数学理卷·2017届江西省师大附中、临川一中高三1月联考（2017

数学理卷·2017届江西省师大附中、临川一中高三1月联考（2017

‎ 2017届高三师大附中、临川一中联考 数学理科试题 ‎ 命题人： 温茂林 许卫民 审题人： 张珍珍 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.若复数，为的共轭复数，则 （ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知全集，集合，,那么集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.若, , 的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则在上的值域为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知为奇函数，函数与的图像关于直线对称，若，则（ ）‎ A. B. 2 C. D. 4 ‎ ‎7. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎8. 按流程图的程序计算，若开始输入的值为，则输出的的值是 （ ）‎ 输入x 计算的值 输出结果x 是 否 A． B． C． D．‎ ‎9.已知数列、满足，其中是等差数列，且，则 ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.在直角中,,为边上的点,若,则的最大值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为 （ ）‎ A. 3 B. C. D. 4‎ ‎12.已知 ，在区间上存在三个不同的实数，使得以为边长的三角形是直角三角形，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。‎ ‎13.已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，‎ 则等于 ．‎ ‎14.若A、B、C、D四人站成一排照相，A、B相邻的排法总数为，则二项式的展开式中含项 的系数为______________. ‎ ‎15.已知变量满足约束条件 ，则的取值范围是______________ ‎ ‎16. 下列说法中错误的是_______（填序号）‎ ‎①命题“有”的否定是 ‎“有”；‎ ‎②已知 ，则的最小值为；‎ ‎③设，命题“若，则”的否命题是真命题；‎ ‎④已知， ，若命题为真命题，则的取值 范围是.‎ 三、解答题：本大题共6小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题12分）‎ 已知向量，，函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎（2）在中，三内角，，的对边分别为，已知函数的图象经过点，‎ ‎ 成等差数列，且，求的值.‎ ‎18. （本小题12分）‎ 某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答.‎ ‎（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；‎ ‎（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分的分布列与数学期望.‎ ‎19. （本小题12分） ‎ 如图1，在中，是边的中点，现把沿折成如图2所示的三棱锥，使得．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面夹角的余弦值．‎ ‎20. （本小题12分）‎ ‎ 已知右焦点为的椭圆与直线相交于、两点，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）为坐标原点，，，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.‎ ‎21. （本小题12分）‎ 已知函数，．‎ ‎（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；‎ ‎（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，‎ 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积.‎ ‎23.选修4－5：不等式选讲 ‎（1）设函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）已知正数满足，求的最小值.‎ ‎2017届高三师大附中、临川一中联考 数学理科试题参考答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D A C B A B D B C A D 二、填空题：‎ ‎13. 14. 15. 16. ①④ ‎ ‎17.试题解析：‎ ‎…………（3分）‎ ‎（1）最小正周期：， ………………………………（4分）‎ ‎ 由得： ‎ 所以的单调递增区间为：; …………………………（6分）‎ ‎（2）由可得：所以, ……（8分）‎ 又因为成等差数列，所以， ‎ 而 ……………………（10分）‎ ‎， . ………………（12分）‎ ‎18. 试题解析:‎ ‎（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件，则………………（4分）‎ 所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为 ‎……………………（5分）‎ ‎（2）的可能取值为0，10，20，30， ………………………………（6分）‎ 则 ………………………………………（7分）‎ ‎………………………………（8分）‎ ‎ …………………………（9分）‎ ‎ …………………………（10分） ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 所以，的数学期望 ……………………（12分）‎ ‎19. 试题解析： （1）在图1中，取的中点，连接交于，则，‎ 在图2中，取的中点，连接，，因为，‎ 所以，且，…………………………………………………………（2分）‎ 在中，由余弦定理有，………………（3分）‎ 所以，所以．…………………………………………（4分）‎ 又，所以平面，‎ 又平面，所以平面平面 …………………………………………（6分）‎ ‎（2）因为平面，且，故可如图建立空间直角坐标系，则 ‎，‎ ‎，………………………………………………（8分）‎ 设平面的法向量为，则由得；……………………（10分）‎ 同理可求得平面的法向量为，…………………………………………（11分）‎ 故所求角的余弦值.……………………………………（12分）‎ ‎20. 试题解析：‎ ‎（1）设，，则 ，…………………………（1分）‎ ‎，即，①…………………………（2分）‎ ‎，，即，②…………………………（3分）‎ 由①②得，‎ 又，，…………………………（4分）‎ 椭圆的方程为．…………………………（5分）‎ ‎（2）设直线方程为：，‎ 由得，‎ 为重心，，…………………………（7分）‎ 点在椭圆上，故有，‎ 可得，………………………………………………………………………………（8分）‎ 而，‎ 点到直线的距离（是原点到距离的3倍得到），……………………（9分）‎ ‎，…………………（10分）‎ 当直线斜率不存在时，，，，‎ 的面积为定值．…………………………………………………………………………（12分）‎ ‎21. 试题解析：‎ ‎（1）由，得，‎ 由题意，，所以． ………………………………（1分）‎ ‎（2），‎ 因为对任意两个不等的正数，都有，‎ 设，则，即恒成立，‎ 问题等价于函数，即在为增函数．……（3分）‎ 所以在上恒成立，即在上恒成立，‎ 所以，即实数的取值范围是．……………………………（5分）‎ ‎（3）不等式等价于，‎ 整理得．‎ 设，由题意知，在上存在一点，使得．………（6分）‎ 由．‎ 因为，所以，即令，得．………………………………（7分）‎ ‎① 当，即时，在上单调递增，‎ 只需，解得． ………………………………………………（8分）‎ ‎② 当，即时，在处取最小值．‎ 令，即，可得．‎ 考查式子，‎ 因为，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．……………（10分）‎ ‎③ 当，即时，在上单调递减，‎ 只需，解得．‎ 综上所述，实数的取值范围是． …………………………（12分）‎ ‎22. 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）曲线化为普通方程为：,………………………（2分）‎ 由，得，……………………（4分）‎ 所以直线的直角坐标方程为.……………………………………（5分）‎ ‎（2）直线的参数方程为（为参数），……………………（8分）‎ 代入化简得：，…………………………（9分）‎ 设两点所对应的参数分别为，则， ‎ ‎∴. …………………………………………（10分）‎ ‎（其它方法酌情给分）‎ ‎23.(1) ……………………（2分）‎ ‎∵原命题等价于, ……………………………………………………（3分）‎ 所以,. ………………………………………………（5分）‎ ‎ （2）由于，所以 ‎……………………………（8分）‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ ‎∴的最小值为. …………………………………………（10分）‎