内蒙古呼和浩特市土默特左旗第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

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内蒙古呼和浩特市土默特左旗第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

‎2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 一、选择题(每小题5分)‎ ‎1.已知全集 ,集合 ,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用补集的定义求解即可.‎ ‎【详解】全集 ,集合 ,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的补集运算,属于基础题.‎ ‎2.已知函数,则的值是( )‎ A. -24 B. ‎-15 ‎C. -6 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵函数,‎ ‎∴,‎ 故选C ‎3.下列函数中,在区间内是增函数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数解析式,即可直接判断函数在区间上的单调性.‎ ‎【详解】对于A, 在区间上单调递减,所以A错误;‎ 对于B, 的对称轴为,开口向上,所以在区间上单调递增,所以B正确;‎ 对于C, 在区间上单调递减,所以C错误;‎ 对于D, 在区间上单调递减,所以D错误.‎ 综上可知,正确为B 故选:B ‎【点睛】本题考查了函数在某区间上的单调性的判断,根据解析式可直接判断,属于基础题.‎ ‎4.已知幂函数过点,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设幂函数,∵过点,∴ ,‎ ‎∴ ,故选B.‎ ‎5.已知,为两条不同的直线,,,为三个不同的平面,则下列命题中正确的是( )‎ A. 若,,则 B. 若,,则 C. 若,,,则 D. 若,,则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线与平面、平面与平面的位置关系,即可判断出结果.‎ ‎【详解】对于选项A,,,则与可以平行,可以相交,可以异面,故A错误;‎ 对于选项B,由线面垂直的性质定理知,,故B正确;‎ 对于选项C,可以平行,也可以在内,故C错;‎ 对于选项D,与可以相交,D错 综上可知,B为正确选项 故选:B ‎【点睛】本题考查了空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判定,尤其注意一些特殊位置关系,属于基础题.‎ ‎6.把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点三棱锥体积最大时,直线和平面所成的角的大小为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当平面与平面垂直时,棱锥的高最大,体积最大,解直角三角形可得结果.‎ ‎【详解】‎ 当平面与平面垂直时,棱锥的高最大,‎ 由于底面积为定值,所以其体积最大,‎ 设是中点,连接,‎ 由面面垂直的性质可得平面,‎ 是直线和平面所成的角,‎ 因为,‎ 所以,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间垂直关系的转化以及直线与平面所成的角,属于基础题.‎ ‎7. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为(  )‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分别画出函数y=ln x(x>0)和y=|x-2|(x>0)的图像,可得2个交点,故f(x)在定义域中零点个数为2.‎ ‎8.已知函数,且,则( )‎ A. -8 B. ‎3 ‎C. -3 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式,可构造函数.利用奇函数的性质即可求得解.‎ ‎【详解】令,则,则有 又 所以为奇函数,所以有 所以 故选:D ‎【点睛】本题考查了奇函数的性质及简单应用,函数的求值,属于基础题.‎ ‎9.若函数且在上既是奇函数又是增函数,则的图象是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意先得到,,判断其单调性,进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为函数且在上是奇函数,所以 所以,,‎ 又因为函数在上是增函数,所以,‎ 所以,它的图象可以看作是由函数向左平移一个单位得到,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性以及函数图象变换,熟记函数性质即可,属于常考题型.‎ ‎10.正三棱柱的三视图如图所示,该正三棱柱的表面积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据正三棱柱的三视图,得出三棱柱的高已经底面三角形的高,求出底面三角形的面积与侧面积即可.‎ ‎【详解】根据几何体的三视图得该几何体是底面为正三角形,边长为2,高为1的正三棱柱,‎ 所以该三棱柱的表面积为S侧面积+S底面积=2××22+3×2×1=6+2.‎ 故答案为D ‎【点睛】(1)本题主要考查三视图还原几何体原图,考查几何体表面积的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 通过三视图找几何体原图的方法有三种:直接法、拼凑法和模型法.‎ ‎11.已知偶函数在区间上单调递增,则满足的的取值范围( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数的性质及在区间上单调递增,结合不等式即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】偶函数在区间上单调递增 则在区间上单调递减 若满足 则 化简可得 解不等式可得,即 故选:A ‎【点睛】本题考查了偶函数的性质及简单应用,根据函数单调性解不等式,属于基础题.‎ ‎12.已知正三棱柱的顶点都在球的球面上,,,则球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正三棱柱的结构特征,结合球的截面性质求得球的半径,即可得球的表面积.‎ ‎【详解】根据对称性,可得球心到正三棱柱的底面的距离为,球心在底面上的射影为底面的中心 则 由球的截面的性质可得 所以有 所以球的表面积为 故选:D ‎【点睛】本题考查了三棱柱与外接球的关系,外接球表面积的求法,属于基础题.‎ 二、填空题(每小题5分)‎ ‎13.已知点,点,则直线的斜率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两点间斜率公式,可直接求解.‎ ‎【详解】因为,‎ 则 ‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了两点间的斜率公式,属于基础题.‎ ‎14.一条直线经过点并且它的倾斜角等于直线的倾斜角的2倍,则这条直线的方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得直线的倾斜角,即可由倾斜角的2倍求得该直线的斜率,进而利用点斜式求得直线方程.‎ ‎【详解】设直线的倾斜角为,‎ 则 所以 ‎ 则该直线的倾斜角为 斜率为 由点斜式可得直线方程为 ‎ 化简可得 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角关系,点斜式求直线方程的方法,属于基础题.‎ ‎15.若,则实数a的取值范围是_______.‎ ‎【答案】(0,)∪(1,+∞)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对分类讨论,再解不等式即得解.‎ ‎【详解】当时,不等式为.‎ 当时,不等式为.‎ 综上所述,实数a的取值范围是(0,)∪(1,+∞)‎ 故答案为(0,)∪(1,+∞)‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16.如图:点P在正方体的面对角线上运动,则下列四个命题:‎ ‎①三棱锥的体积不变; ②∥面;③;‎ ‎④面面.其中正确的命题的序号是__________.‎ ‎【答案】. ① ② ④‎ ‎【解析】‎ 对于①,因为,从而平面,故上任意一点到平面的距离均相等,以为顶点,平面为底面,则三棱锥的体积不变,正确;对于②,连接容易证明且相等,由于①知:,平面平面,所以可得面,②正确;对于③,由于平面,若,则平面,,则为中点,与动点矛盾,错误;对于④,连接,由且,可得面,由面面垂直的判定知平面平面,④正确,故答案为①②④.‎ 三、解答题 ‎17.(1)已知,,求边的垂直平分线的方程.‎ ‎(2)求过点且在两坐标轴上的截距是互为相反数的直线的方程.‎ ‎【答案】(1) (2)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求得中点坐标,根据垂直的斜率关系可求得直线的斜率,进而利用点斜式求得直线方程,化简为一般式即可.‎ ‎(2)讨论截距是否为0:当截距为0时,可设正比例函数,代入点求解;当截距不为0时,设截距式,代入点坐标即可求得参数,进而得直线方程.‎ ‎【详解】(1)因为,‎ 则中点坐标为 根据垂直直线的斜率关系可得 所以由点斜式可得 化简得 ‎(2)当截距为0时,设直线方程为 代入可得 则 此时 当截距不为0时,设直线方程为 ‎ 代入可得 解得,即 化简可得 综上可知,直线方程为或 ‎【点睛】本题考查了点斜式方程的用法,截距相同时,注意讨论截距是否为0,属于基础题.‎ ‎18.(1)解方程:.‎ ‎(2)已知,且,求的值.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将方程化简后因式分解,即可解方程求解.‎ ‎(2)根据指数与对数的转化,可得,,进而利用换底公式即可求得的值.‎ ‎【详解】(1)‎ 即 所以 则(舍)或 ‎∴‎ ‎(2)已知 根据指数与对数的关系可得,‎ 利用换底公式可得 则,‎ 由题意 即 ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查了指数方程的解法,指数与对数的转化,对数的换底公式及求值应用,属于基础题.‎ ‎19.如图所示,在四棱锥中,底面是矩形,侧面底面.‎ ‎(1)求证:平面.‎ ‎(2)求证:平面平面.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据矩形的性质,由线面平行的判定即可证明平面.‎ ‎(2)根据矩形性质,易证平面,即可证明平面平面.‎ ‎【详解】(1)四边形是矩形 ‎∴‎ ‎∵平面,平面 ‎∴平面 ‎(2)∵四边形是矩形 ‎∴‎ 又∵平面平面,平面平面 ‎∴平面 ‎∵平面 ‎∴平面平面 ‎【点睛】本题考查了直线与平面平行、平面与平面垂直的判定,依据条件找出直线与直线、直线与平面的位置关系即可,属于基础题.‎ ‎20.某化工厂生产的一种溶液,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少.(已知:,)‎ ‎(1)求杂质含量与过滤次数的函数关系式;‎ ‎(2)按市场要求,杂质含量不能超过0.1%.问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?‎ ‎【答案】(1);(2)至少要过滤8次才能达到市场要求.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)过滤一次时,;过滤两次时,,…,所以过滤x次时,.(2)依据题意得到,然后解指数函数不等式,两边取对数即可.‎ 试题解析:(1)‎ ‎(2) 设过滤次,则,‎ 即,∴.‎ 又∵,∴.‎ 即至少要过滤8次才能达到市场要求.‎ 考点:求函数解析式;‚解指数不等式,实为对数定义.‎ ‎21.在如图所示的几何体中,四边形为正方形,四边形为等腰梯形,,,,.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求四面体的体积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意,结合勾股定理的逆定理,易证及,即可证明平面.‎ ‎(2)根据线段的数量关系,可先求得的面积,即可求得四面体的体积.‎ ‎【详解】(1)证明:在中,因为,,‎ 所以.‎ 又因为,‎ 所以平面 ‎(2)因为平面 所以 因为,‎ 所以平面 在等腰梯形中,可得 所以.‎ 所以的面积为 所以四面体的体积为 ‎【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定,三棱锥体积的求法,属于基础题.‎ ‎22.已知定义域为的函数是奇函数.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)判断函数的单调性,并用定义证明;‎ ‎(3)当时,恒成立,求实数取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) 减函数,证明见解析;(3) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用奇函数的性质令,求解即可.‎ ‎(2)利用函数的单调性的定义证明即可.‎ ‎(3)利用函数是奇函数以及函数单调性转化不等式为代数形式的不等式,求解即可.‎ ‎【详解】(1)∵在定义域上是奇函数,‎ 所以,即,∴,‎ 经检验,当时,原函数是奇函数.‎ ‎(2)在上是减函数,证明如下:‎ 由(1)知,‎ 任取,设,‎ 则,‎ ‎∵函数在上是增函数,且,‎ ‎∴,又,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴函数在上是减函数.‎ ‎(3)因是奇函数,从而不等式等价于,‎ 由(2)知在上是减函数,由上式推得,‎ 即对任意,有恒成立,‎ 由,‎ 令,,则可设,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用,考查函数与方程的思想,是中档题.‎
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