甘肃省玉门一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试卷（解析版）

甘肃省玉门一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试卷（解析版）

玉门一中2018-2019高二年级第一学期期末试题 高二数学（理科） ‎ 一选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.若命题： ， ,则命题的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据特称命题的否定，换量词否结论，不变条件；故得到命题的否定是 ，.‎ 故答案为：C.‎ ‎2.与向量垂直的一个向量的坐标是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用与四个选项中的向量求数量积，数量积为零的即是所求.‎ ‎【详解】对于A选项，不符合题意.对于B选项，不符合题意.对于C选项，不符合题意.对于D选项，符合题意，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查两个空间向量相互垂直的坐标表示，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎3.双曲线的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 双曲线实轴在轴上时，渐近线方程为，本题中，得渐近线方程为，故选A.‎ ‎4.抛物线的焦点坐标是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的标准方程，转化求解即可．‎ ‎【详解】抛物线y=-x2的开口向下， ，所以抛物线的焦点坐标． 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎5.等比数列中，已知，，( )‎ A. 32 B. 64 C. 128 D. 256‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将转化为的形式，求得的值，由此求得的值.‎ ‎【详解】由于数列为等比数列，故，故，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量、通项公式.基本元的思想是在等比数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.‎ ‎6.设变量想x、y满足约束条件为则目标函数的最大值为( )‎ A. 0 B. -3 C. 18 D. 21‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.‎ ‎7.若命题“”为真命题，则( )‎ A. 为假命题 B.为假命题 C.为真命题 D. 为真命题 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题“p∧(¬q)”为真命题,根据且命题的真假判断得到p为真命题，¬q也为真命题,进而得到结果.‎ ‎【详解】命题“p∧(¬q)”为真命题,根据且命题的真假判断得到p为真命题，¬q也为真命题,则q为假命题,故B正确；p∨q为真命题；¬p为假命题，¬q为真命题,故得到(¬p)∧(¬q)为假命题.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】（1）由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．‎ ‎8.在中，，，分别是三个内角、、的对边，，，，则（ ）‎ A. B.或 C. D.或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理列方程，解方程求得的值，根据特殊角的三角函数值求得的大小.‎ ‎【详解】由正弦定理得，解得，故或，所以选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎9.在中， 分别为角的对边，若，则此三角形一定是( )‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由正弦定理得sinA=2sinBcosC，‎ 即sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，‎ 整理得sinBcosC−cosBsinC=sin(B−C)=0，‎ 即B=C，‎ 则三角形为等腰三角形，‎ 本题选择A选项.‎ ‎10.已知均为正数，，则的最小值( )．‎ A. 13 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过化简后利用基本不等式求得表达式的最小值.‎ ‎【详解】依题意.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用“”的代换的方法，结合基本不等式求表达式的最小值.属于基础题.‎ ‎11.设双曲线的渐近线方程为，则的值为( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 双曲线的渐近线方程为,所以，故选B.‎ ‎12.有下列三个命题:①“若，则互为相反数”的逆命题;②“若，则”的逆否命题;③“若，则”的否命题. 其中真命题的个数是( )‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①写出命题的逆命题，可以进行判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性相同，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假。‎ ‎【详解】①“若,则互为相反数”的逆命题是，若互为相反数,则；是真命题；②“若,则”，当a=-1,b=-2,时不满足，故原命题为假命题，而原命题和逆否命题真假性相同，故得到命题为假；③“若,则”的否命题是若,则，举例当x=5时，不满足不等式，故得到否命题是假命题；‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】这个题目考查了命题真假的判断，涉及命题的否定，命题的否命题，逆否命题，逆命题的相关概念，注意原命题和逆否命题的真假性相同，故需要判断逆否命题的真假时，只需要判断原命题的真假。‎ ‎13.设，则“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将题目所给两个条件相互推导，根据能否推导的情况确定充分、必要性，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】当“”时，“”成立；当“”时，可以为，即不能推出“”，故应选充分不必要条件，所以选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查特殊角的三角函数值以及终边相同的角.属于基础题.‎ ‎14.与命题“若，则”等价的命题是( )‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，互为逆否的两个命题为等价命题，所以命题命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，所以是等价命题，故选D．‎ 考点：四种命题．‎ ‎15.已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，-5)，点P(x，-1，3)在平面ABC内，则x的值为( )‎ A. -4 B. 1 C. 10 D. 11‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：：∵点P（x，-1，3）在平面ABC内，∴存在实数λ，μ使得等式成立，‎ ‎∴（x-4，-2，0）=λ（-2，2，-2）+μ（-1，6，-8），‎ ‎∴，消去λ，μ解得x=11‎ 考点：向量在几何中的应用 二.填空题.‎ ‎16.命题“若则”的否命题是______.‎ ‎【答案】若，则 ‎【解析】‎ 命题“若则”的否命题是“若则”‎ 故答案为：若则 ‎17.抛物线的焦点到准线的距离是______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为4.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎18.动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是 ．‎ ‎【答案】（2x－3）2＋4y2＝1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，中点，则即，因为在圆上，代入得．‎ 考点：代入法求轨迹方程．‎ ‎【方法点晴】这个是一个典型的题目．是圆上的动点，因此可以代入圆的方程，要求对称点的轨迹，则只需要设对称点的坐标，然后用来表示，再将代入原的方程就可以求得轨迹方程了，这里应用了方程的思想，整体代换的方法．‎ ‎19.已知椭圆有两个顶点分别为，则此椭圆的焦点坐标是____。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据顶点坐标求得的值，结合求得的值，由此求得椭圆的焦点坐标.‎ ‎【详解】依题意可知，根据，解得，故焦点坐标为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的的几何性质，考查椭圆焦点的坐标求法，属于基础题.‎ ‎20.已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率__.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意确定a,b,c的关系，然后确定其离心率即可.‎ ‎【详解】由题意可知，双曲线的一个焦点坐标为，‎ 双曲线的一条渐近线方程为：，即，‎ 据此可得：，则，‎ 椭圆的离心率.‎ ‎【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ 三．解答题。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎21.在中，三个内角所对的边分别为已知.‎ ‎(1)求角C的大小 ‎(2)求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理求得的值，由此求得的大小.（2）先求得的值，然后利用三角形的面积公式求得三角形的面积.‎ ‎【详解】（1）依题意,由余弦定理得 ‎ ‎∵‎ ‎（2） ‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎22.已知等差数列的前n项和为，且，.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组求得的值，进而求得数列的通项公式.（2）根据（1）的结论求得数列的前项和公式.‎ ‎【详解】设的公差为d，则由题意得，‎ 解得：.‎ ‎(1)的通项公式为，‎ 即.‎ ‎（2）的前n项和为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.‎ ‎23.为何值时，直线和曲线有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：解：由，得，即 当，即时，直线和曲线有两个公共点；‎ 当，即时，直线和曲线有一个公共点；‎ 当，即时，直线和曲线没有公共点。‎ 考点：本题考查直线与圆锥曲线的关系．‎ 点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，直线和圆锥曲线的交点个数的判断方法，求出△=72k2-28，是解题的关键，若圆锥曲线为双曲线时，有要想着讨论二次项的系数是否为零。‎ ‎24.如图，在四棱锥中，平面ABCD底面是边长为2的正方形， 为的中点，为的中点.‎ ‎ ‎ ‎（1）求直线MN与直线CD所成角的余弦值；‎ ‎（2）求直线OB与平面OCD所成的角.‎ ‎【答案】（1）（2）30°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为空间坐标原点建立空间直角坐标系. （1）计算出直线和直线的方向向量，根据夹角公式计算出两条直线所成角的余弦值.（2）通过计算直线的方向向量，以及平面的法向量，代入线面角向量的计算公式，求得线面角的正弦值，由此得到线面角的大小.‎ ‎【详解】由已知，AB,AD,AO所在直线两两互相垂直，故可建立如图所示的空间的角坐标系A-xyz.‎ 则.‎ ‎（1），‎ ‎，‎ 直线MN与CD所成角的余弦值为.‎ ‎（2），‎ 设平面OCD的一个法向量为，则，且，‎ 即，且，而，‎ ‎，令，则，，，‎ 设OB与平面OCD所成角为，‎ 则，‎ 即OB与平面OCD所成角为.‎ ‎【点睛】本小题考查利用空间向量求线线角的余弦值，考查利用空间向量求线面角的大小，属于中档题.‎ ‎25.如图所示的几何体中，四边形为矩形,为直角梯形，且== 90°，平面平面，,‎ ‎(1)若为的中点，求证:平面；‎ ‎(2)求平面与平面所成锐二面角的大小．‎ ‎【答案】（Ⅰ）连结,交与,连结，‎ 中，分别为两腰的中点 , 确定.‎ 得到平面.‎ ‎（Ⅱ），.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）证明：连结,交与,连结，‎ 中，分别为两腰的中点 , ∴. 2分 因为面,又面，所以平面. 4分 ‎（Ⅱ）解：设平面与所成锐二面角的大小为，以为空间坐标系的原点，分别以 所在直线为轴建立空间直角坐标系，则 ‎，.‎ 设平面的单位法向量为则可设. 7分 设面的法向量，应有 即：‎ 解得：，所以. 10分 ‎，. 12分 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系，角的计算。‎ 点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，本题利用空间向量简化了证明过程。‎ ‎26.已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.、是椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于、两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）当四边形面积取最大值时，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） =2.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用离心率和直线与圆相切以及的关系进行求解；（2）设，联立直线与椭圆方程，得到的横坐标，求出点到直线的距离，得到四边形面积关于的表达式，再利用基本不等式进行求解．‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意知：＝ ，．‎ 又圆与直线相切，，，‎ 故所求椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设，其中，‎ 将代入椭圆的方程整理得：，‎ 故．①‎ 又点到直线的距离分别为，‎ ‎，‎ 所以四边形的面积为 ‎ ，‎ 当，即当时，上式取等号，所以当四边形面积的最大值时，．‎ 考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式．‎