高考理科数学专题复习练习9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程
第九章解析几何
9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程
专题2
直线的方程
■(2015河北衡水中学高三一调,直线的方程,选择题,理10)设直线l与曲线f(x)=x3+2x+1有三个不同的交点A,B,C,且|AB|=|BC|=,则直线l的方程为( )
A.y=5x+1 B.y=4x+1
C.y=x+1 D.y=3x+1
解析:由题意,曲线f(x)=x3+2x+1是由g(x)=x3+2x向上平移1个单位得到的,
函数g(x)=x3+2x是奇函数,对称中心为(0,0),
故函数f(x)=x3+2x+1的对称中心为B(0,1).
设直线l的方程为y=kx+1,
代入y=x3+2x+1,可得x3=(k-2)x,
∴x=0或x=±.
∴不妨设A(,k+1)(k>2).
∵|AB|=|BC|=,
∴(-0)2+(k+1-1)2=10.
∴k3-2k2+k-12=0.
∴(k-3)(k2+k+4)=0.
∴k=3.
∴直线l的方程为y=3x+1.
答案:D
9.3圆的方程
专题3
与圆有关的最值问题
■(2015河北衡水中学高三一调,与圆有关的最值问题,填空题,理15)若实数a,b,c成等差数列,点P(-1,0)在动直线l:ax+by+c=0上的射影为M,点N(0,3),则线段MN长度的最小值是 .
解析:因为a,b,c成等差数列,故有2b=a+c,即a-2b+c=0,对比方程ax+by+c=0可知,动直线恒过定点Q(1,-2).由于点P(-1,0)在动直线ax+by+c=0上的射影为M,即∠PMQ=90°,所以点M在以PQ为直径的圆上,该圆的圆心为PQ的中点C(0,-1),且半径为,再由点N到圆心C的距离为NC=4,所以线段MN的最小值为NC-r=4-.
答案:4-
9.4直线与圆、圆与圆的位置关系
专题1
直线与圆的位置关系
■(2015河北保定二模,直线与圆的位置关系,填空题,理15)已知圆C:(x-3)2+(y-5)2=5,过圆心C作直线l交圆于A,B两点,交y轴于点P,且2,则直线l的方程为 .
解析:∵过圆心C作直线l交圆于A、B两点,交y轴于点P,且2,
∴||=||,即||=3||=3.
设P点坐标为(0,b),
则=3.
解得b=11,或b=-1.
故直线l的方程为,
即2x-y-1=0或2x+y-11=0.
答案:2x-y-1=0或2x+y-11=0
■(2015辽宁锦州一模,直线与圆的位置关系,填空题,理16)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 .
解析:∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,整理得(x-4)2+y2=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆;
又直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,
∴只需圆C':(x-4)2+y2=1与直线y=kx-2有公共点即可.
设圆心C(4,0)到直线y=kx-2的距离为d,
则d=≤2,即3k2-4k≤0,
∴0≤k≤.
∴k的最大值是.
答案:
9.5椭圆
专题2
椭圆的几何性质
■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,椭圆的几何性质,选择题,理9)已知椭圆=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,P为椭圆上一点,且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2c2,3c2],其中c=,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析:∵|PF1|+|PF2|=2a,
∴|PF1|·|PF2|≤a2,
∴(|PF1|·|PF2|)max=a2.
∴由题意知2c2≤a2≤3c2.
∴c≤a≤c.
∴≤e≤.
故椭圆的离心率e的取值范围为.
答案:D
■(2015江西南昌三模,椭圆的几何性质,选择题,理8)能够把椭圆+y2=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”,下列函数不是椭圆的“可分函数”的为( )
A.f(x)=4x3+x B.f(x)=ln
C.f(x)=sin D.f(x)=ex+e-x
答案:D
专题3
直线与椭圆的位置关系
■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)
如图,F1,F2为椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,D,E是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率e==1-.若点M(x0,y0)在椭圆C上,则点N称为点M的一个“椭点”.直线l与椭圆交于A,B两点,A,B两点的“椭点”分别为P,Q,已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)△AOB的面积是否为定值?若为定值,试求出该定值;若不为定值,请说明理由.
解:(1)∵椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e==1-,
∴①,(a-c)b=1-②,又a2=b2+c2③,
由①②③组成方程组,解得a2=4,b2=1.
∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则P,Q.
∵,∴+y1y2=0.(*)
设直线l的方程为my+t=x,联立化为(4+m2)y2+2mty+t2-4=0.
∵直线l与椭圆相交于两点,∴Δ=4m2t2-4(4+m2)·(t2-4)>0,化为m2+4>t2.(**)
∴y1+y2=-,y1y2=,
∴x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2,
代入(*)可得(m2+4)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0.
∴t2-4-+t2=0,
∴t2=,代入(**)知成立.
|AB|=
=
=.
点O到直线AB的距离d=.
S△AOB=|AB|·d=1为定值.
■(2015江西南昌三模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)已知抛物线C:x2=y,直线l与抛物线C交于不同两点A,B,且=(p,6).
(1)设直线m为线段AB的中垂线,请判断直线m是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.
(2)记点A,B在x轴上的射影分别为A1,B1,记曲线E是以A1B1为直径的圆,当直线l与曲线E相离时,求p的取值范围.
解:(1)设A(xA,),B(xB,),因为A,B是不同的两点,所以xA≠xB且l不与x轴垂直.
∵=(p,6),∴xA+xB=p,=6.
∴AB的中点坐标为.
kl=kAB==xA+xB=p,
当p≠0时,直线m的斜率km=-=-.
∴直线m的方程为y-3=-,
即y=-x+.令x=0得y=.
即直线m恒过定点.
当p=0时,直线m的方程为x=0,也过点.故m恒过定点.
(2)由第(1)问可设直线AB的方程为y-3=p,即y=px+3-,
联立消去y得x2-px+-3=0.
所以
所以|A1B1|=|x1-x2|=.
所以以A1B1为直径的圆的方程为+y2=.
当直线l与曲线E相离时,圆心到直线l的距离d>r,即.
所以⇒6>,即36>(12-p2)(p2+1).
所以p4-11p2+24>0⇒(p2-3)·(p2-8)>0,即p2>8或p2<3.
故p∈(-2,-2)∪(-)∪(2,2).
■(2015河北邯郸二模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F1的直线与椭圆相交于P,Q两点,设△PQF2内切圆的面积为S,求S最大时圆的方程.
解:(1)由题意,椭圆=1(a>b>0)的离心率为,
故设椭圆方程为=1.
将代入上式,得m2=1.
所以椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)设直线PF1的方程为x=ny-1,与椭圆联立得,(n2+2)y2-2ny-1=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=,
∴|y1-y2|==2.
令t=n2+1,
则|y1-y2|=2=2,
当且仅当n=0时等号成立.
由题意,因为△PQF2的周长为定值,
因此当△PQF2面积取最大值时,它的内切圆面积S也取得最大值,
而|F1F2||y1-y2|=|y1-y2|.
所以,当n=0时,S取得最大值.
此时,△PQF2的内切圆圆心一定在x轴上,
设其坐标为(x0,0),取点P的坐标为,
则PF2的方程为x+4y-=0.
∴|x0+1|==r,得x0=-(x0=-2舍去).
∴r=,圆心为,此时圆的方程为+y2=.
■
(2015河北衡水中学高三一调,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的.如图,椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点.椭圆C1:=1(a>b>0)的长轴长是4,椭圆C2:=1(m>n>0)短轴长是1,点F1,F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点,
(1)求椭圆C1,C2的方程;
(2)过F1的直线交椭圆C2于点M,N,求△F2MN面积的最大值.
解:(1)设椭圆C1的半焦距为c,椭圆C2的半焦距为c'.由已知a=2,b=m,n=.
∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等,即,
∴,
即.
∴,即bm=b2=an=1,∴b=m=1.
∴椭圆C1的方程是+y2=1,椭圆C2的方程是y2+=1.
(2)显然直线的斜率不为0,故可设直线的方程为:x=my-.
联立得y2+4(my-)2-1=0,
即(1+4m2)y2-8my+11=0,
∴Δ=192m2-44(1+4m2)=16m2-44>0.设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1+y2=,y1y2=,
∴|MN|=2,
△F2MN的高即为点F2到直线l:x-my+=0的距离h=.
∴△F2MN的面积S=|MN|h=2,
∵≥2=4,
当且仅当,即m=±时等号成立,
∴S≤,即△F2MN的面积的最大值为.
■(2015辽宁丹东二模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)平面直角坐标系xOy中,经过椭圆C:=1(a>b>0)的一个焦点的直线x-y-=0与C相交于M,N两点,P为MN的中点,且OP斜率是-.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l分别与椭圆C和圆D:x2+y2=r2(b
b>0)的右焦点为F2(1,0),点H在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P,Q两点,求证:△PF2Q的周长是定值.
(1)解:根据已知,椭圆的左右焦点分别是F1(-1,0),F2(1,0),c=1,
∵H在椭圆上,
∴2a=|HF1|+|HF2|=,
∴a=3,b2=a2-c2=8,
椭圆的方程是=1.
(2)证明:方法1:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=1.
|PF2|=,
∵00),
由得(8+9k2)x2+18kmx+9m2-72=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
∴|PQ|=|x1-x2|=
=.
∵PQ与圆x2+y2=8相切,
∴=2,即m=2.
∴|PQ|=-.
∴|PF2|=
=.
∵0b>0)的左右焦点,A1,A2分别为其左、右顶点,过F2且与x轴垂直的直线l与椭圆相交于M,N两点.若四边形A1MA2N的面积等于2,且满足||=|+||.
(1)求此椭圆的方程;
(2)设☉O的直径为F1F2,直线l:y=kx+m与☉O相切,并与椭圆交于不同的两点P,Q,若=λ,且λ∈,求△POQ的面积S的取值范围.
解:(1)∵l与x轴垂直,∴l的方程为x=c,
代入椭圆方程得y=±.
∴四边形A1MA2N面积:2××2a×=2b2=2,即b2=1.①
易知:||=a+c,||=,||=a-c.
∵||=|+||,∴a+c=+a-c,即ac=.②
又a2=b2+c2,③
联立①②③解得a=,b=1.
∴椭圆的方程为+y2=1.
(2)由(1)可知☉O的方程为x2+y2=1.
∵直线l:y=kx+m与☉O相切,∴=1,即m2=k2+1.
联立方程组消元整理得:(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.③
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1,x2是方程③的两个解,
由韦达定理得:x1+x2=-,x1x2=,
∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=.
∴=x1x2+y1y2==λ.
将m2=k2+1代入得:=λ,
∵λ∈,∴,解得≤k2≤1.
∵|PQ|=,d=1,
∴S△POQ=·|PQ|·d=.④
令t=2k2+1,则k2=,代入④得:S△POQ=.
∵≤k2≤1,∴2≤t≤3,
∴,∴,
∴≤S△POQ≤,
即△POQ的面积S的取值范围是.
■(2015辽宁锦州一模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,其左、右焦点分别是F1,F2,过点F1的直线l交椭圆C于E,G两点,且△EGF2的周长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B,设P为椭圆上一点,且满足=t(O为坐标原点),当||<时,求实数t的取值范围.
解:(1)由题意知椭圆的离心率e=,
∴e2=,即a2=2b2.
又△EGF2的周长为4,即4a=4,
∴a2=2,b2=1.
∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由题意知直线AB的斜率存在,即t≠0.
设直线AB的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
由得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,
由Δ=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)>0,得k2<.
根据韦达定理得:x1+x2=,x1x2=,
∵=t,
∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),
x=,
y=[k(x1+x2)-4k]=.
∵点P在椭圆C上,∴16k2=t2(1+2k2),
∵||<,∴|x1-x2|<.
∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<,
∴(1+k2),
∴(4k2-1)(14k2+13)>0,
∴k2>,
∴0,b>0)称为黄金双曲线.给出以下几个说法:
(1)双曲线x2-=1是黄金双曲线;
(2)若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线;
(3)若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2,∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线;
(4)若F1,F2为左右焦点,A1,A2为左右顶点,B1(0,b),B2(0,-b)且∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为 .
解析:(1)双曲线x2-=1中,e=,
∴双曲线x2-=1是黄金双曲线,故(1)正确;
对于(2),∵b2=ac,则e=,
∴e2-e-1=0,
解得e=或e=(舍),
∴该双曲线是黄金双曲线,故(2)正确;
对于(3),如图,MN经过右焦点F2,且MN⊥F1F2,∠MON=90°,
∴NF2=OF2,∴=c,∴b2=ac.
由(2)知该双曲线是黄金双曲线,故(3)正确;
对于(4),如图,F1,F2为左右焦点,A1,A2为左右顶点,
B1(0,b),B2(0,-b),且∠F1B1A2=90°,
∴B1+B1=A2,即b2+2c2=(a+c)2,
整理,得b2=ac,由(2)知该双曲线是黄金双曲线,故(4)正确.
答案:(1)(2)(3)(4)
■(2015江西南昌三模,双曲线的几何性质,选择题,理6)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
答案:A
■(2015河北保定二模,双曲线的几何性质,选择题,理9)已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线都与圆(x-c)2+y2=ac(其中c=)相切,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
解析:取双曲线的渐近线y=x,即bx-ay=0.
∵双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与(x-c)2+y2=ac相切,
∴圆心(c,0)到渐近线的距离d=r,
∴,化为b2=ac,
两边平方得ac=c2-a2,化为e2-e-1=0.
∵e>1,
∴e=.
答案:D
■(2015河北邯郸二模,双曲线的几何性质,选择题,理10)双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若F关于直线y=x的对称点P在双曲线上,则C的离心率为( )
A.2 B. C. D.+1
解析:双曲线=1的右焦点F(c,0),
设F(c,0)关于直线y=x的对称点为P(x0,y0),
则解得
即P.
代入双曲线=1得e2=4-2(舍),或e2=4+2.
∴e=+1.
答案:D
■(2015辽宁丹东二模,双曲线的几何性质,填空题,理14)双曲线=1的渐近线方程为y=±x,则它的离心率为 .
解析:双曲线=1的渐近线方程为y=±x,
又已知双曲线=1的渐近线方程为y=±x,
即有,
即b=2a.
故c=a,
因此,e=.
答案:
■(2015辽宁丹东一模,双曲线的几何性质,选择题,理11)经过双曲线=1(a>b>0)的右焦点F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于M,N两点,若O是坐标原点,△OMN的面积是a2,则该双曲线的离心率是( )
A.2 B. C. D.
解析:双曲线=1(a>b>0)的渐近线方程为y=±x.
设两条渐近线的夹角为θ,
则tanθ=tan∠MON=,
设FN⊥ON,则F到渐近线y=x的距离为d==b,
即有|ON|==a,
则△OMN的面积可以表示为·a·atanθ=,
解得a=2b,
则e=.
答案:C
■(2015辽宁锦州二模,双曲线的几何性质,选择题,理11)过双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点F向其一条渐近线作垂线l,垂足为A,l与另一条渐近线交于B点,若=2,则双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.
解析:如图,过F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为A,
延长FA与另一条渐近线交于点B.所以FB⊥OA,
又∵=2,∴A为线段FB的中点,
∴∠2=∠4,又∠1=∠3,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3.
故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒.
∴=3,∴e2==4⇒e=2.
答案:A
9.7抛物线
专题1
抛物线的定义与标准方程
■(2015辽宁葫芦岛二模,抛物线的定义与标准方程,选择题,理4)若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则a+b的最大值为( )
A. B.1 C. D.2
解析:抛物线C1:y2=4x的焦点为(1,0),即有双曲线的右焦点为(1,0),
即c=1,a2+b2=1,
令a=cosα,b=sinα,
则a+b=cosα+sinα=sin.
当α+时,sin取得最大值1,
即有a+b取得最大值.
答案:A
专题2
抛物线的几何性质
■(2015辽宁丹东二模,抛物线的几何性质,选择题,理11)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点E在C的准线上,且在x轴上方,线段EF的垂直平分线经过C上一点M,且与C的准线交于点N,则|MF|=( )
A.5 B.6 C.10 D.5或10
解析:如图,MN与C的准线交于点N,
∴p=2.
∴抛物线方程为y2=4x,得F(1,0).
设E(-1,m)(m>0),
则EF中点为G,kEF=-.
又N,
∴kNG=,则-=-1,解得m=4.
∴kNG=,
则NG所在直线方程为y-(x+1),
即x-2y+4=0.
联立y2=4x,得M(4,4),
∴|MF|=4+1=5.
答案:A
■(2015辽宁丹东一模,抛物线的几何性质,填空题,理15)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F,点M(0,2),线段MF与C的交点是N,过N作C准线的垂线,垂足是Q,若∠MQF=90°,则p= .
解析:如图所示,
∵∠MQF=90°,|NF|=|NQ|,
∴点N是Rt△MQF的中点,
∴N,|NQ|=|MF|.
∴,
∴p2=2.
解得p=.
答案:
■(2015辽宁锦州一模,抛物线的几何性质,选择题,理10)已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为( )
A.=1 B.y2-=1
C.-x2=1 D.=1
解析:抛物线y2=8x的焦点F(2,0),
双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为ax-by=0.
∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,
∴.
∴b=2a.
∵P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,
∴|FF1|=3.∴c2+4=9.∴c=.
∵c2=a2+b2,b=2a,∴a=1,b=2.
∴双曲线的方程为y2-=1.
答案:B
专题3
直线与抛物线的位置关系
■(2015河北保定二模,直线与抛物线的位置关系,解答题,理20)
如图,已知☉M:(x-4)2+y2=1和抛物线C:y2=2px(p>0,其焦点为F),且,过抛物线C上一点H(x0,y0)(y0≥1)作两条直线分别与☉M相切于A,B两点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)求直线AB在y轴上的截距的最小值.
解:(1)由题意知☉M的圆心M的坐标为(4,0),
抛物线C的焦点为.
由,
圆心M到抛物线C的焦点的距离为,即4-,解得p=.
从而抛物线C的方程为y2=x.
(2)由(1)知,设点H(,y0),
则HM的中点.
以HM为直径的圆为.①
☉M:(x-4)2+y2=1.②
①-②得:直线AB的方程为(4-)x-y0y+4-15=0.
令x=0,得直线AB在y轴上的截距为d==4y0-(y0≥1).
函数f(y0)=4y0-在[1,+∞)上单调递增,
∴直线AB在y轴上的截距的最小值为4×1-=-11.
■(2015河北邯郸二模,直线与抛物线的位置关系,选择题,理5)已知抛物线y2=4x,过抛物线焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,则|AB|=( )
A. B. C.5 D.
解析:根据抛物线y2=4x方程得:焦点坐标F(1,0),
直线AB的斜率为k=tan.
由直线方程的点斜式方程,可设AB:y=(x-1).
将直线方程代入到抛物线方程当中,得3(x-1)2=4x,
整理得3x2-10x+3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=,x1·x2=1,
所以弦长|AB|=|x1-x2|
=.
答案:D
■(2015辽宁锦州二模,直线与抛物线的位置关系,填空题,理16)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A,B两点,则的值等于 .
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2,
|AB|=x1+x2+p=p,即有x1+x2=p,
由直线l的倾斜角为60°,
则直线l的方程为y-0=,
即y=x-p,联立抛物线方程,
消去y并整理,得
12x2-20px+3p2=0,
则x1x2=,可得x1=p,x2=p.
则=3.
答案:3