数学文卷·2019届河北省承德一中高二第二次月考（2017-10）
河北承德第一中学 2017-2018 学年度第一学期第二次月考
高二数学试题（文科）
时间：120 分钟 总分：150 分 出题人： 审核人：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题 60 分）和第Ⅱ卷（非选择题 90 分）两部分，满分 150
分；
2. 本次考试内容：必修 2 第四章圆与方程和选修 1-1 第二章圆锥曲线与方程。
第Ⅰ卷（选择题 60 分）
一、选择题：(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的)
1.抛物线 y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A.|a|
4 B.|a|
2 C．|a| D．－a
2
2.椭圆 + =1 的焦距是 2,则 m= ( )
A.5 B.3 或 8 C.3 或 5 D.20
3.直线 3x＋4y＋12＝0 与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9 的位置关系是( )
A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心
4.过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的弦为 AB，则|AB|的最小值为( )
A.p
2 B．pC．2p D．无法确定
5.椭圆 + =1 与 + =1(0
0)的焦点为 F，其准线与双曲线x2
3 －y2
3 ＝1 相交于 A，B 两
点，若△ABF 为等边三角形，则 p＝（）
A．4 B．5 C．6 D．7
11.已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，
若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2
12.已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于
A，B 两点，且 AB 的中点为 N(－12，－15)，则 E 的方程为( )
A.x2
3 －y2
6 ＝1 B.x2
4 －y2
5 ＝1C.x2
6 －y2
3 ＝1 D. x2
5 －y2
4 ＝1
第Ⅱ卷（非选择题 90 分）
二、填空题：(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)
13.圆 x2＋y2－2x＋6y＋8＝0 的周长为________．
14.设 P 是椭圆 + =1 上的点,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|·|PF2|
的最大值是 .
15.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率
为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程
为 .
16.已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点，则点 P 到点(0，2)的距离与 P 到该
抛物线准线的距离之和的最小值为________．
三、解答题(共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤)
17.(本小题满分 10 分)已知 A1、A2 是椭圆: + =1 长轴的左右两个端点，P 为椭
圆上除 A1、A2 外的任意一点，求证： 为定值
18.(本小题满分 12 分)已知圆 C1:x2+y2─4x─3=0 和 C2:x2+y2─4y─3=0.
(1) 求两圆 C1 和 C2 的公共弦方程;
(2)若圆 C 的圆心在直线 x─y─4=0 上,并且通过圆 C1 和 C2 的交点，求圆 C 的方
程.
19.(本小题满分 12 分)如图，直线 l：y＝x＋b 与抛物线 C：x2＝4y 相切于点 A.
(1)求实数 b 的值；
(2)求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程．
21 PAPA kk •
20.(本小题满分 12 分)已知双曲线与椭圆 x2＋4y2＝64 共焦点，它的一条渐近线
方程 x－ 3y＝0，求双曲线的方程．
21.(本小题满分 12 分)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)过点 A(1，－2)．
(1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l，使得直线 l 与抛物线 C 有公共
点，且直线 OA 与 l 的距离等于
5
5 .若存在，求直线 l 的方程；若不存在，说明
理由．
22.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的离心率为
2
2 ，点(2，
2)在 C 上．
(1)求 C 的方程；
(2)直线 l 不经过原点 O，且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB
中点为 M，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．
河北承德第一中学 2017-2018 学年度第一学期第二次月考
高二数学试题（文科）参考答案
一、选择题：
BCDCB DACDC BB
二、填空题：
13.2 2π 14.16 15. + =1 16. 17
2
三、解答题：
17.证明：由题设可得：A1(-2,0)、A2(-2,0),设 P（x,y）,则：
由 P 在椭圆上，得 + =1，从而：
故： 为定值
18.解：(1)将圆 C1 和圆 C2 的方程相减得：x-y=0,此即为公共弦的方程
（2）因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为：x 2+y2─4x─3+λ(x 2+y2─4y─
3)=0,即 (1+λ)(x2+y2)─4x─4λy─3λ─3=0,
即 =0,圆心为 ( , ),
由于圆心在直线 x─y─4=0 上,
∴ ─ ─4=0, 解得
所求圆的方程为：x2+y2─6x+2y─3=0
19.解：(1)由{y＝x＋b，
x2＝4y 得 x2－4x－4b＝0，(*)
因为直线 l 与抛物线 C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得 b＝－1.
(2)由(1)可知 b＝－1，故方程(*)即为 x2－4x＋4＝0，
解得 x＝2，代入 x2＝4y，得 y＝1.
故点 A(2，1)，因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切，
所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 与抛物线的准线 y＝－1 的距离，即 r＝|1－(－1)|＝2，
所以圆 A 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
4
)4(3)41(3
22
2 xxy
−=−=
4
3
4
4
)4(3
422 2
2
2
2
21
−=−
−
=−=−•+=•
x
x
x
y
x
y
x
ykk PAPA
31
4
1
422 −+−+−+ λ
λ
λ
yxyx λ+1
2
λ
λ
+1
2
λ+1
2
λ
λ
+1
2
3
1−=λ
20.解：法一：椭圆 x2＋4y2＝64，即
x2
64＋
y2
16＝1，其焦点是(±4 3，0)．
设双曲线方程为
x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)，其渐近线方程是 y＝±
b
ax.
又因为双曲线的一条渐近线方程为 x－ 3y＝0，所以
a
b＝ 3.
又由 a2＋b2＝c2＝48，解得 a2＝36，b2＝12.
所以所求双曲线方程为
x2
36－
y2
12＝1.
法二：由双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为
x2
64－λ－
y2
λ－16＝1(16＜λ＜64)．
因为双曲线的一条渐近线方程为 x－ 3y＝0，即 y＝
1
3 x，
所以
λ－16
64－λ＝
1
3，所以 λ＝28.
故所求双曲线方程为
x2
36－
y2
12＝1.
21.解：(1)将(1，－2)代入 y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，∴p＝2，
故所求的抛物线方程为 y2＝4x，其准线方程为 x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y＝－2x＋t，
由Error!得 y2＋2y－2t＝0，
因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得 t≥－
1
2.
另一方面，由直线 OA 与直线 l 的距离等于
5
5 可得
|t|
5＝
5
5 ，∴t＝±1，
由于－1∉ ，1∈ ，
所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 y＝－2x＋1.
22.(1)解：由题意有
a2－b2
a ＝
2
2 ，
4
a2＋
2
b2＝1，解得 a2＝8，b2＝4，
所以椭圆 C 的方程为
x2
8 ＋
y2
4 ＝1.
(2)证明：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，把 y＝kx＋
b 代入
x2
8 ＋
y2
4 ＝1 得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故 xM＝
x1＋x2
2 ＝
－2kb
2k2＋1，yM＝kxM＋b＝
b
2k2＋1，于是直线 OM 的斜率 kOM＝
yM
xM＝－
1
2k，
所以 kOM·k＝－
1
2，所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．
),2
1[ +∞− ),2
1[ +∞−
