江西省赣州市宁师中学2019-2020学年高二12月月考数学（理）试卷

江西省赣州市宁师中学2019-2020学年高二12月月考数学（理）试卷

数学试卷 一．选择题 ‎1.命题“，使”的否定是（ ）‎ A．，使 B．，使 ‎ C．，使 D．，使 ‎2.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：‎ ‎321 421 292 925 274 632 802 478 598 663 ‎ ‎531 297 396 021 406 318 235 113 507 965‎ 据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率为（ ）‎ A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.45‎ 3. ‎《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如果所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输入的的值为0，则输出的的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.如图所示为底面积为2的某棱锥的三视图，则该棱锥的表面积为（ ）‎ A. ‎ B.‎ C. ‎ D.‎ ‎5.有两条不同的直线与两个不同的平面，下列结论中正确的是（ ）‎ ‎6.在边长为的菱形中，，则在方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 则该三棱锥的外接球表面积是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎8.已知定义在上的函数，若是奇函数， 是偶函数，当时，，则（ ）‎ A. B. ‎ C.0 D.‎ ‎9.如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为( 　)‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知正项等比数列满足 ，若存在两项，，使得，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.将函 .的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则函数在上的最小值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12．已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.或 二．填空题 ‎13．有下列几个命题：①若，则；②“若，则互为相反数”的否命题“；③“若则”的逆命题；④“若，则互为倒数”的逆否命题. 其中真命题的序号__________.‎ ‎14.已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为__________‎ ‎15.住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4：20-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．‎ ‎16．在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点 与不重合），则下列结论正确的是__________‎ ‎①存在点，使得平面平面；‎ ‎②存在点，使得平面平面；‎ ‎③的面积可能等于；‎ ‎④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得 三．解答题 ‎17.设命题实数满足，命题实数满足，其中．‎ ‎（I）若且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（II）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎18.已知数列，，，.‎ ‎（1）求证：是等比数列；‎ ‎（2）设（），求数列的前项和 ‎19．越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表周数 周数x ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1.‎ 正常值y ‎55‎ ‎63‎ ‎72‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎99‎ 其中，，，‎ ‎（1）作出散点图；‎ ‎（2）根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回方程（精确到0.01）‎ ‎（3）根据经验观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及以上为重度焦虑。若为中度焦虑及以上，则要进行心理疏导。若一个学生在距高考第二周时观测值为103，则该学生是否需要进行心理疏导？‎ ‎20.将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，，‎ ‎，现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如图乙 ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：为线段中点；‎ ‎（3）求二面角的大小的正弦值 ‎21.某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，，，分成5组，制成如图所示频率分直方图．‎ ‎（1）求图中x的值；‎ ‎（2）求这组数据的平均数和中位数；‎ ‎（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．‎ ‎22．已知向量，，记函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且、、成等差数列，，求的面积S的值．‎ 数学试卷 一．选择题 ‎1-5. BCCAB 6-10 DBADC 11-12 DD 二．填空题 ‎ 13. ‎ ②④ 14.‎ ‎15. ‎ ‎16. ①②③④‎ ‎16.解析①如图 当是中点时，可知也是中点且，，，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故正确；‎ ‎②如图 取靠近的一个三等分点记为，记，，因为，所以，所以为靠近的一个三等分点，则为中点，又为中点，所以，且，，，所以平面平面，且平面，所以平面，故正确；‎ ‎③如图 作，在中根据等面积得：，根据对称性可知：，又，所以是等腰三角形，则，故正确；‎ ‎④如图 设，在平面内的正投影为，在平面内的正投影为，所以，‎ ‎，当时，解得：，故正确.‎ 故答案为： ①②③④‎ 三.解答题 ‎17.【答案】（I） ‎ ‎（II）‎ ‎（I） 若时，命题命题 ............2分 要使为真，则 ............................................4分 故实数的取值范围：得解................................5分 ‎（II）命题命题.............................7分 要使是的充分不必要条件，则 解得...9分 ‎ 故实数的取值范围是........................................10分 ‎18.（1）见解析（2）‎ ‎（1）根据等比数列的定义进行证明．（2）根据（1）以及，在利用分组求和的方法即可求处数列的和．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，，...........3分 ‎ ......................................................................4分 所以，是首项为2、公比为2的等比数列...........6分 ‎（2）由（1）得：，，.......................8分 ‎ ..........................................................10分 数列的前项和为.........12分 ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的定义的应用以及利用分组求和的方法求数列的前n项和．考查学生的运算能力．‎ ‎19.(1) 散点图如下:‎ ‎.......4分 ‎(2)因为, ...6分 ‎ ,, ....8 分 所以所求回归方程为:...........................................9分 ‎(3)因为,为中度焦虑,所以该学生需要进行心理疏导....................................................................................................12分 ‎20.（1）见解析（2）见解析（3） ‎ ‎(1)证明：由已知D在平面ABC上的射影 O恰好在AB上, ∴DO⊥平面ABC，........1分 ‎∴AO是AD在平面ABC上的射影．.........2分 ‎ 又∵BC⊥AB，∴BC⊥AD．........................3分 ‎ ‎(2)解：由(1)得AD⊥BC，又AD⊥DC 又BC∩DC=C，∴AD⊥平面BDC ‎ 又∵ ，∴AD⊥BD， ..........5分 ‎ 在RT⊿ABD中，由已知AC = 2，得，AD = 1，∴BD = 1, ∴BD = AD,‎ ‎∴O是AB的中点. ..........................7分 ‎ ‎ (3)解：过D作DE⊥AC于E，连结OE，‎ ‎∵DO⊥平面ABC，∴OE是DE在平面ABC上的射影．∴OE⊥AC.‎ ‎∴∠DEO是二面角D－AC－B的平面角， ...............9分 .‎ 且 即二面角D－AC－B的正弦值为．.....................12分 21. ‎（1）由，‎ 解得． ................................................................................3分 ‎（2）这组数据的平均数为． ..............................5分 中位数设为，则，解得 .......7分 ‎（3）满意度评分值在内有人，‎ 其中男生3人，女生2人．记为 ....................9分 记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，“恰有2名男生”为事件A 通过列举知总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个，‎ 利用古典概型概率公式可知. ........................12分 ‎22.（1）（2）‎ ‎（1）由题可得，所以不等式可化为：，进而得出答案．‎ ‎（2））由（1）知：，解得，由正、余弦定理及得：，从而得出，再求出的面积S的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得：‎ ‎................................................................................................................1分 ‎........................................................................................................3分 ‎∴不等式可化为：，∴，‎ 即：，..............................................5分 ‎∴不等式的解集为：.........................................................................6分 ‎（2）由（1）知：，∴，‎ 又∵，∴，∴，∴...........8分 因为、、成等差数列，所以 再由正、余弦定理及得：...............10分 ‎∴，∴‎ 所以是正三角形，故..........................................12分