜x＜t）‎ 则，‎ 解得＜t＜1．‎ ‎∴实数t的取值范围是（，1）.‎ 故答案为：（，1）．‎ 点睛：(1)本题主要考查了导数的求法，考查了二次方程的根的分布，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是转化为方程3x2﹣2x=t2﹣t在区间（0，t）有两个不相等的解，其二是转化得到.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．2017年10月9日，教育部考试中心下发了《关于年普通高考考试大纲修订内容的通知》，在各科修订内容中明确提出，增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.鞍山市教育部门积极回应，编辑传统文化教材，在全是范围内开设书法课，经典诵读等课程.为了了解市民对开设传统文化课的态度，教育机构随机抽取了位市民进行了解，发现支持开展的占，在抽取的男性市民人中支持态度的为人.‎ 支持 不支持 合计 男性 女性 合计 ‎（1）完成列联表 ‎（2）判断是否有的把握认为性别与支持有关？‎ 附：.‎ ‎【答案】(1)列联表见解析.‎ ‎(2) 有的把握认为性别与支持有关.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）先由题得到抽取的男性市民为人，持支持态度的为人，男性公民中持支持态度的为人，再完成2×2列联表.(2)先计算,再判断是否有的把握认为性别与支持有关.‎ 详解：（1）抽取的男性市民为人，持支持态度的为人，男性公民中持支持态度的为人，列出列联表如下：‎ 支持 不支持 合计 男性 女性 合计 ‎（2）‎ 所以有的把握认为性别与支持有关.‎ 点睛：本题主要考查列联表和独立性检验，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.‎ ‎18．已知为实数，函数，若.‎ ‎（1）求的值。‎ ‎（2）求函数在上的极值。‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) ‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）直接根据得到a的值.(2)先求导，再解，再列表求极值.‎ 详解：（1），得.‎ ‎（2）由（）知 令得 ‎ 当变化时的变化情况如下表：‎ x ‎(-,-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1,-)‎ ‎-‎ ‎(-,1)‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↑‎ 极大值 ‎↓‎ 极小值 ‎↑‎ 由上表可知.‎ 点睛：（1）本题主要考查利用导数求极值，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)‎ ‎ 求函数的极值的一般步骤:先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值.‎ ‎19．某二手交易市场对某型号的二手汽车的使用年数与销售价格（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据： ‎ 使用年数 销售价格 ‎（Ⅰ）试求关于的回归直线方程 ‎（参考公式： ）‎ ‎（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润最大？（利润=销售价格-收购价格）‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)3.‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）先求,利用最小二乘法求关于的回归直线方程.( Ⅱ)先根据题意写出利润的函数解析式，再利用二次函数的图像和性质预测为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润最大.‎ 详解：（Ⅰ）由由表中数据，计算，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎；‎ ‎，‎ 由最小二乘法求得，‎ ‎，‎ ‎ 关于的回归直线方程为；‎ ‎（Ⅱ）根据题意利润函数为 ‎ ‎ 当时，利润取得最大值．‎ 点睛：（1）本题主要考查回归方程的求法，考查利润的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.(2)本题解答的关键是准确计算回归方程.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）求函数的定义域和值域；‎ ‎（2）设（为实数），求在时的最大值.‎ ‎【答案】(1) ；.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）解不等式且得函数的定义域,求函数的值域时，先求的值域，再求f(x)的值域.(2)先化简得,再换元求函数的最大值.‎ 详解：（1）由且，得，‎ 所以函数的定义域为，‎ 又，由，得，‎ 所以函数值域为.‎ ‎（2）因为 ‎ 令，则，‎ ‎，‎ 由题意知即为函数，的最大值．‎ 注意到直线是抛物线的对称轴．‎ 因为时，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，‎ ‎①若，即，则；‎ ‎②若，即，则 ‎③若，即，则，‎ 综上有.‎ 点睛：（1）本题主要考查函数的定义域和值域的求法，考查函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第2问由两个关键，其一是换元，令，则，，.‎ 其二是分类讨论求函数，的最大值.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）若曲线与直线相切，求实数的值；‎ ‎（2）若函数有两个零点，，证明.‎ ‎【答案】(1)0.‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：求出导函数，可设切点为，由此可得切线方程，与已知切线方程比较可求得．‎ ‎（2）由可把用表示（注意是，不是它们中的单独一个），这样中的可用代换，不妨设，设，可表示为的函数，然后求得此函数的单调性与最值后可得证．‎ 详解：（1）由，得，设切点横坐标为，依题意得， ‎ 解得．‎ ‎（2）不妨设，由，得，‎ 即，所以 ‎ ，‎ 设，则，，‎ 设，则，即函数在上递减，‎ 所以，从而，即 点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性与最值．函数存在零点且证明与零点有关的问题，可利用零点的定义把参数用零点表示，这样要证明的式子就可表示的代数式，然后只要设，此代数式又转化为关于的代数式，把它看作是的函数，用导数求得此函数的最值，从而证明题设结论．‎ ‎22．已知直线过点，倾斜角为，以原点为极点，轴正半轴为极轴（长度单位与之交坐标系的长度相同）建立极坐标系，圆的方程为，‎ ‎（1）分别写出圆的直角坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于点，，求.‎ ‎【答案】(1) ；.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）直接代极坐标公式得到圆C的直角坐标方程，代直线的参数方程得到直线的参数方程.(2)直接利用弦长公式求.‎ 详解：（1）直线过点，倾斜角为，‎ 则直线的方程为：，‎ 整理得：．‎ 转化成参数方程成为：（为参数）.‎ 圆的方程为，‎ 转化为直角坐标方程为：，‎ 整理得.‎ ‎（2）圆心到直线的距离.‎ 则.‎ 点睛：（1）本题主要考查直线的参数方程，考查极坐标和直角坐标的互化，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)第2问可以利用弦长公式，也可以利用直线参数方程t的几何意义求解.‎ ‎23．已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）由绝对值的定义分类去掉绝对值符号后解一元一次不等式，最后合并可得解集；‎ ‎（2）不等式化为，利用绝对值的性质有 ‎，然后可利用二次函数性质求得其最大值，得到的取值范围．‎ 详解：（1）‎ 当时，无解；‎ 当时，由得，，解得；‎ 当时，由解得 所以的解集为 ‎（2）由得，而 ‎ ‎ 且当时，‎ 故的取值范围为 点睛：解含绝对值的不等式一般都是根据绝对值的定义分类去掉绝对值符号，然后再解不含绝对值的不等式，有时根据不等式的形貌直接由绝对值性质求解，如 ，或．‎