【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题22统计图学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题22统计图学案

专题二十二 统计图 ‎【频率分布】‎ 样本中所有数据（或者数据组）的频率和样本容量的比就是该数据的频率，所有数据（或者数据组）的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布表，频率分布折线图，茎叶图，频率分布直方图来表示．‎ ‎【频率分布折线图】‎ 如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起，就得到一条折线，称这条折线为本组数据的频率折线图。‎ ‎【频数分布表】‎ 反映总体频率分布的表格。 一般地，编制频率分布表的步骤如下：（1）求全距，决定组数和组距；（2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表。‎ ‎【作频率分布直方图的步骤】‎ ‎①求极差，即一组数据中最大值和最小值的差。  ②决定组距与组数．将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚的呈现出来。这时应注意：a．一般样本容量越大，所分组数越多；b．为方便起见，组距的选择应力求“取整”；c．当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5组～l2组．  ③将数据分组．  ④计算各小组的频率（），作频率分布表。 ⑤画频率分布直方图。 ‎ ‎【2017年高考全国Ⅲ卷，文3】‎ 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.‎ 根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎【答案】A ‎【考点】折线图 ‎【点拨】用样本估计总体时统计图表主要有：‎ ‎1.频率分布直方图特点：频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应区间的频率,所有小长方形的面积之和为1; ‎ ‎2.频率分布折线图，连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．‎ ‎3.茎叶图，对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼出有用的信息和数据．‎ 答题思路 ‎【命题意图】 高考对本部分内容的考查以实际应用题出现，这既是这类问题的特点，也符合高考发展的方向.‎ ‎【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是数据的整理和分析；一种是统计图的综合应用．重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，运用统计图来研究生活中的实际问题，这是备考中应该注意的方面.‎ ‎【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下两步：‎ 第一步：折线图中数据表示的意义以及变化情况 ‎ 第二步：通过排除法 ‎ ‎【方法总结】‎ ‎1、频率分布直方图：对于样本数据，分组后把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高度等于该组的频率/组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率。这些矩形就构成了频率分布直方图。‎ 这里要注意频率分布直方图的横轴表示样本数据，纵轴表示各组的频率/组距。图中小长方形的面积是相应分组的频率。在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应各组的频率，而各组的频率的和等于1。因此各小矩形的面积和等于1。‎ 频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在频率分布表中看不出原始的数据模式。但是从频率分布在直方图本身不能得出原始数据的内容，也就是说，把数据表示成频率分布直方图后，原有的具体数据信息就补抹掉了。‎ ‎2、频率分布折线图：把频率分布直方图中的各个矩形上边中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图。‎ 一般为方便看图，习惯上绘制折线图时：按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从所加左边区间中点开始，将频率分布直方图中各相邻矩形的上底边的中点顺次连接起来，直至右边区间的中点，就得到折线图。这种折线图的画法，使折线两端与横轴相连，所以横轴上的左右两端点没有实际意义。‎ 频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，缺点是由图本身得不到原始的数据信息。‎ ‎3.做频率分布题，一般按以下步骤：‎ ‎①求极差（极差=最大值—最小值）；‎ ‎②决定组距与组数；‎ ‎③决定分点；‎ ‎④列频率分布表（频率=频数/总数）；‎ ‎⑤绘制频率分布直方图；‎ ‎⑥绘制频率分布折线图。‎ ‎1.【2017年高考全国Ⅱ卷，文19】（12分）‎ 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：‎ （1） 记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；‎ （2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3） 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。‎ 附：‎ P（）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）0.62.（2）有把握（3）新养殖法优于旧养殖法 试题解析：（1）旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 ‎ （0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62‎ 因此，事件A的概率估计值为0.62.‎ ‎(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ K2= ‎ 由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.‎ ‎(3)箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在45kg到50kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.‎ ‎【考点】频率分布直方图 ‎【点拨】（1）频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，所有小长方形面积之和为1；‎ ‎（2）频率分布直方图中均值等于组中值与对应概率乘积的和中/华-资*源%库 ‎（3）均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性 ‎2.【2017年高考北京卷，文17】（13分）‎ 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；‎ ‎（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎【答案】（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）5人；（Ⅲ）.‎ ‎【考点】频率分布直方图的应用 ‎【点拨】1.用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.‎ ‎2.频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.‎ ‎3．【2017湖南考前演练（三）】学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的同学有30人，则的值为（ ）‎ A. 300 B. 200 C. 150 D. 100‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据频率分布直方图的面积和1,可得的频率为P=1-10(0.01+0.024+0.036)=0.3,又由,解得.选D.‎ ‎4．【2017马鞍山三模】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30]. 根据直方图，若这200名学生中每周的自习时间不超过小时的人数为164，则的值约为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【点拨】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.‎ ‎5．【2017桂林，百色，梧州，北海，崇左五市联合模考】如图是2017年第一季度五省情况图，则下列陈述正确的是（ ）‎ ‎①2017年第一季度 总量和增速均居同一位的省只有1个；‎ ‎②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的总量均实现了增长；‎ ‎③去年同期的总量前三位是江苏、山东、浙江；‎ ‎④2016年同期浙江的总量也是第三位．‎ A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①③④‎ ‎【答案】B 本题选择B选项.‎ ‎6．【2017成都市三模】是表示空气质量的指数， 指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日指数值的统计数据，图中点表示4月1日的指数值为201，则下列叙述不正确的是 ( )‎ A. 这12天中有6天空气质量为“优良”‎ B. 这12天中空气质量最好的是4月9日 C. 这12天的指数值的中位数是90‎ D. 从4日到9日，空气质量越来越好 ‎【答案】C ‎【解析】由图可知, 不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对,不选. 最小的一天为10日,所以B对,不选.中位为是,C错.从图中可以4日到9日越来越小,D对.所以选C.‎ ‎7．【2017北京市海淀区二模】北京市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示.由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是 A. 第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度 ‎【答案】B ‎【解析】通过对第一季度，第二季度，第三季度，第四季度的图象的起伏进行观察，发现第二季度的三个月的数值变化最小，故其方差最小，故选B.‎ ‎8．【2017东北师范大学附属中学三模】为了解甲、乙、丙三个小区居民的生活成本，现分别对甲、乙、丙三个小区进行了“家庭每周日常消费额”的调查．将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图），若甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为， ， ，则它们的大小关系为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎9．【2017衡水中学六调】甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据方差表示数据稳定程度，越稳定方差越小，甲乙丙三人数据中丙集中在6环，乙平均分散，甲分散在两边，所以丙最稳定，方差最小；甲最不稳定，方差最大；所以选A.‎ ‎10．【2017广东佛山检测（二）】‎ 现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：‎ 根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）‎ A. 样本中的女生数量多于男生数量 B. 样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量 C. 样本中的男生偏爱理科 D. 样本中的女生偏爱文科 ‎【答案】D ‎11．【2017吉林长春二模】右图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是 ‎ ‎ A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高 B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降 C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州 D. 平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 ‎【答案】D ‎【解析】由图可知D错误.故选D. ‎ ‎12.【2016年高考全国Ⅰ卷，文19】（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数.‎ ‎（Ⅰ）若=19，求y与x的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5，求的最小值；‎ ‎（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）19；（Ⅲ）19.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）分x19及x>19，分别求解析式；（Ⅱ）通过频率大小进行比较；（Ⅲ）分别求出n=19，n=20时所需费用的平均数来确定.‎ 试题解析：（Ⅰ）当时，；当时，，所以与的函数解析式为.‎ ‎（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故的最小值为19.‎ ‎（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为.‎ 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为.‎ 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.‎ ‎【考点】函数解析式、概率与统计 ‎【点拨】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.‎ ‎ 13.【2016年高考全国Ⅲ卷，文4】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是 ‎(A) 各月的平均最低气温都在0℃以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 ‎(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于20℃的月份有5个 ‎【答案】D ‎【考点】统计图 ‎【点拨】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．‎ ‎14.【2016年高考北京卷，文17】（13分）‎ 某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？‎ ‎（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.‎ ‎【答案】（I）3；（II）10.5元.‎ ‎（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：‎ 组号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 分组 频率 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：‎ ‎（元）．‎ ‎【考点】频率分布直方图、频率、平均数的估计值.‎ ‎【点拨】1.用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法. 频率分布表在数量表示上比较准确，频率分布直方图比较直观.‎ ‎2.频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.‎ ‎15.【2016年高考山东卷，文3】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 ‎（A）56 （B）60 （C）120 （D）140‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时的人数是，选D.‎ ‎【点拨】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜，作为一道应用题，考查考生的识图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.‎ ‎【考点】频率分布直方图 ‎16．【2016年高考四川卷，文16】（12分）‎ 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）, [0.5,1）,…,[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（I）求直方图中a的值；‎ ‎（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；‎ ‎（III）估计居民月均用水量的中位数.‎ ‎【答案】（I）；（II）36 000；（III）2.04．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（I）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（II）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（III）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.‎ 试题解析：（I）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04.‎ 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.‎ 由1–(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，‎ 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.‎ ‎【考点】频率分布直方图 ‎【点拨】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．‎