黑龙江省牡丹江市牡丹江市第一高级中学2020届高三上学期开学考试检测数学（文）试题

黑龙江省牡丹江市牡丹江市第一高级中学2020届高三上学期开学考试检测数学（文）试题

‎2017级高三学年上学期开学检测 文科数学试题 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1.设，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：根据一元二次不等式求出集合，在根据指数函数的值域求出集合，再利用两个集合的交集的定义求出.‎ 详解：集合，集合，‎ 所以，故选B.‎ 点睛：本题主要考查了一元二次不等式的求解和指数函数的图象与性质，以及集合交集的运算，着重考查了学生推理与运算能力.‎ ‎2.设向量，，则“”是“∥”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，∥，则，解得，所以“”是“∥”的充分不必要条件，故选A.‎ 考点：向量的运算.‎ ‎3.已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且，则向量＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎,选C.‎ ‎4.已知命题使；命题且，都有.给出下列结论：其中正确的是（）‎ ‎①命题“”是真命题；②命题“”是假命题；‎ ‎③命题“”是真命题；④命题“”是假命题.‎ A. ①②③ B. ③④ C. ②④ D. ②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数值域和两角和差正切公式可分别判断出命题的真假性；根据含逻辑连接词的命题的真假性判断方法可得结论.‎ ‎【详解】 ， 命题为假 当时，‎ ‎，即：‎ ‎ 命题为真 为假；为假；为真；为真 ‎②③正确 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查含逻辑连接词命题的真假性的判断，关键是能够根据三角函数值域和两角和差正切公式分别判断出两个命题的真假性.‎ ‎5. 以下函数中，最小值为2的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因,故（当且仅当取等号），所以应选B.‎ 考点：基本不等式的运用及条件．‎ ‎6.已知实数，,,则的大小关系为（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角的余弦公式可知，，由单调性可知；利用二倍角的正切公式可知，根据单调性可知，从而得到结果.‎ ‎【详解】；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，关键是能够利用二倍角的余弦公式和正切公式将数字进行化简，再结合余弦函数和正切函数单调性得到结论.‎ ‎7.若满足，且的最大值为6，则的值为（）‎ A. -1 B. -7 C. 1 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出确定的可行域，由图象可知当时，可行域不存在；当时，与题意不符；当时，通过可行域可知当过时，取得最大值；将点坐标代入可构造出关于的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】由可得可行域如下图阴影部分所示：‎ 则 若，则可行域不存在，不符合题意 若，则只有一个可行解，此时不合题意 当时，可行域如下图阴影部分所示：‎ 可知当过点时，取得最大值 又 ，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查线性规划中，根据最优解补全约束条件的问题；关键是能够排除含变量的条件得到区域，再根据含变量的条件确定最终的可行域，通过最优解的位置构造方程求得结果.‎ ‎8.设当时，函数取得最大值，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由辅助角公式可确定，从而得到；利用同角三角函数平方关系可构造出方程组求得结果.‎ ‎【详解】，其中 ‎，即 又 ‎ ‎【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.‎ ‎9.函数图象的大致形状是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的奇偶性，再求，利用排除法可得解.‎ ‎【详解】由题意得，，所以 ‎，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，C；‎ 令，则，。故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的图象，属于基础题.．‎ ‎10.已知函数的部分图象如图所示，若，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题设中提供的图像信息可知，则，所以，结合图像可知，则，所以。则由题意，即，又因为，所以，即，所以，故，应选答案A。‎ ‎11.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨 ‎，，∴，又∵‎ ‎，‎ ‎∴，故选D.‎ 考点：三角函数的图象和性质.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三 角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.‎ ‎12.已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，且其关于轴对称点在上；将坐标代入，可得，从而将问题转化为此方程有解；令，通过导数可确定函数大致图象，将问题转化为与图象有交点，通过数形结合求得结果.‎ ‎【详解】设上一点，，且关于轴对称点坐标为，在上 ‎，有解，即有解 令，则，‎ 当时，；当时，‎ 在上单调递减；在上单调递增 ‎，，‎ 可得图象如下图所示：‎ 有解等价于与图象有交点 ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据方程有根求解参数范围的问题；关键是能够根据对称性将问题转化为方程有根，通过构造函数的方式进一步将问题转化为平行于轴直线与曲线有交点的问题，进而通过数形结合的方式来进行求解.‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.‎ ‎13.若角的终边上有一点，则的值是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 可根据在角的终边上得出，然后根据诱导公式即可得出结果 ‎【详解】因为若角的终边上有一点，‎ 所以，‎ 即，‎ 答案为.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查角的终边上的点的坐标，考查诱导公式，考查计算能力，是简单题 ‎14.在平行四边形中，为一条对角线，，，则__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可计算得到；根据求出，利用模长的定义求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查向量模长的坐标运算，关键是能够根据向量的线性运算求出向量的坐标，属于基础题.‎ ‎15.已知函数f(x)=sinx-cosx且f ′(x)=2f(x)，f ′(x)是f(x)的导函数，则=____.‎ ‎【答案】-‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数f（x）的解析式，利用求导法则求出导函数f′（x），然后把函数解析式及导函数解析式代入f'（x）=2f（x），整理后利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanx的值，把所求式子分子中的“1”变形为sin2x+cos2x，分母中的sin2x利用二倍角的正弦函数公式化简，分子分母同时除以cos2x，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanx的值代入即可求出值．‎ ‎【详解】因为f ′(x)=cosx+sinx，f ′(x)=2f(x)，所以cosx+sinx=2(sinx-cosx)，所以tanx=3，‎ 所以====-.‎ 故答案为-‎ ‎【点睛】此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：求导法则，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键．‎ ‎16.中，内角、、所对的边分别为、、，若，且，则的周长的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，，则 ‎， ， ，，则的周长的取值范围是.‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数在区间上的最大值与最小值；‎ ‎（2）当的图像经过点时，求的值及函数的最小正周期.‎ ‎【答案】（1），；（2），最小正周期 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，可将函数化简为；根据的范围求出的范围，结合正弦函数图象可求得，进而得到函数的最大值和最小值；（2）将函数化简为，将代入解析式，结合的范围可求得的取值；根据正弦型函数求得最小正周期.‎ ‎【详解】（1）当时 ‎ ‎ ‎，‎ ‎（2）‎ 过点 ‎ ‎，即 又 ‎ ‎，则的最小正周期 ‎【点睛】本题考查正弦型函数最值的求解、根据函数上的点求解函数解析式和最小正周期；关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为正弦型函数的形式.‎ ‎18.已知向量，记．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）在锐角中，角的对边分别是，且满，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换可得，由可得，根据二倍角公式可得的值；（2）根据正弦定理消去中的边可得，所以，又，则，得，根据三角函数值域的有界性即可求得的取值范围．‎ ‎【详解】（1）向量，，记，‎ 则，‎ 因为，所以，‎ 所以．‎ ‎（2）因为，‎ 由正弦定理得，‎ 所以，‎ 所以，，‎ 所以，又，所以，‎ 则，即，又，‎ 则，得，‎ 所以，又，‎ 所以的取值范围．‎ 考点：三角求值、正弦函数的值域及正弦定理解三角形.‎ ‎19.如图，在一条海防警戒线上的点处各有一个水声监测点，两点到的距离分别为20千米和50千米，某时刻，收到发自静止目标的一个声波信号，8秒后同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1．5千米/秒．‎ ‎（1）设到的距离为千米，用表示到的距离，并求的值；‎ ‎（2）求到海防警戒线的距离．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）依题意，有=，，根据余弦定理，列出方程，即可求解的值；（2）作于，在中，由，得 ‎，即可求解点到海防警戒线的距离．‎ 试题解析：（1）依题意，有=，．‎ 在中，，，‎ 同理在中，，．‎ ‎∵，∴，解得：．‎ ‎（2）作于，在中，由，‎ 得，∴千米．‎ 故静止目标到海防警戒线的距离为千米．‎ 考点：解三角形的实际应用．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到解三角形的正弦定理于余弦定理的应用以及三角形的高线的应用等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于基础题，此类问题的解答中关键在于灵活运用正弦定理和余弦定理找到解决问题的途径．‎ ‎20.函数满足：‎ ‎①；②在区间内有最大值无最小值；‎ ‎③在区间内有最小值无最大值；④经过 ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若，求值;‎ ‎（3）不等式的解集不为空集，求实数的范围.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据条件①②③可判断出和为的两条相邻的对称轴，由此可知周期，进而得到；根据条件①②知；当时，的取值不合题意，可知，此时可求出；代入点可求得，从而得到函数解析式；（2）通过已知等式可求得；利用诱导公式变形可知，根据同角三角函数平方关系求得结果；（3）设，则，将不等式解集不为空集等价于，根据二次函数图象可求得最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】（1）由和条件②知：为的一条对称轴，且在处取得最大值 由和条件③知：为的一条对称轴，且在处取得最小值 综合条件①②③可知和为相邻对称轴 ‎，解得：‎ 若，则，即 不符合 ‎ ‎，即 又 ‎ 由条件④知：，解得：‎ ‎（2）由（1）知， ‎ ‎（3） ‎ 令，则不等式可表示为：‎ 又 ‎ 不等式有解，则，解得：‎ 即不等式的解集不为空集时，‎ ‎【点睛】本题考查根据三角函数性质求解函数解析式、利用诱导公式化简求值问题、不等式能成立问题的求解；本题解题关键是能够通过已知的三角函数的性质确定函数的对称轴和最值点，根据三角函数的性质求得解析式.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，证明：．‎ ‎【答案】（1）,在上为增函数，,在 上为增函数，在上为减函数；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求,再根据导函数零点分类讨论和时,导函数的正负情况确定单调区间；（2）先化简所证不等式,再构造新函数,求导研究单调性与最值,证得不等式成立．‎ 试题解析：解：（1）由，可得 当时，，则函数在上为增函数 当时，由可得，由可得 则函数在上为增函数，在上为减函数 ‎（2）证明：令 则 令，则 ‎∵，∴，又，∴‎ ‎∴在上为增函数，则，即 由可得，所以．‎ 考点：1．求函数的单调区间；2．证明不等式．‎ ‎【方法点晴】函数与导数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用．本题考查的为利用导数判断函数的单调性以及最值等常见问题．而且涉及到参数的讨论,主要是以导函数的正负为分类标准,从而得出不同的单调性,注意给定的参数范围以及定义域．‎ ‎22.已知函数（）.‎ ‎（1）若曲线上点处的切线过点，求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）若函数在上无零点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可；‎ ‎（2）问题转化为对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），根据函数的单调性求出a的最小值即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，‎ ‎∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，‎ 又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，‎ 由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，‎ ‎∴函数g（x）在（0，2）递减；‎ ‎（2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，‎ 故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立，‎ 即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，‎ 令h（x）=2﹣，x∈（0，），‎ 则h′（x）=，‎ 再令m（x）=﹣2，x∈（0，），‎ 则m′（x）=＜0，‎ 故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，‎ 从而h′（x）＞0，于是h（x）在（0，）递增，‎ ‎∴h（x）＜h（）=2﹣4ln2，‎ 故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），‎ 综上，若函数y=f（x）在（0，）上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．‎ ‎ ‎