数学卷·2018届湖北省武汉市江岸区高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届湖北省武汉市江岸区高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年湖北省武汉市江岸区高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．‎ ‎1．设集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，B={x||x+2|≤3}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|﹣5≤x＜﹣1} B．{x|﹣5≤x＜5} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|1≤x＜5}‎ ‎2．已知复数为实数，则实数m的值为（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎3．“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2=xz”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为（　　）‎ A．0 B．1 C．4 D．6‎ ‎6．执行如图的程序框图，若输入的i=1，那么输出的n=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（　　）‎ A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45‎ ‎8．已知函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在[﹣，]上是增函数，则ω的最大值是（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎9．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|=|PF|，则△PMF的面积为（　　）‎ A．4 B．8 C．16 D．32‎ ‎10．已知函数f（x）=x3﹣3x2+1，g（x）=则函数h（x）=g（f（x））﹣a（a为正常数）的零点个数最多为（　　）‎ A．2 B．4 C．9 D．8‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．‎ ‎11．观察下列等式：12=1，12﹣22=﹣3，12﹣22+32=6，12﹣22+32﹣42=﹣10，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1n2=　　．‎ ‎12．利用计算机产生0﹣1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＜0”发生的概率为　　．‎ ‎13．在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若向量，在向量方向上的投影相同，则3a﹣4b的值是　　．‎ ‎14．已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为　　．‎ ‎15．已知两点M（﹣5，0）、N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“和谐直线”，给出下列直线：①y=x﹣1；②y=﹣x；③y=x；④y=2x+1．其中为“和谐直线”的是　　．（填全部正确答案的序号）‎ ‎16．已知点P是直线l：kx+y﹣2=0上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2+2y=0的两条切线，A、B是切点．若四边形PACB的最小面积为，则k=　　．‎ ‎17．已知函数f（x）=其中[x]表示不超过x的最大整数．若方程f（x）=k（x+1）（k＞0）有3个不同的实数根，则实数k的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足bcosC+bsinC=a+c．‎ ‎（Ⅰ）求角B；‎ ‎（Ⅱ）若b=，求2a﹣c的取值范围．‎ ‎19．已知数列{an}满足a1=1，且an+1﹣2an=2n+1（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）证明数列{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎20．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABC﹣A1B1C1中，A1C1=B1C1=a，A1B1=A1A=2，点D，E分别为棱B1B，A1B1的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：AD⊥平面BEC1；‎ ‎（Ⅱ）当a为何值时，异面直线AD与BC所成的角为60°？‎ ‎21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最大值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）求证：（+1）n＜e，n∈N*（其中e为自然对数的底数）．‎ ‎22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点P（1，），离心率e=．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）AB是经过椭圆右焦点F的任一弦，问：在x轴上是否存在定点C，使得•为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省武汉市江岸区高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．‎ ‎1．设集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，B={x||x+2|≤3}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|﹣5≤x＜﹣1} B．{x|﹣5≤x＜5} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|1≤x＜5}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．‎ ‎【解答】解：由A中的不等式变形得：（x+1）（x﹣6）＜0，‎ 解得：﹣1＜x＜6，‎ 即A={x|﹣1＜x＜6}，‎ 由B中的不等式解得：﹣5≤x≤1，‎ 即B={x|﹣5≤x≤1}；‎ 则A∩B={x|﹣1＜x≤1}‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．已知复数为实数，则实数m的值为（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的除法运算化简，然后由虚部等于0求解m的值．‎ ‎【解答】解：由=，‎ ‎∵复数为实数，∴，解得m=﹣．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2=xz”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由充要条件的定义和对数的运算，以及等差数列的知识可得．‎ ‎【解答】解：由lgx，lgy，lgz成等差数列可得2lgy=lgx+lgz，‎ 故可得lgy2=lgxz，故可得y2=xz；‎ 而由y2=xz不能推出lgx，lgy，lgz成等差数列，‎ 比如当x和z均为负数时，对数无意义．‎ 故“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2=xz”的充分不必要条件．‎ 故选：A ‎　‎ ‎4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由几何体的三视图知这个几何体是一个下面是圆柱，底面直径为2，高为1，上面是圆锥，母线为2的简单组合体．‎ ‎【解答】解：由三视图知，该几何体为圆柱上面加上一个圆锥，‎ 圆柱底面直径为2，高为1，圆锥母线为2，高为，‎ 所以体积为=π+π．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为（　　）‎ A．0 B．1 C．4 D．6‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=2x+y得y=﹣2x+z，‎ 平移直线y=﹣2x+z，‎ 由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，‎ 此时z最小，‎ 由，解得，‎ 即B（1，﹣1），此时z=1×2﹣1=1，‎ 故选：B ‎　‎ ‎6．执行如图的程序框图，若输入的i=1，那么输出的n=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．‎ ‎【解答】解：当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，i=2，m=1，n=； ‎ 当i=2时，满足进行循环的条件，执行循环后，i=3，m=2，n=； ‎ 当i=3时，满足进行循环的条件，执行循环后，i=4，m=3，n=； ‎ 当i=4时，不满足进行循环的条件，‎ 故输出的n值为；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（　　）‎ A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．‎ ‎【分析】根据频率分布直方图，分别求出对应区间[15，20）和[25，30）上的频率即可．‎ ‎【解答】解：由频率分布直方图可知，对应区间[15，20）和[25，30）上的频率分别为0.04×5=0.20和0.05×5=0.25，‎ ‎∴二等品的频率为0.20+0.25=0.45．‎ 故从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是0.45．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．已知函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在[﹣，]上是增函数，则ω的最大值是（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【考点】正弦函数的单调性．‎ ‎【分析】由题意利用正弦函数的单调性，可得，由此求得ω的最大值．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在[﹣，]上是增函数，‎ ‎∴，‎ 求得ω≤，则ω的最大值为，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|=|PF|，则△PMF的面积为（　　）‎ A．4 B．8 C．16 D．32‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】如图所示，F（2，0），过点P作PN⊥l，垂足为N．由|PM|=|PF|，|PF|=|PN|，可得|PM|=|PN|，设P，则±t=+2，基础即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，F（2，0），过点P作PN⊥l，垂足为N．‎ ‎∵|PM|=|PF|，|PF|=|PN|，‎ ‎∴|PM|=|PN|，‎ 设P，则±t=+2，‎ 解得t=±4．‎ ‎∴△PMF的面积===8．‎ 故选；B．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=x3﹣3x2+1，g（x）=则函数h（x）=g（f（x））﹣a（a为正常数）的零点个数最多为（　　）‎ A．2 B．4 C．9 D．8‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】令t=f（x），则g（t）=a，解得t的值，求函数f（x）的导数f′（x），判断函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【解答】解：令t=f（x），则g（t）=a，‎ 当t＞0时，由g（t）=a，得，即4t2﹣4t+5﹣a=0，即（2t﹣1）2=a﹣4，①‎ 当t≤0，由g（t）=a，得﹣t2﹣6t﹣8=a，即（t+3）2=a﹣1，即t=﹣3，②‎ 若0＜a＜1，①无解，②无解；‎ 若a=1，①无解，由②得t=﹣3；‎ 若1＜a＜4，①无解，由②得t=﹣3；‎ 若a=4，由①得t=，由②得t=﹣3；‎ 若4＜a＜5，由①得t=，由②得t=﹣3；‎ 若a=5，由①得t=1，由②得t=﹣1，t=﹣5；‎ 若5＜a≤10，由①得t=，由②得t=﹣3；‎ 若a＞10，由①得t=，由②得t=﹣3﹣．‎ 函数f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），‎ 由f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，此时函数单调递增，‎ 由f′（x）＜0，得0＜x＜2，此时函数单调递减，‎ 即当x=0时，函数取得极大值f（0）=1，‎ 当x=2时，函数取得极小值f（2）=﹣3，‎ 则当4＜a＜5时，此时t=或t=﹣3+∈（﹣3，1），‎ 函数h（x）=g（f（x））﹣a（a为正常数）的零点个数最多为9个．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．‎ ‎11．观察下列等式：12=1，12﹣22=﹣3，12﹣22+32=6，12﹣22+32﹣42=﹣10，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1n2=　　．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】由已知中的等式：12=1，12﹣22=﹣3，12﹣22+32=6，12﹣22+32﹣42=﹣10，我们易得到等式左边是从一开始的奇数平方和减偶数平方和，右边式子的绝对值是一等差数列的前n项和，由此不难归纳出答案．‎ ‎【解答】解：由已知中等式：‎ ‎12=1=，‎ ‎12﹣22=﹣3=，‎ ‎12﹣22+32=6=，‎ ‎12﹣22+32﹣42=﹣10=，‎ ‎…‎ 由此我们可以推论出一个一般的结论：对于n∈N*，‎ ‎12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1n2=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎12．利用计算机产生0﹣1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＜0”发生的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】求满足事件“3a﹣1＜0”发生的a的范围，利用数集的长度比求概率．‎ ‎【解答】解：由3a﹣1＜0得：a＜，‎ 数集（0，）的长度为，‎ 数集（0，1）的长度为1，‎ ‎∴事件“3a﹣1＜0”发生的概率为；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．在直角坐标系xOy中，已知三点A（a，1），B（2，b），C（3，4），若向量，在向量方向上的投影相同，则3a﹣4b的值是　2　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果．‎ ‎【解答】解：向量，在向量方向上的投影相同，‎ ‎∴=•，‎ ‎∵A（a，1），B（2，b），C（3，4），‎ ‎∴3a+4=6+4b，‎ ‎∴3a﹣4b=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为　　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R，‎ ‎∵α截球O所得截面的面积为π，‎ ‎∴d=R时，r=1，‎ 故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2=‎ ‎∴球的表面积S=4πR2=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知两点M（﹣5，0）、N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“和谐直线”，给出下列直线：①y=x﹣1；②y=﹣x；③y=x；④y=2x+1．其中为“和谐直线”的是　①②　．（填全部正确答案的序号）‎ ‎【考点】直线的一般式方程．‎ ‎【分析】根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，由此算出双曲线的方程为﹣=1．再分别判断双曲线与四条直线的位置关系，可得只有①②的直线上存在点P满足“和谐直线”的条件，由此可得答案．‎ ‎【解答】解：∵点M（﹣5，0），N（5，0），点P使|PM|﹣|PN|=6，‎ ‎∴点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线 可得b2=c2﹣a2=52﹣32=16，双曲线的方程为﹣=1．‎ ‎∵双曲线的渐近线方程为y=±x ‎∴直线y=x与双曲线没有公共点，直线y=2x+1经过点（0，1）斜率k＞，与双曲线也没有公共点．‎ 而直线①y=x﹣1、②y=﹣x都与双曲线﹣=1有交点 因此，在①y=x﹣1、②y=﹣x上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，满足“和谐直线”的条件．‎ 只有①②正确．‎ 故答案是：①②．‎ ‎　‎ ‎16．已知点P是直线l：kx+y﹣2=0上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2+2y=0的两条切线，A、B是切点．若四边形PACB的最小面积为，则k=　　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后利用点到直线的距离求出直线的斜率即可．．‎ ‎【解答】解：∵圆的方程为：x2+（y+1）2=1，‎ ‎∴圆心C（0，﹣1），半径r=1．‎ 根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小．切线长为，‎ ‎∴PA=PB═，‎ ‎∴圆心到直线l的距离为d=．‎ ‎∵直线kx+y﹣2=0，‎ ‎∴=，解得k=±，‎ 所求直线的斜率为 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎17．已知函数f（x）=其中[x]表示不超过x的最大整数．若方程f（x）=k（x+1）（k＞0）有3个不同的实数根，则实数k的取值范围是　[，）　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】根据[x]的定义，分别作出函数y=f（x）和g（x）=k（x+1）的图象，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：当﹣2≤x＜﹣1时，[x]=﹣2，此时f（x）=x﹣[x]=x+2．‎ 当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，此时f（x）=x﹣[x]=x+1．‎ 当0≤x＜1时，﹣1≤x﹣1＜0，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1+1=x．‎ 当1≤x＜2时，0≤x﹣1＜1，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1．‎ 当2≤x＜3时，1≤x﹣1＜2，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣1=x﹣2‎ 设g（x）=k（x+1），则g（x）过定点（﹣1，0），‎ 坐标系中作出函数y=f（x）和y=g（x）的图象如图：‎ 当直线y=g（x）绕着点（﹣1，0）从（2，1）到（3，1）时，图象有3个交点．‎ 由两点（﹣1，0）和（2，1）的斜率为=；两点（﹣1，0）和（3，1）的斜率为=．‎ 故实数k的取值范围为[，）．‎ 故答案为：[，）．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足bcosC+bsinC=a+c．‎ ‎（Ⅰ）求角B；‎ ‎（Ⅱ）若b=，求2a﹣c的取值范围．‎ ‎【考点】余弦定理的应用；正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，化简求解角B；‎ ‎（Ⅱ）利用余弦定理以及正弦定理结合两角和与差的三角函数化简求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）．‎ ‎∴．‎ 化简，得．‎ 又sinC＞0，∴．∴．‎ 又0＜B＜π，∴．…‎ ‎（Ⅱ）∵，∴．‎ 由正弦定理，‎ 得，即a=2sinA，c=2sinC．‎ 所以==．∵，∴．∴，．‎ 所以2a﹣c的取值范围为．…‎ ‎　‎ ‎19．已知数列{an}满足a1=1，且an+1﹣2an=2n+1（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）证明数列{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把已知数列递推式两边同时除以2n+1，可得{}是以为首项，1为公差的等差数列．求出等差数列的通项公式后可得数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）直接利用错位相减法求得数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴．‎ ‎∴{}是以为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎∴．‎ 则；‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 两式相减，得 ‎=．‎ 得．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABC﹣A1B1C1中，A1C1=B1C1=a，A1B1=A1A=2，点D，E分别为棱B1B，A1B1的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：AD⊥平面BEC1；‎ ‎（Ⅱ）当a为何值时，异面直线AD与BC所成的角为60°？‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明C1E⊥A1B1．C1E⊥AD．AD⊥BE．然后证明AD⊥平面BEC1．‎ ‎（Ⅱ）取C1C的中点F，连结DF，AF．说明∠ADF为异面直线AD与BC所成的角，在△ADF中，由余弦定理，解得a的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为三棱柱是直棱柱，‎ 所以平面A1B1C1⊥平面A1B1BA．‎ 因为A1C1=B1C1，E为A1B1的中点，‎ 所以C1E⊥A1B1．‎ 所以C1E⊥平面A1B1BA．‎ 因为AD⊂平面A1B1BA，‎ 所以C1E⊥AD．‎ 因为A1B1=A1A=2，点D，E分别为棱B1B，A1B1的中点，‎ 所以AD⊥BE．‎ 因为C1E⊂平面BEC1，BE⊂平面BEC1，C1E∩BE=E，‎ 所以AD⊥平面BEC1．…‎ ‎（Ⅱ）取C1C的中点F，连结DF，AF．‎ 因为DF∥BC，‎ 所以∠ADF为异面直线AD与BC所成的角，即∠ADF=60°．‎ 在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，‎ 所以．‎ 在Rt△AFC中，AC=a，CF=1，‎ 所以．‎ 显然DF=BC=a．‎ 在△ADF中，由余弦定理，得．‎ 所以，解得．…‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最大值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）求证：（+1）n＜e，n∈N*（其中e为自然对数的底数）．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数g（x）的导数，确定函数的单调区间，得到f（x）的最大值；‎ ‎（Ⅱ）求出f（x）的导数，通过讨论a的符号，判断函数f（x）的单调区间，从而求出a的范围即可；‎ ‎（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知ln（x+1）＜x在（0，+∞）上恒成立，所以在（0，+∞）上恒成立，即可证明结论．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．‎ 当a=1时，f（x）=ln（x+1）﹣x，．‎ 当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0；当x＞0时，f'（x）＜0．‎ 所以，函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数．‎ 所以，当x=0时，f（x）取得最大值f（0）=0．…‎ ‎（Ⅱ）解：．‎ ‎（1）若a≥1，则，f（x）在（0，+∞）上单调递减，‎ ‎∴f（x）＜f（0）=0在（0，+∞）上恒成立；‎ ‎（2）若a≤0，则，f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ f（x）＞f（0）=0，不符合题意．‎ ‎（3）证明：若0＜a＜1，则，且．‎ 当时，f'（x）＞0，f（x）在上单调递增，‎ 此时f（x）＞f（0）=0，不符合题意．‎ 综上，所求a的取值范围[1，+∞）．…‎ ‎（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知ln（x+1）＜x在（0，+∞）上恒成立，‎ 所以在（0，+∞）上恒成立．‎ 于是，所以．‎ 取，得．…‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点P（1，），离心率e=．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）AB是经过椭圆右焦点F的任一弦，问：在x轴上是否存在定点C，使得•为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由在椭圆上，得．由，得，又a2=b2+c2，联立基础即可得出．‎ ‎（II）假设在x轴上存在定点C（n，0），使得为常数．设直线AB：x=my+1，联立方程，化为得（3m2+4）y2+6my﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系、数量积属于性质只要使得为常数即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由在椭圆上，得．‎ 由，得，即a=2c．‎ 又a2=b2+c2，∴a2=4，b2=3．‎ 故椭圆C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）假设在x轴上存在定点C（n，0），使得为常数．‎ 设直线AB：x=my+1，联立方程，化为得（3m2+4）y2+6my﹣9=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．‎ 于是x1+x2=m（y1+y2）+2，．‎ ‎∴=====．‎ ‎∵与m无关，∴时，．‎ 故在x轴上存在定点，使为常数．‎ ‎　‎ ‎2016年12月10日