高中数学人教a版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评25 word版含答案

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学业分层测评（二十五） (建议用时：45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1．(2016·温州高一检测)在空间直角坐标系中，点 P(1,3，－5)关于平面 xOy 对称的点的坐标是( ) A．(－1,3，－5) B．(1,3,5) C．(1，－3,5) D．(－1，－3,5) 【解析】 P(1,3，－5)关于平面 xOy 对称的点的坐标为(1,3,5)． 【答案】 B 2．点 P 6 6 ， 3 3 ， 2 2 到原点 O 的距离是( ) A. 30 6 B．1 C. 33 6 D. 35 6 【解析】 |PO|＝ 6 6 2＋ 3 3 2＋ 2 2 2＝1. 【答案】 B 3．与 A(3,4,5)，B(－2,3,0)两点距离相等的点 M(x，y，z)满足的条件是( ) A．10x＋2y＋10z－37＝0 B．5x－y＋5z－37＝0 C．10x－y＋10z＋37＝0 D．10x－2y＋10z＋37＝0 【解析】 由|MA|＝|MB|，得(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2， 化简得 10x＋2y＋10z－37＝0，故选 A. 【答案】 A 4．已知点 A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为( ) A．3 3 B．3 6 C．2 3 D．2 6 【解析】 |AB|＝ 2a－12＋－7－a2＋－2＋52 ＝ 5a2＋10a＋59 ＝ 5a＋12＋54， 当 a＝－1 时，|AB|min＝ 54＝3 6. 【答案】 B 5．如图 433，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1， A1C 的中点 E 到 AB 的中点 F 的距离为( ) 图 433 A. 2a B. 2 2 a C．a D.1 2a 【解析】 由题意得 F a，a 2 ，0 ，A1(a,0，a)，C(0，a,0)， ∴E a 2 ，a 2 ，a 2 ，则|EF|＝ a－a 2 2＋ a 2 －a 2 2＋ 0－a 2 2＝ 2 2 a. 【答案】 B 二、填空题 6．点 P(1,2，－1)在 xOz 平面内的射影为 B(x，y，z)，则 x＋y＋z＝________. 【导学号：09960148】 【解析】 点 P(1,2，－1)在 xOz 平面内的射影为 B(1,0，－1)， ∴x＝1，y＝0，z＝－1， ∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0. 【答案】 0 7．(2016·景德镇高一检测)在空间直角坐标系中，以 O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)， C(0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________． 【解析】 S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝1 2 ×2×2 ＝2， S△ABC＝ 3 4 ×|AB|2＝ 3 4 ×8＝2 3， 故三棱锥的表面积 S＝6＋2 3. 【答案】 6＋2 3 三、解答题 8．已知点 A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，判断△ABC 的形状． 【解】 |AB|＝ －4＋102＋－1－12＋－9＋62＝ 49， |BC|＝ －10＋22＋1＋42＋－6＋32＝ 98， |AC|＝ －4＋22＋－1＋42＋－9＋32＝ 49. 因为|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 所以△ABC 为等腰直角三角形． 9．在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点 M 是 B1C1 的中 点，点 N 是 AB 的中点．建立如图 434 所示的空间直角坐标系． 图 434 (1)写出点 D，N，M 的坐标； (2)求线段 MD，MN 的长度； (3)设点 P 是线段 DN 上的动点，求|MP|的最小值． 【解】 (1)D(0,0,0)，N(2,1,0)，M(1,2,3)． (2)|MD|＝ 1－02＋2－02＋3－02＝ 14， |MN|＝ 2－12＋1－22＋0－32＝ 11. (3)在 xDy 平面上， 设点 P 的坐标为(2y，y,0)，y∈[0,1]， 则|MP|＝ 2y－12＋y－22＋0－32 ＝ 5y2－8y＋14 ＝ 5 y－4 5 2＋54 5 . 因为 y∈[0,1]，所以当 y＝4 5 时， |MP|取最小值 54 5 ，即3 30 5 . [自我挑战] 10．在平面直角坐标系 Oxyz 中，M 与 N 关于 xOy 面对称，OM 与平面 xOy 所 成的角是 60°，若|MN|＝4，则|OM|＝( ) A．4 B．1 C.4 3 3 D．2 【解析】 由题意知 MN⊥平面 xOy，设垂足为 H， 则|MH|＝|NH|＝1 2|MN|＝2， 又 OM 与平面 xOy 所成的角为 60°， 则|OM|sin 60°＝|MH|. ∴|OM|＝ 2 3 2 ＝4 3 3 . 【答案】 C 11．已知直三棱柱 ABCA1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E， F，M，N 分别是 A1B1，AB，C1B1，CB 的中点．如图 435 所示，建立空间直角坐 标系． 图 435 (1)在平面 ABB1A1 内找一点 P，使△ABP 为等边三角形； (2)能否在 MN 上求得一点 Q，使△AQB 为以 AB 为斜边的直角三角形？若能， 请求出点 Q 的坐标；若不能，请予以证明． 【解】 (1)因为 EF 是 AB 的中垂线，在平面 ABB1A1 内只有 EF 上的点与 A， B 两点的距离相等，又 A(2,0,0)，B(0,4,0)，设点 P 坐标为(1,2，m)， 由|PA|＝|AB|得 1－22＋2－02＋m－02＝ 20. 所以 m2＝15. 因为 m∈[0,4]，所以 m＝ 15， 故平面 ABB1A1 内的点 P(1,2， 15)， 使得△ABP 为等边三角形． (2)设 MN 上的点 Q(0,2，n)满足题意，由△AQB 为直角三角形，其斜边上的中 线长必等于斜边长的一半， 所以|QF|＝1 2|AB|，又 F(1,2,0)， 则 0－12＋2－22＋n－02 ＝1 2 0－22＋4－02＋0－02， 整理得 n2＋1＝ 5. 所以 n2＝4. 因为 n∈[0,4]，所以 n＝2. 故 MN 上的点 Q(0,2,2)使得△AQB 为以 AB 为斜边的直角三角形．