数学（文）卷·2018届北京市一零一中学高三3月月考（2018
北京101中学2018届下学期高三年级3月月考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1. 已知集合A={x| x（x-2）<0}，B={x| lnx>0}，则AB是
A. {x| x>0} B. {x| x>2}
C. {x | 1
0且k≠1）的点的轨迹是圆。后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是
A. 2 B. C. D.
8. 如图，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD。若点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为
A. 椭圆的一部分
B. 双曲线的一部分
C. 一段圆弧
D. 一条线段
二、填空题：本大题共6小题。共30分。
9. 执行如图所示的程序框图，输出S的值为___________.
10. 已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，一条渐近线方程为x+y=0，则双曲线C的方程是___________。
11. 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，则·=___________。
12. 若变量x，y满足约束条件则x2+y2的最小值为___________。
13. 高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题。一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：
（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；
（2）左图阴影区域面积用a，b，c，d表示为__________；
（3）右图中阴影区域的面积为；
（4）则柯西不等式用字母a，b，c，d可以表示为（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）。
请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：_____________。
14. 已知函数f（x）= g（x）=f（x）-kx（k∈R）。
①当k=l时，函数g（x）有__________个零点；
②若函数g（x）有三个零点，则k的取值范围是___________。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
15. （本小题满分13分）
已知函数f（x）=（sinx+cosx）2-cos2x。
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈[0，]时，f（x）≥0。
16. （本小题满分13分）
已知由实数构成的等比数列{an}满足a1=2，a1+ a3+ a5=42。
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）求a2+ a4+ a6+…+ a2n。
17. （本小题满分13分）
2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行。整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决。图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计。两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1。在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法。选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术。
图1
选手乙的接发球技术统计表
技术
反手拧球
反手搓球
反手拉球
反手拨球
正手搓球
正手拉球
正手挑球
使用次数
20
2
2
4
12
4
1
得分率
55%
50%
0%
75%
41.7%
75%
100%
表1
（I）观察图1，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术?
（II）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球。从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少?
（III）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定?（结论不要求证明）
18. （本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC。已知D是BC的中点，AB=AA1=2。
（I）求证：平面AB1D⊥平面BB1C1C；
（II）求证：A1C∥平面AB1D；
（III）求三棱锥A1-AB1D的体积。
19. （本小题满分14分）
已知椭圆C：（b>0）的一个焦点坐标为（2，0）。
（I）求椭圆C的方程；
（II）已知点E（3，0），过点（1，0）的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于M，N两点，直线ME与直线x=5相交于点F，试证明：直线FN与x轴平行。
20. （本小题满分13分）
已知函数f（x）=xcos+a，a∈R。
（I）求曲线y=f（x）在点x=处的切线的斜率；
（II）判断方程f '（x）=0（f '（x）为f（x）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明理由；
（III）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求a的取值范围。
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，共40分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
A
A
B
A
D
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
题号
9
10
11
12
13
14
答案
48
2
8
ac+bd；两个要点：（1）两图中的阴影部分面积相等；（2）|sin∠BAD|≤1
1，（0，]
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
15. 解：（I）因为f（x）=sin2x+cos2x+sin2x-cos2x
=1+sin2x-cos2x=sin（2x-）+1。
所以函数f（x）的最小正周期为。…………………………7分
（II）由（I）可知，f（x）=sin（2x-）+1。
当x[0，]时，2x-[-，]，sin（2x-）[-，1]，
sin（2x-）+1∈[0，+l]。
当2x-=-，即x=0时，f（x）取了最小值0。所以当x∈[0，]时，f（x）≥0。…13分
16. 解：（I）由可得2（1+q2+q4）=42。
由数列{an}各项为实数，解得q2=4，q=2。
所以数列{an}的通项公式为an=2n或an=（-1）n-1·2n ………………7分
（II）当an=2n时，a2+ a4+ a6+…+ a2n=·（4n-1）；
当an=（-1）n-1·2n时，a2+ a4+ a6+…+ a2n=·（1-4n）。 . . . . 13分
17. 解：（I）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术。
……………2分
（II）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A，B，正手拉球4次，分别记为a,b，c,d。则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是：
AB，Aa,Ab，Ac，Ad,Ba，Bb，Bc,Bd,ab，ac，ad,bc,bd,cd。
其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是：AB,Aa，Ab，Ac,Ad,Ba，Bb，Bc,Bd。
则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率
。………………10分
（III）正手技术更稳定。 ……………………13分
18. （I）证明：由已知△ABC为正三角形，且D是BC的中点，所以AD⊥BC。因为侧棱AA1⊥底面ABC，AA1∥BB1，所以BB1⊥底面ABC。又因为AD底面ABC，所以BB1⊥AD。而B1BBC=B，所以AD⊥平面BB1C1C。因为AD平面AB1D，所以平面AB1D⊥平面BB1C1C。…5分
（II）证明：连接A1B，设A1BAB1=E，连接DE。
由已知得，四边形A1ABB1为正方形，则E为A1B的中点.
因为D是BC的中点，所以DE∥A1C。
又因为DE平面AB1D，A1C平面AB1D，
所以A1C∥平面AB1D。………………………10分
（III）由（II）可知A1C∥平面AB1D，所以A1与C到平面AB1D的距离相等，
所以。由题设及AB=AA1=2，得BB1=2，且。
所以=×，
所以三棱锥A1-AB1D的体积为。 …………………………14分
19. 解：（I）由题意可知所以a2=5，b2=1。
所以椭圆C的方程为=1 ………3分
（II）①当直线l的斜率不存在时，此时MN⊥x轴。设D（1，0），直线x=5与x轴相交于点G，易得点E（3，0）是点D（1，0）和点G（5，0）的中点，又因为|MD|=|DN|，所以|FG|=|DN|。所以直线FN∥x轴。
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），
M（x1，y1），N（x2，y2）。因为点E（3，0），所以直线ME的方程为y=（x-3）。
令x=5，所以yF=（5-3）=。
由消去y得（1+5k2）x2-10k2x+5（k2-1）=0。
显然>0恒成立。所以x1+x2=，x1x2=。
因为y2-yF=y2-==
==
=·，
所以y2=yF。所以直线FN∥x轴。综上所述，所以直线FN∥x轴。……………14分
20. 解：（I）f '（x）=cosx-xsinx·k=f '（）=。……………………3分
（II）设g（x）=f '（x），g' （x）=-sinx-（sin x+xcosx）=-2sinx-xcosx.
当x∈（0，1）时，g '（x）<0，则函数g（x）为减函数。
又因为g（0）=1>0，g（1）=cos1-sin1<0，
所以有且只有一个x0∈（0，1），使g（x0）=0成立。
所以函数g（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点，即方程f '（x）=0在区间（0，1）内有且只有一个实数根。 …………………………7分
（III）若函数F（x）=xsinx+cosx+ax在区间（0，1）内有且只有一个极值点，由于F '（x）=f（x），即f（x）=xcosx+a在区间（0，1）内有且只有一个零点x1，且f（x）在x1两侧异号。
因为当x∈（0，1）时，函数g（x）为减函数，所以在（0，x0）上，g（x）>g（x0）=0，即f '（x）>0成立，函数f（x）为增函数；
在（x0，1）上，g（x）f（0）。
若函数f（x）在区间（0，1）内有且只有一个零点x1，且f（x）在x1两侧异号，
则只需满足：
。即，解得-cos1a<0。…………13分