数学卷·2018届广东省清远三中高二下学期第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届广东省清远三中高二下学期第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年广东省清远三中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（2，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，∞） D．（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）‎ ‎2．已知点M是抛物线x2=4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=1上一动点，则|MA|+|MF|的最小值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎3．已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为23°的直线l交椭圆于A，B两点，则的△AF1B的周长是（　　）‎ A．20 B．16 C．8 D．6‎ ‎4．已知定点F1（﹣2，0）与F2（2，0），动点M满足|MF1|﹣|MF2|=4，则点M的轨迹方程是（　　）‎ A． B．‎ C．y=0（|x|≥2） D．y=0（x≥2）‎ ‎5．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎6．抛物线的准线方程是，则其标准方程是（　　）‎ A．y2=2x B．x2=﹣2y C．y2=﹣x D．x2=﹣y ‎7．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎8．设Sn是等差数列{an}的前项和，若S4≠0，且S8=3S4，设S12=λS8，则λ=（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎9．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若2（a2+c2）﹣ac=2b2，则sinB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．方程表示的曲线是（　　）‎ A．一条直线和一个圆 B．一条直线和半个圆 C．两条射线和一个圆 D．一条线段和半个圆 ‎11．命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（　　）‎ A．∀x＞0，x2+x≤0 B．∀x≤0，x2+x＞0‎ C．∃x0＞0，x02+x0≤0 D．∃x0≤0，x02+x0＞0‎ ‎12．已知△ABC中，a=1，，A=30°，则B等于（　　）‎ A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°‎ ‎　‎ 二、填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．若命题“∃x0∈R，ax02﹣ax0﹣2≥0”是假命题，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎14．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且函数f（x）=x2+ax•f′（1）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，则a=　　．‎ ‎15．已知抛物线C1：y2=4x的焦点到双曲线C2： =1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离为，则双曲线C2的离心率为　　．‎ ‎16．已知是椭圆C： =1上的任一点，Q是与椭圆C共焦点且实轴长为1的双曲线上的任一点，已知焦点F1、F2，从焦点F1引∠F1QF2的角平分线的垂线，垂足为M，则P，M两点间的最大距离为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知（+）n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求n的值；‎ ‎（Ⅱ）此展开式中是否有常数项？为什么？‎ ‎18．已知△ABC中，A（1，3），BC边所在的直线方程为y﹣1=0，AB边上的中线所在的直线方程为x﹣3y+4=0．‎ ‎（Ⅰ）求B，C点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求△ABC的外接圆方程．‎ ‎19．某网站对“爱飞客”飞行大会的日关注量x（万人）与日点赞量y（万次）进行了统计对比，得到表格如下：‎ x ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ y ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 由散点图象知，可以用回归直线方程=x+来近似刻画它们之间的关系．‎ ‎（Ⅰ）求出y关于x的回归直线方程，并预测日关注量为10万人时的日点赞量；‎ ‎（Ⅱ）一个三口之家参加“爱飞客”亲子游戏，游戏规定：三人依次从装有3个白球和2个红球的箱子中不放回地各摸出一个球，大人摸出每个红球得奖金10元，小孩摸出1个红球得奖金50元．求该三口之家所得奖金总额不低于50元的概率．‎ 参考公式：b=； 参考数据： xi2=200， xiyi=112．‎ ‎20．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4．‎ ‎（Ⅰ） 若直线l过点A（2，3）且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ） 若直线l过点B（1，0）与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．‎ ‎21．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．‎ ‎（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；‎ 优分 非优分 总计 男生 女生 总计 ‎50‎ ‎（ii）据列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“学科成绩与性别有关”？‎ ‎（Ⅱ）将频率视作概率，从高二年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的分布列与数学期望．‎ 参考公式：K2=（n=a+b+c+d）．‎ 参考数据：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎22．已知长为2的线段A B两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点P（x，y）是曲线C上的动点，求3x﹣4y的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）已知定点Q（0，），探究是否存在定点T（0，t）（t）和常数λ满足：对曲线C上任意一点S，都有|ST|=λ|SQ|成立？若存在，求出t和λ；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省清远三中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（2，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，∞） D．（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】方程表示焦点在x轴上的椭圆，可得m2＞m+2＞0，解出即可得出．‎ ‎【解答】解：∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，‎ ‎∴m2＞m+2＞0，‎ 解得m＞2或﹣2＜m＜﹣1．‎ ‎∴m的取值范围是（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．已知点M是抛物线x2=4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=1上一动点，则|MA|+|MF|的最小值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求出最小值．‎ ‎【解答】解：如图所示，利用抛物线的定义知：MP=MF 当M、A、P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小 即：CM⊥x轴 CM所在的直线方程为：x=1与x2=4y建立方程组解得：‎ M（1，）‎ ‎|CM|=4﹣，‎ 点M到圆C的最小距离为：|CM|﹣|AC|=3‎ 抛物线的准线方程：y=﹣1‎ 则|MA|+|MF|的值最小值为3+1=4．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为23°的直线l交椭圆于A，B两点，则的△AF1B的周长是（　　）‎ A．20 B．16 C．8 D．6‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆的定义及其标准方程即可得出．‎ ‎【解答】解：∵椭圆，可得a=4．‎ 过右焦点F2作倾斜角为23°的直线l交椭圆于A，B两点，‎ 则的△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．已知定点F1（﹣2，0）与F2（2，0），动点M满足|MF1|﹣|MF2|=4，则点M的轨迹方程是（　　）‎ A． B．‎ C．y=0（|x|≥2） D．y=0（x≥2）‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】设出M的坐标，利用两点间的距离公式和题设等式建立方程，平方后化简整理求得y=0，同时|MF1|＞|MF2|，可推断出 动点M的轨迹，是一条射线，起点是（2，0），方向同x轴正方向．‎ ‎【解答】解：假设M（x，y），根据|MF1|﹣|MF2|=2，可以得到：﹣=2，‎ 两边平方，化简可以得到y=0，又因为|F1F2|=2，且|MF1|＞|MF2|，‎ 所以：动点M的轨迹，是一条射线，起点是（2，0），方向同x轴正方向． ‎ 故选D ‎　‎ ‎5．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【分析】根据题意，易得k+，2﹣的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k﹣1）+2k﹣2×2=0，解可得k的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），‎ ‎2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）．‎ ‎∵两向量垂直，‎ ‎∴3（k﹣1）+2k﹣2×2=0．‎ ‎∴k=，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．抛物线的准线方程是，则其标准方程是（　　）‎ A．y2=2x B．x2=﹣2y C．y2=﹣x D．x2=﹣y ‎【考点】抛物线的标准方程．‎ ‎【分析】根据准线方程，可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，再设抛物线的标准形式为x2=﹣2py，根据准线方程求出p的值，代入即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，‎ 设抛物线标准方程为：x2=﹣2py（p＞0），‎ ‎∵抛物线的准线方程为y=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴p=1，‎ ‎∴抛物线的标准方程为：x2=﹣2y．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，‎ 则圆心到直线距离d=，|AB|=2，‎ 若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．‎ 若△OAB的面积为，则S==×2×==，‎ 即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，‎ 则（|k|﹣1）2=0，‎ 即|k|=1，‎ 解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．‎ 故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．设Sn是等差数列{an}的前项和，若S4≠0，且S8=3S4，设S12=λS8，则λ=（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等差数列的性质得：S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列，由此能求出λ的值．‎ ‎【解答】解：∵Sn是等差数列{an}的前项和，若S4≠0，且S8=3S4，S12=λS8，‎ ‎∴由等差数列的性质得：S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列，‎ ‎∴2（S8﹣S4）=S4+（S12﹣S8），‎ ‎∴2（3S4﹣S4）=S4+（λ•3S4﹣3S4），‎ 解得λ=2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若2（a2+c2）﹣ac=2b2，则sinB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】利用余弦定理，结合条件，两边除以ac，求出cosB，即可求出sinB的值．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得：a2+c2﹣b2=2accosB，‎ 代入已知等式得：2accosB=ac，即cosB=，‎ ‎∴sinB==，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．方程表示的曲线是（　　）‎ A．一条直线和一个圆 B．一条直线和半个圆 C．两条射线和一个圆 D．一条线段和半个圆 ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】将方程等价变形，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意方程可化为=0或x+y﹣2=0（x2+y2﹣9≥0）‎ ‎∴方程表示的曲线是两条射线和一个圆．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（　　）‎ A．∀x＞0，x2+x≤0 B．∀x≤0，x2+x＞0‎ C．∃x0＞0，x02+x0≤0 D．∃x0≤0，x02+x0＞0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．‎ ‎【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x＞0“的否定是：∃x0＞0，x02+x0≤0，‎ 故选：C ‎　‎ ‎12．已知△ABC中，a=1，，A=30°，则B等于（　　）‎ A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据题意和正弦定理求出sinB的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B．‎ ‎【解答】解：由题意得，△ABC中，a=1，，A=30°，‎ 由得，sinB===，‎ 又b＞a，0°＜B＜180°，‎ 则B=60°或B=120°，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．若命题“∃x0∈R，ax02﹣ax0﹣2≥0”是假命题，则实数a的取值范围是　（﹣8，0]　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】命题“∃x0∈R，ax02﹣ax0﹣2≥0”是假命题，则“∀x0∈R，ax02﹣ax0﹣2＜0”是真命题，即ax02﹣ax0﹣2＜0恒成立 ‎【解答】解：命题“∃x0∈R，ax02﹣ax0﹣2≥0”是假命题，则“∀x0∈R，ax02﹣ax0﹣2＜0”是真命题，‎ 即ax02﹣ax0﹣2＜0恒成立，当a=0时，成立；当a≠0时， ⇒﹣8＜a＜0‎ 综上实数a的取值范围是（﹣8，0]‎ 故答案为：（﹣8，0]‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且函数f（x）=x2+ax•f′（1）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，则a=　2　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出f（x）的导数，再令x=1，可得切线的斜率，由已知条件，可得a的方程，解方程可得a的值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x2+ax•f′（1）‎ 导数为f′（x）=2x+af′（1），‎ 可得f′（1）=2+af′（1），‎ 由图象在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，‎ 可得f′（1）=﹣2，‎ 即有﹣2=2﹣2a，‎ 解得a=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．已知抛物线C1：y2=4x的焦点到双曲线C2： =1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离为，则双曲线C2的离心率为　　．‎ ‎【考点】圆锥曲线的综合．‎ ‎【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），‎ 双曲线C2： =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为bx+ay=0，‎ 则焦点到渐近线的距离d=，‎ 即有b2=a2，‎ 则c2=a2，‎ 即有双曲线的离心率为：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知是椭圆C： =1上的任一点，Q是与椭圆C共焦点且实轴长为1的双曲线上的任一点，已知焦点F1、F2，从焦点F1引∠F1QF2的角平分线的垂线，垂足为M，则P，M两点间的最大距离为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】点F1关于∠F1QF2的角平分线QM的对称点N在直线F2Q上，故 ‎|F2N|=|QF2|+|QF1|=1，又OM是△F2F1N的中位线，故|OM|=，由此可以判断出点M的轨迹，进而可求P，M两点间的最大距离．‎ ‎【解答】解：如图，由椭圆C： =1，得F1（﹣1，0），F2（1，0）．‎ ‎∴双曲线的焦点坐标也为F1（﹣1，0），F2（1，0）．‎ 点F1关于∠F1QF2的角平分线QM的对称点N在直线F2PQ上，‎ 故|F2N|=|QF2|+|QF1|=1，‎ 又OM是△F2F1N的中位线，故|OM|=，‎ ‎∴点M的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，‎ ‎∴P是椭圆长轴的一个端点时，P，M两点间的距离最大，最大值为+2=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知（+）n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求n的值；‎ ‎（Ⅱ）此展开式中是否有常数项？为什么？‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先求得（+）n展开式中第二、三、四项的二项式系数，再根据这3个系数成等差数列，求得n的值．‎ ‎（Ⅱ）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，得到r的值不是非负整数，可得展开式无常数项．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由于（+）n展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为，，，‎ 由题意可得：2=+，解得n=7．‎ ‎（Ⅱ）展开式的通项公式为，‎ 令，解得（舍去），故展开式无常数项．‎ ‎　‎ ‎18．已知△ABC中，A（1，3），BC边所在的直线方程为y﹣1=0，AB边上的中线所在的直线方程为x﹣3y+4=0．‎ ‎（Ⅰ）求B，C点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求△ABC的外接圆方程．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用解方程组的方法，求B，C点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）法一：求出圆心与半径；法二：，利用圆的一般方程，即可求△ABC的外接圆方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由解得C（﹣1，1）； …‎ 设B（x0，1），则AB的中点，由点D在AB边的中线上得，解得B（3，1）…‎ ‎（Ⅱ）法一：易知AB⊥AC，故△ABC的外接圆的直径为BC，圆心为BC的中点（1，1），‎ ‎…‎ 又半径，…‎ ‎∴所求外接圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4…‎ 法二：设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0则将A（1，3），B（1，﹣1），C（﹣1，0）三点 的坐标代入可得…‎ 解得D=E=F=﹣2，…‎ 即△ABC的外接圆方程为x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．…‎ ‎　‎ ‎19．某网站对“爱飞客”飞行大会的日关注量x（万人）与日点赞量y（万次）进行了统计对比，得到表格如下：‎ x ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ y ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 由散点图象知，可以用回归直线方程=x+来近似刻画它们之间的关系．‎ ‎（Ⅰ）求出y关于x的回归直线方程，并预测日关注量为10万人时的日点赞量；‎ ‎（Ⅱ）一个三口之家参加“爱飞客”亲子游戏，游戏规定：三人依次从装有3个白球和2个红球的箱子中不放回地各摸出一个球，大人摸出每个红球得奖金10元，小孩摸出1个红球得奖金50元．求该三口之家所得奖金总额不低于50元的概率．‎ 参考公式：b=； 参考数据： xi2=200， xiyi=112．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）结合所给的数据求出和的值，求出回归方程即可；（Ⅱ）分别求出P（ξ=50）和P（ξ=60）的概率，从而求出满足条件的答案即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）由=6， =3.4，‎ 得： =0.5， =0.4，‎ ‎∴回归直线方程为y=0.5x+0.4，‎ 当x=10时，，‎ 即日关注量为10万人时的日点赞量5.4万次．‎ ‎（Ⅱ）设奖金总额为ξ，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎∴奖金总额不低于50元的概率为．‎ ‎　‎ ‎20．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4．‎ ‎（Ⅰ） 若直线l过点A（2，3）且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；‎ ‎（Ⅱ） 若直线l过点B（1，0）与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．‎ ‎【考点】圆方程的综合应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出圆C的圆心坐标为C（3，4），半径R=2，推出圆心C到直线l的距离d=1，（1）当直线l的斜率不存在时，l：x=2，判断是否满足题意；（2）当直线l的斜率存在时，设l：y﹣3=k（x﹣2），利用点到直线的距离公式求解即可．‎ ‎（Ⅱ）法一：设直线l方程：y=k（x﹣1），利用点到直线的距离公式以及三角形面积公式，通过二次函数的最值求解即可．‎ 法二：设圆心C到直线l的距离为d，表示三角形的面积，利用基本不等式求解即可．‎ 法三：S△CPQ=R•Rsin∠PCQ，利用三角函数的最值求解，圆心C到直线l的距离，然后转化求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）圆C的圆心坐标为C（3，4），半径R=2，‎ ‎∵直线l被圆E截得的弦长为2，∴圆心C到直线l的距离d=1 …‎ ‎（1）当直线l的斜率不存在时，l：x=2，显然满足d=1； …‎ ‎（2）当直线l的斜率存在时，设l：y﹣3=k（x﹣2），即kx﹣y+3﹣2k=0，‎ 由圆心C到直线l的距离d=1得：，解得k=0，故l：y=3； …‎ 综上所述，直线l的方程为x=2或y=3…‎ ‎（Ⅱ）法一：∵直线与圆相交，∴l的斜率一定存在且不为0，设直线l方程：y=k（x﹣1），‎ 即kx﹣y﹣k=0，则圆心C到直线l的距离为d=，…‎ 又∵△CPQ的面积S==d==…‎ ‎∴当时，S取最大值2．由d==，得k=1或k=7，‎ ‎∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0或7x﹣y﹣7=0．…‎ 法二：设圆心C到直线l的距离为d，‎ 则（取等号时）‎ 以下同法一．‎ 法三：‎ 取“=”时∠PCQ=90°，△CPQ为等腰直角三角形，则圆心C到直线l的距离，‎ 以下同法一．‎ ‎　‎ ‎21．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．‎ ‎（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；‎ 优分 非优分 总计 男生 女生 总计 ‎50‎ ‎（ii）据列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“学科成绩与性别有关”？‎ ‎（Ⅱ）将频率视作概率，从高二年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的分布列与数学期望．‎ 参考公式：K2=（n=a+b+c+d）．‎ 参考数据：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【考点】独立性检验．‎ ‎【分析】（Ⅰ）列出2×2列联表，计算k2的值，判断即可；（Ⅱ）根据优分人数X服从二项分布，求出E（x）即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：‎ 优分 非优分 总计 男生 ‎9‎ ‎21‎ ‎30‎ 女生 ‎11‎ ‎9‎ ‎20‎ 总计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ K2的观测值：，‎ 所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关； ‎ ‎（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，‎ 因此可将男女生成绩的优分频率视作概率；‎ 从高二年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，‎ 优分人数X服从二项分布，‎ P（X=k）=‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ ‎3‎ p X的分布列为：数学期望．‎ ‎　‎ ‎22．已知长为2的线段A B两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点P（x，y）是曲线C上的动点，求3x﹣4y的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）已知定点Q（0，），探究是否存在定点T（0，t）（t）和常数λ满足：对曲线C上任意一点S，都有|ST|=λ|SQ|成立？若存在，求出t和λ；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）法一：设A（m，0），B（0，n），M（x，y），利用|AB|2=m2+n2，以及点M为线段AB的中点求解点M的轨迹曲线C的方程．‎ 法二：设O为坐标原点，则，判断点M的轨迹曲线C是以原点O为圆心，半径等于1的圆，写出方程即可．‎ ‎（Ⅱ）法一；通过x2+y2=1，令，转化三角函数求解最值即可．‎ 法二：设t=3x﹣4y，利用直线3x﹣4y﹣t=0与圆C：x2+y2=1有公共点，列出不等式求解即可．‎ ‎（Ⅲ）假设存在满足题意的t和λ，则设S（x，y），由|ST|=λ|SQ|得：，化简代入x2+y2=1，推出，推出，得到结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）法一：设A（m，0），B（0，n），M（x，y），则|AB|2=m2+n2①‎ ‎∵点M为线段AB的中点∴m=2x，n=2y；代入①式得4x2+4y2=4，‎ 即点M的轨迹曲线C的方程为x2+y2=1． …‎ 法二：设O为坐标原点，则，故点M的轨迹曲线C是以原点O为圆心，‎ 半径等于1的圆，其方程为x2+y2=1． …‎ ‎（Ⅱ）法一；∵x2+y2=1，∴可令，∴3x﹣4y=3cosθ﹣4sinθ=5sin（θ+φ）∈[﹣5，5]．…‎ 法二：设t=3x﹣4y，则由题直线3x﹣4y﹣t=0与圆C：x2+y2=1有公共点，‎ ‎∴，解得t∈[﹣5，5]…‎ ‎（Ⅲ）假设存在满足题意的t和λ，则设S（x，y），由|ST|=λ|SQ|得：，展开整理得：，又x2+y2=1，故有，…‎ 由题意此式对满足x2+y2=1的任意的y都成立，‎ ‎∴且，解得：（∵）‎ 所以存在满足题意要求．…‎