2020届二轮复习二项展开式求展开式中的指定项教案（全国通用）

2020届二轮复习二项展开式求展开式中的指定项教案（全国通用）

求展开式中的指定项 知识内容 ‎1．二项式定理 ‎⑴二项式定理 这个公式表示的定理叫做二项式定理．‎ ‎⑵二项式系数、二项式的通项 叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：． ‎ ‎⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是 ‎①各项的次数都等于二项式的幂指数．‎ ‎②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．‎ ‎⑷几点注意 ‎①通项是的展开式的第项，这里．‎ ‎②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．‎ ‎③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．‎ ‎④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与 是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．‎ ‎⑤设，则得公式：． ‎ ‎⑥通项是中含有五个元素，‎ 只要知道其中四个即可求第五个元素．‎ ‎⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．‎ ‎2．二项式系数的性质 ‎⑴杨辉三角形：‎ 对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．‎ 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”‎ ‎⑵二项式系数的性质：‎ 展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．‎ 当时，的图象为下图：‎ 这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．‎ ‎①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．‎ 事实上，这一性质可直接由公式得到．‎ ‎②增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；‎ 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．‎ 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ‎，‎ ‎，．．．，‎ ‎，，．．．，‎ ‎．‎ 其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．‎ 当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．‎ 当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．‎ 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为．‎ ‎③二项式系数的和为，即．‎ ‎④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 ‎．‎ 常见题型有：‎ 求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．‎ 典例分析 【例1】 的展开式中的第四项是 ．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年四川高考 ‎【解析】，∴，‎ 的展开式中的第四项是：‎ ‎【答案】‎ 【例1】 ‎ 的展开式中，的系数等于_ ___．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018，安徽高考 ‎【解析】略；‎ ‎【答案】15；‎ 【例2】 的展开式中的系数是 A． B． C．2 D．4‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，全国高考 ‎【解析】中的系数为．‎ ‎【答案】C；‎ 【例3】 若的展开式中的系数是，则 ．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018，全国高考 ‎【解析】略 ‎【答案】1；‎ 【例4】 展开式中的系数为10，则实数等于 A． B． C．1 D．2‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018，陕西高考 ‎【解析】略 ‎【答案】D；‎ 【例1】 若，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年丰台一模 ‎【解析】，四个选项中只有满足．‎ ‎【答案】A；‎ 【例2】 的展开式中项的系数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，东城一模 ‎【解析】所求系数为．‎ ‎【答案】A；‎ 【例3】 若，则的值为（ ）‎ A．270 B．270 C． 90 D．90‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，宣武2模 ‎【解析】此题考察二项式定理．容易知道．‎ ‎【答案】C 【例4】 的展开式中的系数是_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，全国高考 ‎【解析】原多项式可化为，所以要求的的系数分两部分：‎ 的常数项与的项系数的积；的项系数与的常数项的积．因此所求的的系数是．‎ ‎【答案】-3；‎ 【例1】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】将多项市看作，通项公式为，‎ 要求的系数，只能，不难算出的系数为．‎ 本题也可以直接用排列组合的观点来解．5个相乘，要得到项，只能是有一个 取（有种）与剩下的4个的常数项相乘才行，因此为．‎ ‎【答案】320；‎ 【例2】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】将多项市看作，通项公式为，‎ 只能取0或1，不难算出的系数为 ‎．‎ 本题也可以直接用排列组合的观点来解． 5个相乘，要得到项，只有两种情况：‎ ‎①1个取，其余4个取常数项，此时的系数为；‎ ‎②两个取，其余3个取常数项，此时的系数为 因此的系数为1360．‎ ‎【答案】1360；‎ 【例3】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】用排列组合的观点求． 5个相乘，要得到项，‎ 只能是从1个取，1个取，其余3个取常数项相乘得到，因此系数为．‎ ‎【答案】640‎ 【例1】 求展开式中含项系数．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】用排列组合的观点求．13个式子相乘，项为：‎ ‎．故所求系数为．‎ ‎【答案】-123‎ 【例2】 在的展开式中，项的系数是　　　　．（用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，湖南高考 ‎【解析】可以直接将6个式子中的项的系数相加，然后用组合数的性质来计算．‎ 如果注意到原多项式可化简为，则只需要求中项的系数即可，不难算出为．‎ ‎【答案】35；‎ 【例3】 的展开式中的系数等于________．（用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】可以直接将6个式子中的项的系数相加减，然后用组合数的性质来计算．‎ 如果注意到原多项式可化简为，只需要求中项的系数即可，不难算出为．‎ ‎【答案】-20；‎ 【例4】 展开式中的系数是_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2003年全国 ‎【解析】通项公式为，当时，．‎ 所以的系数是．‎ ‎【答案】；‎ 【例1】 在的展开式中的系数是（ ）‎ A．−14 B．14 C．−28 D．28‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年全国高考 ‎【解析】略 ‎【答案】B；‎ 【例2】 在的展开式中，含的项的系数是（ ）‎ A． B．85 C． D．274‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，浙江高考 ‎【解析】用排列组合的观点来求，4个因式取，余下1个取常数项，故所求系数为 ‎，选A．‎ ‎【答案】A；‎ 【例3】 在的展开式中，含项的系数是 （用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】多项式可化为，含项的系数为．‎ ‎【答案】-205‎ 【例4】 求展开式中的系数．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】看成6个相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，‎ 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x，一个取1得到．‎ ‎3个因式中取x，一个取，两个取1得到．‎ ‎1个因式中取x，两个取，三个取1得到．‎ 合并同类项为，项的系数为6．‎ ‎【答案】6；‎ 【例1】 的展开式中的系数是_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年全国高考 ‎【解析】原多项式可化为，所以要求的的系数分两部分：‎ 的常数项与的项系数的积；的项系数与的常数项的积．因此所求的的系数是．‎ ‎【答案】-3；‎ 【例2】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】将多项市看作，通项公式为，‎ 要求的系数，只能，不难算出的系数为．‎ 本题也可以直接用排列组合的观点来解．5个相乘，要得到项，只能是有一个 取（有种）与剩下的4个的常数项相乘才行，因此为．‎ ‎【答案】320；‎ 【例3】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】将多项市看作，通项公式为，‎ 只能取0或1，不难算出的系数为 ‎．‎ 本题也可以直接用排列组合的观点来解． 5个相乘，要得到项，只有两种情况：‎ ‎①1个取，其余4个取常数项，此时的系数为；‎ ‎②两个取，其余3个取常数项，此时的系数为 因此的系数为1360．‎ ‎【答案】1360；‎ 【例1】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】用排列组合的观点求． 5个相乘，要得到项，‎ 只能是从1个取，1个取，其余3个取常数项相乘得到，因此系数为．‎ ‎【答案】640‎ 【例2】 求展开式中含项系数．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】用排列组合的观点求．13个式子相乘，项为：‎ ‎．‎ 故所求系数为．‎ ‎【答案】-123‎ 【例3】 在的展开式中，项的系数是　　　　．（用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，湖南高考 ‎【解析】可以直接将6个式子中的项的系数相加，然后用组合数的性质来计算．‎ 如果注意到原多项式可化简为，则只需要求 中项的系数即可，不难算出为．‎ ‎【答案】35；‎ 【例1】 的展开式中的系数等于________．（用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】可以直接将6个式子中的项的系数相加减，然后用组合数的性质来计算．‎ 如果注意到原多项式可化简为，只需要求中项的系数即可，不难算出为．‎ ‎【答案】-20；‎ 【例2】 展开式中的系数是_______（用数字作答）．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2003年，全国高考 ‎【解析】通项公式为，当时，．‎ 所以的系数是．‎ ‎【答案】；‎ 【例3】 在的展开式中的系数是（ ）‎ A．−14 B．14 C．−28 D．28‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，全国高考 ‎【解析】略 ‎【答案】B；‎ 【例4】 在的展开式中，含的项的系数是（ ）‎ ‎（A） （B）85 （C） （D）274‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，浙江高考 ‎【解析】用排列组合的观点来求，4个因式取，余下1个取常数项，故所求系数为 ‎，选A．‎ ‎【答案】A；‎ 【例1】 在的展开式中，含项的系数是 （用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】多项式可化为，含项的系数为．‎ ‎【答案】；‎ 【例2】 求展开式中的系数．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】看成6个相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，‎ 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x，一个取1得到．‎ ‎3个因式中取x，一个取，两个取1得到．‎ ‎1个因式中取x，两个取，三个取1得到．‎ 合并同类项为，项的系数为6．‎ ‎【答案】6；‎ 【例3】 在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009年浙江高考 ‎【解析】略 ‎【答案】B；‎ 【例1】 的展开式中的系数是______，的系数为______．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年四川高考 ‎【解析】，的系数为．‎ ‎；，项的系数是．‎ ‎【答案】2，-6；‎ 【例2】 的展开中含的项的系数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2018年，四川高考 ‎【解析】C；含的项的系数．‎ ‎【答案】C；‎ 【例3】 的展开式中的系数是（ ）‎ A． B． C．3 D． 4‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】，的系数是．‎ ‎ B．‎ ‎【答案】B；‎ 【例4】 求展开式中的系数；‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】展开式中的可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：‎ 用展开式中的常数项乘以展开式中的项，可以得到；用展开式中的一次项乘以展开式中的项可得到；用中的乘以展开式中的可得到 ‎；用中的项乘以展开式中的项可得到，合并同类项得项为：．‎ ‎【答案】-63；‎ 【例1】 在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009年，浙江高考 ‎【解析】B；‎ 通项公式，令，可得，故项的系数是．‎ ‎【答案】B；‎ 【例2】 的展开式中的系数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009年，重庆高考 ‎【解析】D；‎ ‎，令，得，故展开式中的系数为．‎ ‎【答案】D；‎ 【例3】 在的展开式中，的系数为 （用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2009年，湖南高考 ‎【解析】；，令，得的系数为 ‎【答案】6；‎ 【例4】 在的展开式中，的系数为 _____ （用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2009年，湖南高考 ‎【解析】；由条件易知的展开式中 项的系数分别是，即所求系数是．‎ ‎【答案】7；‎ 【例1】 的二项展开式中含的项的系数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】B；‎ 【例2】 若的二项展开式中的系数为则 ．（用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，天津高考 ‎【解析】，当时得到项的系数 ‎【答案】2；‎ 【例3】 设常数，展开式中的系数为，则＝_____．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，安徽高考 ‎【解析】，由得，由知．‎ ‎【答案】；‎ 【例4】 已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则 ‎ ．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，广东高考 ‎【解析】的系数为，得，所以．‎ ‎【答案】1；‎ 【例1】 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等 ‎ ．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，广东高考 ‎【解析】的通项为，当时，．‎ ‎∴的展开式中的系数是，‎ 的通项为，当时，．‎ ‎∴的展开式中的系数是，‎ ‎∴，．‎ ‎【答案】‎ 【例2】 的二项展开式的第项的系数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】2星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】B；‎ 【例3】 若的二项展开式中的系数为则．（用数字作答）‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2018年，天津高考 ‎【解析】，当时得到项的系数 ‎【答案】；‎ 【例1】 若与的展开式中含的系数相等，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】A；的展开式的通项公式为，令，‎ 得，即的项的系数为．‎ 又展开式的通项公式为，由，所以次展开式中含的项的系数为．‎ 于是由题设，，即．‎ 从而，及，故选A．‎ ‎【答案】A；‎ 【例2】 已知，则二项式 展开式中含项的系数是 ．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】‎ 【例3】 在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，那么．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】，即，解得符合题意的．‎ ‎【答案】‎ 【例1】 已知（是正整数）的展开式中，的系数小于，则______．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】按二项式定理展开的通项为，‎ 我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1．‎ ‎【答案】1；‎ 【例2】 的展开式中的系数为 ．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2009年，全国高考 ‎【解析】，只需求展开式中的项的系数，‎ 易知为．‎ ‎【答案】6；‎ 【例3】 若的展开式中，的系数是的系数的倍，求；‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】由题设，，即．‎ ‎【答案】8；‎ 【例4】 的展开式中，的系数与的系数之和等于__________．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2009年，全国高考 ‎【解析】略 ‎【答案】-240；‎ 【例1】 已知为实数，展开式中的系数是，则_______．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】，故，解得．‎ ‎【答案】‎ 【例2】 二项式的展开式中第三项系数比第二项系数大，求第项的系数．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】由题意知，即（负值舍去），‎ 于是第项的系数为．‎ ‎【答案】165；‎ 【例3】 求的二项展开式中含的项的二项式系数与系数．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】设第项含，则有，‎ 根据题意，得，解得．‎ 因此，的系数是，二项式系数为．‎ 【例4】 若的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中项的系数为_______．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】或（舍弃），通项，‎ 由，的系数是．‎ ‎【答案】7；‎ 【例1】 令为的展开式中含项的系数，则数列的前项和为．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】，，于是可得和为．‎ ‎【答案】；‎ 【例2】 在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，求的值．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】，于是有，化简得：，‎ 又，故有，解得或（舍去）．‎ 故．‎ ‎【答案】；‎ 【例3】 已知，则 ．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2009年，湖南高考 ‎【解析】通项，由题设有，于是．‎ ‎【答案】40；‎ 【例1】 在展开式中，与的系数分别为，如果，那么的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】2009年，东城2模 ‎【解析】由题设，，故．‎ ‎【答案】C；‎ 【例2】 若的展开式中的系数是， 则实数的值是_______．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】；‎ 通项公式，令，‎ · 的系数是，解得．‎ ‎【答案】-2；‎ 【例3】 设常数，展开式中的系数为，则 ．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2009年，崇文区2模 ‎【解析】；通项公式，令，‎ 的系数为，解得．‎ ‎【答案】；‎ 【例4】 若展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】选择 ‎【关键字】无 ‎【解析】，‎ 令，解得；令，解得；‎ 于是有，‎ 于是有，由组合数公式得：，‎ 解得，故选B．‎ ‎【答案】B；‎ 【例1】 设为的展开式中含项的系数，则数列的前项和为_____ ‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】，，‎ 因此的前项和为．‎ ‎【答案】；‎ 【例2】 已知展开式的第二项与第三项的系数比是，则________．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】2009年，崇文区1模 ‎【解析】；通项，由题设．‎ ‎【答案】9；‎ 【例3】 在的展开式中，如果第项和第项的二项式系数相等，则第 项为______‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】由题设，，故，；‎ ‎【答案】；‎ 【例1】 若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】填空 ‎【关键字】无 ‎【解析】不难知道只有四个奇数，因此所求概率为．‎ ‎【答案】；‎ 【例2】 已知展开式中最后三项的系数的和是方程的正数解，它的中间项是，求的值．‎ ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】3星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】由得，∴（舍去）或，‎ 由题意知，，解得．‎ 于是展开式的中间项为第4项，从而，‎ 从而，化简得，‎ ‎∴或，‎ ‎∴或．‎ 经检验知，它们都符合题意．‎ 【例3】 设数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项．‎ ‎⑴用表示通项与前项和；‎ ‎⑵若用表示 ‎【考点】求展开式中的指定项 ‎【难度】4星 ‎【题型】解答 ‎【关键字】无 ‎【解析】略 ‎【答案】⑴由题意，可求出，再求通项与前项和．‎ ‎∵，∴．不难得出．‎ 由的通项公式及已知条件有．‎ ‎∴．‎ 前项和．‎ ‎⑵将进行化简：．‎ 当时，．……①‎ 还可以表示为…②‎ ‎①②得 ‎∴．‎ 当时，，此时 ‎．‎ 综上，‎