内蒙古呼和浩特市土默特左旗第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

内蒙古呼和浩特市土默特左旗第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

‎2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 一、选择题（每小题5分）‎ ‎1.已知全集 ，集合 ，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用补集的定义求解即可.‎ ‎【详解】全集 ，集合 ，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题.‎ ‎2.已知函数，则的值是（ ）‎ A. -24 B. ‎-15 ‎C. -6 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵函数，‎ ‎∴，‎ 故选C ‎3.下列函数中，在区间内是增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数解析式,即可直接判断函数在区间上的单调性.‎ ‎【详解】对于A, 在区间上单调递减,所以A错误;‎ 对于B, 的对称轴为,开口向上,所以在区间上单调递增,所以B正确;‎ 对于C, 在区间上单调递减,所以C错误;‎ 对于D, 在区间上单调递减,所以D错误.‎ 综上可知,正确为B 故选:B ‎【点睛】本题考查了函数在某区间上的单调性的判断,根据解析式可直接判断,属于基础题.‎ ‎4.已知幂函数过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设幂函数，∵过点，∴ ，‎ ‎∴ ，故选B.‎ ‎5.已知，为两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线与平面、平面与平面的位置关系,即可判断出结果.‎ ‎【详解】对于选项A,,,则与可以平行,可以相交,可以异面,故A错误;‎ 对于选项B,由线面垂直的性质定理知,,故B正确;‎ 对于选项C,可以平行,也可以在内,故C错;‎ 对于选项D,与可以相交,D错 综上可知,B为正确选项 故选:B ‎【点睛】本题考查了空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判定,尤其注意一些特殊位置关系,属于基础题.‎ ‎6.把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当平面与平面垂直时，棱锥的高最大，体积最大，解直角三角形可得结果.‎ ‎【详解】‎ 当平面与平面垂直时，棱锥的高最大，‎ 由于底面积为定值，所以其体积最大，‎ 设是中点，连接，‎ 由面面垂直的性质可得平面，‎ 是直线和平面所成的角，‎ 因为，‎ 所以，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间垂直关系的转化以及直线与平面所成的角，属于基础题.‎ ‎7. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为(　　)‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.‎ ‎8.已知函数，且，则（ ）‎ A. -8 B. ‎3 ‎C. -3 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式,可构造函数.利用奇函数的性质即可求得解.‎ ‎【详解】令,则,则有 又 所以为奇函数,所以有 所以 故选:D ‎【点睛】本题考查了奇函数的性质及简单应用,函数的求值,属于基础题.‎ ‎9.若函数且在上既是奇函数又是增函数，则的图象是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意先得到，，判断其单调性，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为函数且在上是奇函数，所以 所以，，‎ 又因为函数在上是增函数，所以，‎ 所以，它的图象可以看作是由函数向左平移一个单位得到，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性以及函数图象变换，熟记函数性质即可，属于常考题型.‎ ‎10.正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据正三棱柱的三视图，得出三棱柱的高已经底面三角形的高，求出底面三角形的面积与侧面积即可．‎ ‎【详解】根据几何体的三视图得该几何体是底面为正三角形，边长为2，高为1的正三棱柱，‎ 所以该三棱柱的表面积为S侧面积+S底面积=2××22+3×2×1=6+2．‎ 故答案为D ‎【点睛】（1）本题主要考查三视图还原几何体原图，考查几何体表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 通过三视图找几何体原图的方法有三种：直接法、拼凑法和模型法.‎ ‎11.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数的性质及在区间上单调递增,结合不等式即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】偶函数在区间上单调递增 则在区间上单调递减 若满足 则 化简可得 解不等式可得,即 故选:A ‎【点睛】本题考查了偶函数的性质及简单应用,根据函数单调性解不等式,属于基础题.‎ ‎12.已知正三棱柱的顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正三棱柱的结构特征,结合球的截面性质求得球的半径,即可得球的表面积.‎ ‎【详解】根据对称性,可得球心到正三棱柱的底面的距离为,球心在底面上的射影为底面的中心 则 由球的截面的性质可得 所以有 所以球的表面积为 故选:D ‎【点睛】本题考查了三棱柱与外接球的关系,外接球表面积的求法,属于基础题.‎ 二、填空题（每小题5分）‎ ‎13.已知点，点，则直线的斜率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两点间斜率公式,可直接求解.‎ ‎【详解】因为,‎ 则 ‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了两点间的斜率公式,属于基础题.‎ ‎14.一条直线经过点并且它的倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则这条直线的方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得直线的倾斜角,即可由倾斜角的2倍求得该直线的斜率,进而利用点斜式求得直线方程.‎ ‎【详解】设直线的倾斜角为,‎ 则 所以 ‎ 则该直线的倾斜角为 斜率为 由点斜式可得直线方程为 ‎ 化简可得 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角关系,点斜式求直线方程的方法,属于基础题.‎ ‎15.若，则实数a的取值范围是_______．‎ ‎【答案】（0，）∪（1，＋∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对分类讨论，再解不等式即得解.‎ ‎【详解】当时，不等式为.‎ 当时，不等式为.‎ 综上所述，实数a的取值范围是（0，）∪（1，＋∞）‎ 故答案为（0，）∪（1，＋∞）‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16.如图：点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题：‎ ‎①三棱锥的体积不变； ②∥面；③；‎ ‎④面面．其中正确的命题的序号是__________.‎ ‎【答案】. ① ② ④‎ ‎【解析】‎ 对于①，因为，从而平面，故上任意一点到平面的距离均相等，以为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，正确；对于②，连接容易证明且相等，由于①知：，平面平面，所以可得面，②正确；对于③，由于平面，若，则平面，，则为中点，与动点矛盾，错误；对于④，连接，由且，可得面，由面面垂直的判定知平面平面，④正确，故答案为①②④.‎ 三、解答题 ‎17.（1）已知，，求边的垂直平分线的方程.‎ ‎（2）求过点且在两坐标轴上的截距是互为相反数的直线的方程.‎ ‎【答案】（1） （2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得中点坐标,根据垂直的斜率关系可求得直线的斜率,进而利用点斜式求得直线方程,化简为一般式即可.‎ ‎（2）讨论截距是否为0:当截距为0时,可设正比例函数,代入点求解;当截距不为0时,设截距式,代入点坐标即可求得参数,进而得直线方程.‎ ‎【详解】（1）因为,‎ 则中点坐标为 根据垂直直线的斜率关系可得 所以由点斜式可得 化简得 ‎（2）当截距为0时,设直线方程为 代入可得 则 此时 当截距不为0时,设直线方程为 ‎ 代入可得 解得,即 化简可得 综上可知,直线方程为或 ‎【点睛】本题考查了点斜式方程的用法,截距相同时,注意讨论截距是否为0,属于基础题.‎ ‎18.（1）解方程：.‎ ‎（2）已知，且，求的值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将方程化简后因式分解,即可解方程求解.‎ ‎（2）根据指数与对数的转化,可得,,进而利用换底公式即可求得的值.‎ ‎【详解】（1）‎ 即 所以 则（舍）或 ‎∴‎ ‎（2）已知 根据指数与对数的关系可得,‎ 利用换底公式可得 则,‎ 由题意 即 ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查了指数方程的解法,指数与对数的转化,对数的换底公式及求值应用,属于基础题.‎ ‎19.如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面.‎ ‎（1）求证：平面.‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据矩形的性质,由线面平行的判定即可证明平面.‎ ‎（2）根据矩形性质,易证平面,即可证明平面平面.‎ ‎【详解】（1）四边形是矩形 ‎∴‎ ‎∵平面,平面 ‎∴平面 ‎（2）∵四边形是矩形 ‎∴‎ 又∵平面平面,平面平面 ‎∴平面 ‎∵平面 ‎∴平面平面 ‎【点睛】本题考查了直线与平面平行、平面与平面垂直的判定,依据条件找出直线与直线、直线与平面的位置关系即可,属于基础题.‎ ‎20.某化工厂生产的一种溶液，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少．（已知：，）‎ ‎（1）求杂质含量与过滤次数的函数关系式；‎ ‎（2）按市场要求，杂质含量不能超过0．1%．问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？‎ ‎【答案】（1）；（2）至少要过滤8次才能达到市场要求．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）过滤一次时，；过滤两次时，，…，所以过滤x次时，．（2）依据题意得到，然后解指数函数不等式，两边取对数即可．‎ 试题解析：（1）‎ ‎（2） 设过滤次，则，‎ 即，∴．‎ 又∵，∴．‎ 即至少要过滤8次才能达到市场要求．‎ 考点：求函数解析式；‚解指数不等式，实为对数定义．‎ ‎21.在如图所示的几何体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，，，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求四面体的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意,结合勾股定理的逆定理,易证及,即可证明平面.‎ ‎（2）根据线段的数量关系,可先求得的面积,即可求得四面体的体积.‎ ‎【详解】（1）证明：在中,因为,,‎ 所以.‎ 又因为,‎ 所以平面 ‎（2）因为平面 所以 因为,‎ 所以平面 在等腰梯形中,可得 所以.‎ 所以的面积为 所以四面体的体积为 ‎【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定,三棱锥体积的求法,属于基础题.‎ ‎22.已知定义域为的函数是奇函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断函数的单调性，并用定义证明；‎ ‎（3）当时，恒成立，求实数取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) 减函数，证明见解析；(3) ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用奇函数的性质令，求解即可．‎ ‎（2）利用函数的单调性的定义证明即可．‎ ‎（3）利用函数是奇函数以及函数单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可．‎ ‎【详解】（1）∵在定义域上是奇函数，‎ 所以，即，∴，‎ 经检验，当时，原函数是奇函数．‎ ‎（2）在上是减函数，证明如下：‎ 由（1）知，‎ 任取，设，‎ 则，‎ ‎∵函数在上是增函数，且，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴函数在上是减函数．‎ ‎（3）因是奇函数，从而不等式等价于，‎ 由（2）知在上是减函数，由上式推得，‎ 即对任意，有恒成立，‎ 由，‎ 令，，则可设，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想，是中档题．‎