上海市浦东新区2020届高三数学二模试卷

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上海市浦东新区2020届高三数学二模试卷

浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测 高三数学试卷 ‎ ‎2020.05‎ 一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6题每题4分,7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分或5分,否则一律得零分.‎ ‎1.设全集,集合,则 .‎ ‎2. 某次考试,名同学的成绩分别为:,则这组数据的中位数为 .‎ ‎3. 若函数,则 .‎ ‎4. 若是关于的方程的一个根(其中为虚数单位,),则 .‎ ‎5.若两个球的表面积之比为则这两个球的体积之比为 .‎ ‎6.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为,圆的参数方程为,则直线与圆的位置关系是 .‎ ‎7. 若二项式展开式的第项的值为,则 .‎ ‎8. 已知双曲线的渐近线方程为,且右焦点与抛物线的焦点重合,则这个双曲线的方程是____________.‎ ‎9. 从个男生、个女生中任选个人当发言人,假设事件表示选出的个人性别相同,事件表示选出的个人性别不同.如果的概率和的概率相等,则 .‎ ‎10. 已知函数的零点有且只有一个,则实数的取值集合为 .‎ ‎11. 如图,在中,,为中点,为 上一点,且满足,若的面积为,则的最小值为 . ‎ ‎12.已知数列满足,对任何正整数均有,,设,则数列的前项之和为 .‎ 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎13.若、满足 , 则目标函数的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎14. 如图,正方体中,、分别为棱、上的点,在平面内且与平面平行的直线( )‎ A. 有一条 B. 有二条 ‎ C. 有无数条 D. 不存在 ‎ ‎ 15. 已知函数.给出下列结论:‎ ①是周期函数; ② 函数图像的对称中心;‎ ③ 若,则;‎ ④ 不等式的解集为.‎ 则正确结论的序号是 ( ) ‎ A. ① ② B. ② ③ ④ C. ① ③ ④ D. ① ② ④ ‎ ‎16. 设集合,设集合是集合的非空子集,中的最大元素和最小元素之差称为集合的直径. 那么集合所有直径为的子集的元素个数之和为( )‎ A. B. C. D. ‎ 三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.‎ 如图所示的几何体是圆柱的一部分,它是由边长为2的正方形(及其内部)以边所在直线为旋转轴顺时针旋转得到的.‎ ‎(1)求此几何体的体积;‎ ‎(2)设是弧上的一点,且,求异面直线与所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)‎ ‎18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.‎ 已知锐角的顶点与坐标原点重合,始边与轴正方向重合,终边与单位圆分别交于、两点,若、两点的横坐标分别为.‎ ‎(1)求的大小;‎ ‎(2) 在中,为三个内角对应的边长,若已知角,,且,求的值.‎ ‎ ‎ ‎19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.‎ 疫情后,为了支持企业复工复产,某地政府决定向当地企业发放补助款,其中对纳税额在万元至万元(包括万元和万元)的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件:①补助款(万元)随企业原纳税额(万元)的增加而增加;②补助款不低于原纳税额(万元)的.经测算政府决定采用函数模型(其中 为参数)作为补助款发放方案.‎ ‎(1)判断使用参数是否满足条件,并说明理由;‎ ‎(2)求同时满足条件①、②的参数的取值范围.‎ ‎20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.‎ 在平面直角坐标系中,,分别是椭圆的左、右焦点,直线与椭圆交于不同的两点、,且.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)已知直线经过椭圆的右焦点,是椭圆上两点,四边形是菱形,求直线的方程;‎ ‎(3)已知直线不经过椭圆的右焦点,直线,,的斜率依次成等差数列,求直线在轴上截距的取值范围.‎ ‎21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.‎ 若数列对任意连续三项,均有,则称该数列为“跳跃数列”.‎ ‎(1)判断下列两个数列是否是跳跃数列:‎ ① 等差数列:;‎ ② 等比数列:;‎ ‎(2)若数列满足对任何正整数,均有.证明:数列是跳跃数列的充分必要条件是.‎ ‎(3)跳跃数列满足对任意正整数均有,求首项的取值范围.‎ 浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测 高三数学答案及评分细则 ‎ ‎2020.05‎ 一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6题每题4分,7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分或5分,否则一律得零分.‎ ‎1.设全集,集合,则 .‎ ‎2. 某次考试,名同学的成绩分别为:,则这组数据的中位数为 .‎ ‎3. 若函数,则 .‎ ‎4. 若是关于的方程的一个根(其中为虚数单位,),则 .‎ ‎5.若两个球的表面积之比为则这两个球的体积之比为 .‎ ‎6.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为,圆的参数方程为,则直线与圆的位置关系是 相交 .‎ ‎7. 若二项式展开式的第项的值为,则 .‎ ‎8. 已知双曲线的渐近线方程为,且右焦点与抛物线的焦点重合,则这个双曲线的方程是____________.‎ ‎9. 从个男生、个女生中任选个人当发言人,假设事件表示选出的个人性别相同,事件表示选出的个人性别不同.如果的概率和的概率相等,则 .‎ ‎10. 已知函数的零点有且只有一个,则实数的取值集合为 {1} .‎ ‎11. 如图,在中,,为中点,为上一点,且满足,若的面积为,则的最小值为 . ‎ ‎12.已知数列满足,对任何正整数均有,,设,则数列的前项之和为 .‎ ‎【解】,‎ ‎,,‎ 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎13.若、满足 , 则目标函数的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎14. 如图,正方体中,、分别为棱、上的点,在平面内且与平面平行的直线( )‎ A. 有一条 B. 有二条 ‎ C. 有无数条 D. 不存在 ‎ ‎ 15. 已知函数.给出下列结论:‎ ①是周期函数; ② 函数图像的对称中心;‎ ③ 若,则;‎ ④ 不等式的解集为.‎ 则正确结论的序号是 ( ) ‎ A. ① ② B. ② ③ ④ C. ① ③ ④ D. ① ② ④ ‎ ‎16. 设集合,设集合是集合的非空子集,中的最大元素和最小元素之差称为集合的直径. 那么集合所有直径为的子集的元素个数之和为( )‎ A. B. C. D. ‎ 三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.‎ 如图所示的几何体是圆柱的一部分,它是由边长为2的正方形(及其内部)以边所在直线为旋转轴顺时针旋转得到的.‎ ‎(1)求此几何体的体积;‎ ‎(2)设是弧上的一点,且,求异面直线与所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)‎ ‎【解答】(1)因为.…………(4分)‎ 所以,.………(7分)‎ ‎(2)如图所示,以点B为坐标原点建立空间直角坐标系.则,,,.‎ 所以,,.…………………(11分)‎ 设异面直线与所成的角为,则 ‎.…………(13分)‎ 所以,异面直线与所成角为.…………(14分)‎ ‎18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.‎ 已知锐角的顶点与坐标原点重合,始边与轴正方向重合,终边与单位圆分别交于、两点,若、两点的横坐标分别为.‎ ‎(1)求的大小;‎ ‎(2) 在中,为三个内角对应的边长,若已知角,,且,求的值.‎ ‎【解答】(1)由已知 ………… (2分)‎ 因而 …………(6分)‎ ‎(2)法一:(正弦定理)由已知, ………….(7分)‎ ‎ …………(10分)‎ ‎ …………(14分)‎ 法二:(余弦定理),‎ 因而由已知得 法三:(余弦定理、正弦定理)‎ 因而由余弦定理得: ‎ 同理 ‎ 得得 ‎ 法四:(射影定理)可得,‎ 下同解法二 ‎19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.‎ 疫情后,为了支持企业复工复产,某地政府决定向当地企业发放补助款,其中对纳税额在万元至万元(包括万元和万元)的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列两个条件:①补助款(万元)随企业原纳税额(万元)的增加而增加;②补助款不低于原纳税额(万元)的.经测算政府决定采用函数模型(其中为参数)作为补助款发放方案.‎ ‎(1)判断使用参数是否满足条件,并说明理由;‎ ‎(2)求同时满足条件①、②的参数的取值范围.‎ ‎【解答】(1)法一:因为当时,,所以当时不满足条件②.‎ ‎…………(6分)‎ ‎ ‎ 法二:由条件②可知.‎ 因为,所以当时不满足条件②.…………(6分)‎ 法三:由条件②可知在上恒成立,所以,‎ 解得,所以当时不满足条件②.…………(6分)‎ ‎(注:如果证明了当时满足条件①得2分)‎ ‎(2)法一:由条件①可知,在上单调递增,则对任意时,‎ 有恒成立,‎ 即恒成立,所以;…………(10分)‎ 由条件②可知,,即不等式在上恒成立,‎ 所以 …………(13分)‎ 综上,参数的取值范围是.…………(14分)‎ 法二:由条件①可知,在上单调递增,‎ 所以当时,满足条件;当时,得,‎ 所以 …………(10分)‎ 由条件②可知,,即不等式在上恒成立,所以,得 …………(13分)‎ 综上,参数的取值范围是.…………(14分)‎ ‎20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.‎ 在平面直角坐标系中,,分别是椭圆的左、右焦点,直线与椭圆交于不同的两点、,且.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)已知直线经过椭圆的右焦点,是椭圆上两点,四边形是菱形,求直线的方程;‎ ‎(3)已知直线不经过椭圆的右焦点,直线,,的斜率依次成等差数列,求直线在轴上截距的取值范围.‎ ‎【解答】(1)由可得,从而,‎ 椭圆方程为. ………… (4分)‎ ‎(2)由于四边形是菱形,因此且. ‎ 由对称性,在线段上. 因此,分别关于原点对称;并且由于菱形的对角线相互垂直,可得,即. ………… (6分)‎ 设,与椭圆方程联立可得,设,因此,. ………… (8分)‎ 由,可得,‎ 解得,即直线方程为.………… (10分)‎ ‎(3) 设,由,可得,‎ 即.‎ 化简可得,‎ 即.‎ 若,则经过,不符,因此.………… (12分)‎ 联立直线与椭圆方程,.‎ 因为 ①‎ 由,可得, ② ………… (14分)‎ 将②代入①,;再由,‎ 可得,. ………… (16分)‎ ‎21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.‎ 若数列对任意连续三项,均有,则称该数列为“跳跃数列”.‎ ‎(1)判断下列两个数列是否是跳跃数列:‎ ① 等差数列:;‎ ② 等比数列:;‎ ‎(2)若数列满足对任何正整数,均有.证明:数列是跳跃数列的充分必要条件是.‎ ‎(3)跳跃数列满足对任意正整数均有,求首项的取值范围.‎ ‎【解答】(1)① 等差数列:不是跳跃数列;………… (2分)‎ ② 等比数列:是跳跃数列. ………… (4分)‎ ‎(2)必要性:若,则是单调递增数列,不是跳跃数列;‎ 若,是常数列,不是跳跃数列. ………… (6分)‎ 充分性:下面用数学归纳法证明:若,则对任何正整数,均有成立.‎ ‎(1)当时,,, ,‎ ‎,………… (8分)‎ ‎,所以命题成立………… (9分)‎ ‎(2)若时,,‎ 则,‎ ‎,所以当时命题也成立……… (10分)‎ 根据数学归纳法,可知命题成立,数列满足,故是跳跃数列.‎ ‎(3),‎ ‎,………… (11分)‎ ‎,………… (12分)‎ ‎ [1]若,则,此时;………… (14分)‎ ‎ [2]若,则,此时;………… (16分)‎ 若,则,所以.‎ 若,则,所以.‎ 所以,‎ 此时对任何正整数,均有………… (18分)‎
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