北京市西城区第八中学2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析

北京市西城区第八中学2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析

‎2019-2020学年度北京八中第一学期期中练习题 考试时间:120分钟，满分:150分 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则(　　)．‎ A. A∩B＝ B. A∪B＝R C. BA D. AB ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】依题意，‎ 又因为B＝{x|－＜x＜}，‎ 由数轴可知A∪B＝R，故选B.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎2.化简等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的线性运算求解即可.‎ ‎【详解】 ‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查首尾相加的向量运算与共起点的向量减法运算,属于基础题型.‎ ‎3.函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】与曲线y=ex关于y轴对称的曲线为，‎ 向左平移1个单位得，‎ 即．‎ 故选D．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎4.“向量与向量共线”是“存在,使得”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 与共线向量有关的问题,重点考虑零向量的特殊性即可判断.‎ ‎【详解】由平行向量的定义, 若存在∈R,使得,则向量与向量共线.但当向量与向量共线时,若为零向量, 不为零向量,则不存在∈R,使得.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查向量共线定义与判定,属于基础题型.‎ ‎5.函数（且）的图象可能为（ ）‎ A. B. C. ‎ ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.‎ 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎6.设等差数列的前n项和为，若，则(　　)‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由又，可得公差，从而可得结果.‎ ‎【详解】是等差数列 又，‎ ‎∴公差，‎ ‎，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎7.函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】表示到原点的斜率；‎ 表示与原点连线的斜率，‎ 而在曲线图像上，‎ 故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显分别有2、3、4个，故选B.‎ ‎【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎8.已知函数,下列四个命题正确的序号是（ ）‎ ‎①是偶函数 ②③当时,取得极小值④满足 的正整数n的最小值为9‎ A. ①②③ B. ①③④ C. ①② D. ①②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对①,直接根据偶函数的定义判断即可.‎ 对②,根据当时与大小关系判断即可.‎ 对③,求导后代入判断即可.‎ 对④,求导分析函数单调性,确定的极值点位置再判断即可.‎ ‎【详解】对①, 定义域为,当时, ‎ ‎,故是偶函数,①正确 对②,因为为偶函数,故只需考虑时的情况即可.‎ 画出与的函数图像如图.因为且当时成立,由图可得当时,恒成立. ‎ 故当时,.又为偶函数,故恒成立.‎ 对③, 令则.‎ 当时不成立,故③错误.‎ 对④, 令,当时,‎ ‎,当时, ‎ 先画出与的图像如图 注意当时,,此时,此时 当时,,,故 当时,.故当时,‎ 当时,,且有根.‎ 又对,,,,,‎ ‎.故满足的正整数n的最小值为9.‎ 故④正确.‎ 故选D ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、函数单调性奇偶性与不等式的解法等.其中④对三角函数的分析与计算能力要求较高,属于难题.‎ 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)‎ ‎9.函数,在区间上的最小值是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得出的范围,再根据三角函数单调性进行求解即可.‎ ‎【详解】∵x∈[0,1],∴x∈[0,],‎ ‎∴∈[],‎ ‎∴sin∈[],‎ ‎∴函数f(x)在区间上的最小值是,‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查三角函数的单调性与最值运用,属于基础题型.‎ ‎10.在等比数列中，若，，则__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析：根据题意列出关于首项 ，公比 的方程组，解得、的值，即可得结果 详解：设等比数列中公比为，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，故答案为．‎ 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.‎ ‎11.在平面直角坐标系中，点,，将向量绕点O顺时针方向旋转后，得到向量，则点Q的坐标是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设向量与轴正半轴的夹角为,再表示出对应的夹角,利用三角函数求解即可.‎ ‎【详解】∵平面直角坐标系中,点,则．‎ 将向量绕点O顺时针方向旋转弯后,得到向量,‎ 设易得 ．‎ 设点Q的坐标为,则,‎ ‎,故点Q的坐标为,‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查三角函数的定义,角顺时针旋转对应的角度为,属于中等题型.‎ ‎12.已知是夹角为60°的两个单位向量，则向量与向量的夹角为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据夹角公式 与向量的坐标运算求解即可.‎ ‎【详解】∵已知是夹角为60°的两个单位向量,∴•1×1×cos60°．‎ 设向量与向量的夹角为θ,θ∈[0,π]．‎ ‎∵()•(626+2,‎ ‎||,||,故cosθ,∴θ,‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查向量的数量积与模长夹角的运算,属于基础题型.‎ ‎13.已知函数若对,不等式成立，则a的取值范围是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分与两种情况分别讨论研究恒成立问题即可.‎ ‎【详解】当,,得,,即,,‎ 当时,,,,所以过的切线为,,则,故,‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查分段函数的恒成立问题,需要分开讨论或者数形结合分析,属于中等题型.‎ ‎14.设为平面直角坐标系xOy中的点集，从中的任意一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M,N,记点M的横坐标的最大值与最小值之差为x(),点N的纵坐标的最大值与最小值之差为y().若是边长为1的正方形，给出下列三个结论:‎ ‎①x(Q)最大值为 ‎②x(Q)+y(Q)的取值范围是 ‎ ‎③x(Q)-y(Q)恒等于0.‎ 其中所有正确结论的序号是_________‎ ‎【答案】①②③．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易得与正方形的位置无关,故可以考虑将正方形确定在原点,‎ 再绕着原点旋转分析所有情况即可.‎ ‎【详解】如图由题易得与正方形的位置无关,故将正方形确定在原点,则只需考虑当正方形绕着原点旋转的所有情况即可.此时对角线长.当正方形边均平行于坐标轴时取最小值.且 对①,,故①正确 对②, ,故②正确.‎ 对③,因为,故,故③正确.‎ 故答案为①②③‎ ‎【点睛】本题主要考查新定义的函数题型.利用数形结合的思想以及三角函数分析即可.属于中等题型.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程成演其步骤)‎ ‎15.中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)将化简代入数据得到答案.‎ ‎(2)利用余弦定理和均值不等式计算，代入面积公式得到答案.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ ‎；‎ ‎(2)由，可得，‎ 由余弦定理可得，‎ 即有，当且仅当，取得等号．‎ 则面积为．‎ 即有时，的面积取得最大值．‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型.‎ ‎16.已知等比数列满足:，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正整数m，使得++...+≥1?若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）不存在，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用基本量法将所有量表达成首项和的形式列式求解即可.‎ ‎(2) 对进行等比数列求和,再分析与1的大小关系即可.‎ ‎【详解】(1)设等比数列{an}首项为a1,公比为q,‎ 则①,‎ 则a‎1a2a3②,‎ 解①②得：q＝3,‎ 从而．‎ ‎∴数列{an}的通项公式．‎ ‎(2)假设存在正整数m,使得1．‎ ‎∵, ‎ ‎∴,从而数列{}是首项为,公比为的等比数列,‎ 从而得1,‎ 从而解得32﹣m≤﹣1,显然不成立,‎ 因此不存在这样的整数m使得使得1成立．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量法以及等比数列求和的问题,属于基础题型.‎ ‎17.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从，（如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．‎ ‎（1）求小波参加学校合唱团的概率；‎ ‎（2）求X的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）因为X满足=0的是两个垂直的向量有8个，从8个向量中任取2个乘积共有种，所以小波参加学校合唱团的概率为 ‎（2）由题意知X可能取值有-2，-1,0,1，‎ X的分布列如下：‎ X ‎ ‎-2 ‎ ‎-1 ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点：该题主要考查离散型随机变量X的概率分布、期望，平面向量的概念和运算，随机变量的概率等基础知识，考查综合分析能力和运算能力.‎ ‎18.在四棱锥P—ABCD中，PAB为正三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD.AB=2AD，M，N分别为PB，PC中点.‎ ‎（1）求证:MN//平面PAD;‎ ‎（2）求二面角B—AM—C的大小；‎ ‎（3）在BC上是否存在点E，使得EN⊥平面AMV?若存在，求的值:若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）45°（3）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)欲证//平面,则证明MN∥AD即可.‎ ‎(2)取中点再建立空间直角坐标系,求得与的法向量再求解即可. (3)设再根据平面，列出对应的向量，利用数量积为0，求出再计算即可.‎ ‎【详解】证明：(1)∵M,N分别是PB,PC中点 ‎∴MN是△ABC的中位线 ‎∴MN∥BC∥AD 又∵AD平面PAD,MN平面PAD 所以MN∥平面PAD． ‎ 解：(2)过点P作PO垂直于AB,交AB于点O,‎ 因为平面PAB⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD,‎ 如图建立空间直角坐标系,‎ 设AB＝2,则A(﹣1,0,0),C(1,1,0),‎ M(,0,),‎ B(10,0),N(),‎ 则 设平面CAM法向量为,‎ 由,得,‎ 令x1＝1,则,即 平面ABM法向量 所以,二面角B﹣AM﹣C的余弦值 因为二面角B﹣AM﹣C是锐二面角,‎ 所以二面角B﹣AM﹣C等于45°‎ ‎(3)存在点E,使得EN⊥平面AMN 设E(1,λ,0),则,‎ 由可得,‎ 所以在BC存在点E,使得EN⊥平面AMN,‎ 此时．‎ ‎【点睛】本题主要考查了立体几何中的垂直平行证明以及用空间向量求解面面角以及是否存在的问题等,求出法向量再利用空间向量的数量积与夹角即可.属于中等题型.‎ ‎19.已知函数，其中.‎ ‎（1）若，求曲线在处的切线方程;‎ ‎（2）设函数若至少存在一个,使得成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导后代入求得在处的切线斜率,再利用点斜式求得切线方程即可. (2)求导后分与时,分析单调性再根据函数性质的最值满足的条件列式求不等式即可.‎ ‎【详解】(1)当时,,‎ ‎∴,即切线斜率为2,故由点斜式方程可得切线方程为,即 ‎(2)原问题等价于至少存一个,使得成立,‎ 令,则,‎ ‎①当时,,则函数h(x)在[1,e]上单调递减,故h(x)min＝h(e)＝﹣2＜0,符合题意；‎ ‎②当时,令,,解得,则函数h(x)在上单调递减,令 ‎,解得,则函数h(x)在单调递增,‎ 且,,‎ ‎1.当,即时,在上,单调递增,‎ 此时不符合题意 ‎2.当,即时, 在上,单调递减,‎ 此时满足题意 ‎3.当,即时,,不满足题意 综上,实数a的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导函数求切线方程的一般方法,同时也考查了分情况讨论思想与导数与单调性和最值的运用等,属于中等题型.‎ ‎20.将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或，其中都是实数.定义映射的模为:在的条件下 的最大值记做.若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值.‎ ‎（1）若求；‎ ‎（2）如果,计算的特征值，并求相应的；‎ ‎（3）试找出一个映射，满足以下两个条件:①有唯一特征值，②.(不需证明)‎ ‎【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题目中的定义,在的条件下的最大值为,分别用表达与 再分析即可.‎ ‎(2) 由求得后再联立方程求中的系数.‎ ‎(3)根据题意设,列出,再分析满足的关系即可.‎ ‎【详解】(1)由于此时,‎ 又因为是在的条件下 (时取最大值),所以此时有；‎ ‎(2)由,可得： ,‎ 两式相乘可得：,从而．‎ 当时,解方程组,此时这两个方程是同一个方程,‎ 所以此时方程有无穷多个解,为,其中．‎ 当时,同理可得相应的,其中．‎ ‎(3)由方程组,可得从而向量与平行,从而有应满足：；‎ 当时,f有唯一的特征值,且,‎ 故．‎ ‎【点睛】本题主要考查新定义的向量问题,重点在于根据定义的内容,设出对应的向量列出向量之间的关系方程再求解分析,属于难题.‎