高二数学下学期期中试题 理（含解析）

高二数学下学期期中试题 理（含解析）

‎【2019最新】精选高二数学下学期期中试题 理（含解析）‎ 选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1.1.复数在复平面上对应的点位于　　‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限 解：∵复数=,∴复数对应的点的坐标是（）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A 考点：复数的实部和虚部 点评：本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在高考题的前几个题目中 ‎2.2.已知，是复数，以下四个结论正确的是　　‎ 若，则，若丨，则，‎ 若，则若，则向量与重合 A. 仅正确 B. 仅正确 C. 正确 D. 仅正确 ‎【答案】A 16 / 16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 举例说明①③④错误；由|z1|+|z2|=0，得|z1|=|z2|=0，从而得到z1=0，z2=0，说明②正确．‎ ‎【详解】①若z1+z2=0，则z1=0，z2=0，错误，如z1=﹣1，z2=1；‎ ‎②若|z1|+|z2|=0，则|z1|=|z2|=0，∴z1=0，z2=0，故②正确；‎ ‎③若z1+=0，则z1=0，错误，如z1=i，；‎ ‎④若|z1|=|z2|，则向量与重合错误，如z1=1+i，z2=1﹣i，满足|z1|=|z2|，但向量与不重合．‎ ‎∴正确的结论是②．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查复数的有关概念，属于基础题．‎ ‎3.3.曲线在点处的切线斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由，得到，把x=0代入得：，则曲线在点A（0，1）处的切线斜率为1．故选A．‎ 考点：1．直线的斜率；2．导数的几何意义．‎ 视频 16 / 16‎ ‎4.4.定义一种运算“”：对于自然数n满足以下运算性质：，，则等于　　‎ A. n B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义中的运算法则，对（n+1）*1=n*1+1反复利用，即逐步改变“n”的值，直到得出运算结果．‎ ‎【详解】∵1*1=1，（n+1）*1=n*1+1，‎ ‎∴（n+1）*1=n*1+1=（n﹣1）*1+1+1=（n﹣2）*1+3=…=[n﹣（n﹣1）]*1+n=1+n，‎ ‎∴n*1=n．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题题型是给出新的运算利用运算性质进行求值，主要抓住运算的本质，改变式子中字母的值再反复运算性质求出值，考查了观察能力和分析、解决问题的能力．‎ ‎5.5.用反证法证明命题：“，可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(   )‎ A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除 C. 不都能被5整除 D.不能被5整除 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 16 / 16‎ 命题：“，可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除的否定是 都不能被5整除,故反证法假设的内容应为 都不能被5整除,故选A.‎ ‎6.6.原命题为“若互为共轭复数，则”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）‎ A. 真，假，真 B. 假，假，真 C. 真，真，假 D. 假，假，假 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设复数，则，所以，故原命题为真；逆命题：若，则互为共轭复数；如，，且，但此时不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若不互为共轭复数，则；如，，此时不互为共轭复，但，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B.‎ 考点：命题以及命题的真假.‎ ‎7.7.用数学归纳法证明等式 时，第一步验证时，左边应取的项是( )‎ A. 1 B. 1+2 C. 1+2+3 D. 1+2+3+4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为1+3=4，所以左边应取的项是1+2+3+4.‎ 考点：本小题主要考查数学归纳法的应用.‎ 16 / 16‎ 点评：应用数学归纳法时，一定要严格遵守步骤，验证第一步时要仔细.‎ ‎8.8.由曲线y＝x2，y＝围成的封闭图形的面积为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由曲线和曲线可得交点坐标为，‎ 则曲线和曲线围成的封闭图形的面积为，故选B.‎ ‎9.9.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 （ )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，得，所以，故选D．‎ 16 / 16‎ 考点：1、导数的几何意义；2、直线的倾斜角．‎ ‎10.10.已知，且，则为虚数单位的最小值是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数|z|=1的几何意义即可求得|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值．利用复数|z|=1的几何意义即可求得|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值．‎ ‎【详解】∵|z|=1且z∈C，作图如图：‎ ‎∵|z﹣2﹣2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P（2，2）的距离，‎ ‎∴|z﹣2﹣2i|的最小值为：|OP|﹣1=2﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查复数求模，着重考查复数模的几何意义，考查作图、用图的能力，属于中档题．‎ ‎11.11.函数在内有极小值，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 16 / 16‎ 分析：该题考查的是有关函数极值的问题，该题等价于导数等于零对应的二次方程在相应区间上有较大的根，之后转化为一元二次方程根的分布问题来解决即可.‎ 详解：，函数在内有极小值，等价于方程在区间上有较大根，即，解得，故选A,‎ 点睛：解决该题的关键是要明确函数的极值点的位置，以及极值点存在的条件，还有极值点的求解方法，除此之外，还需要明确极大值与极小值的区别所在.‎ ‎12.12.用数学归纳法证明不等式的过程中,由到时,不等式的左边　(　　)‎ A. 增加了一项 B. 增加了两项+‎ C. 增加了两项+,又减少了一项 D. 增加了一项,又减少了一项 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 当时,不等式左边为++…+++,故增加了两项+,减少了一项,故选C.‎ 填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.13.已知i为虚数单位，则______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎.‎ ‎14.14.函数在时有极值为10，则的值为______．‎ 16 / 16‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得 ，解方程得出a，b的值，最后求它们的即可．‎ ‎【详解】对函数f（x）求导得 f′（x）=3x2+2ax+b，‎ 又∵在x=1时f（x）有极值10，‎ ‎∴，‎ 解得 或 ，‎ 验证知，当a=﹣3，b=3时，在x=1无极值，‎ 故 a+b的值﹣7．‎ 故答案为：﹣7‎ ‎【点睛】掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力．‎ ‎15.15.已知有下列各式：，，成立，观察上面各式，按此规律若，则正数______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 16 / 16‎ 由已知中的不等式，归纳推理得：x+≥n+1，进而根据n+1=5，求出n值，进而得到a值．‎ ‎【详解】由已知中：x∈（0，+∞）时，‎ x+≥2，x+=++≥3，x+=+++≥4‎ ‎…‎ 归纳推理得：x+≥n+1，‎ 若x+≥5，‎ 则n+1=5，即n=4，‎ 此时a=nn=44，‎ 故答案为44．‎ ‎【点睛】常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎16.16.______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由定积分的几何意义求得dx，直接求定积分得到sinxdx，则答案可求．‎ ‎【详解】求dx﹣sinxdx．‎ 16 / 16‎ 由定积分的几何意义可知，dx是以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆的面积，等于．‎ sinxdx=．‎ ‎∴dx﹣sinxdx=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了定积分，考查了定积分的几何意义，是基础的计算题．‎ 解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.17.已知，复数．‎ 实数m取什么值时，复数z为实数、纯虚数；‎ 实数m取值范围是什么时，复数z对应的点在第三象限．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由虚部为0求得使z为实数的m值，再由实部为0且虚部不为0求得使z为纯虚数的m值；‎ ‎（2）由实部与虚部均小于0求解．‎ ‎【详解】解：当，即时，‎ 复数为实数；‎ 当，即时，‎ 复数是纯虚数；‎ 由题意，，解得．‎ 当时，复数z对应的点在第三象限．‎ 16 / 16‎ ‎【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎18.18.数列的前n项和记为，已知，2，．‎ 证明：数列是等比数列；‎ ‎．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：⑴由，得 ‎∴Sn＝Sn＋1－Sn， 2分 ‎∴Sn＋1＝Sn，‎ ‎∴＝2， 4分 ‎∴数列｛｝为等比数列. 6分 ‎⑵由⑴知｛｝公比为2， 8分 ‎∴＝＝·， 10分 ‎∴Sn＋1＝4an. 12分 考点：等比数列及求和 点评：要证明一数列是等比数列需用定义，如要证明是等比数列只需证明是常数，另本题中用到了关系式 ‎19.19.已知a，，其中e是自然对数的底数，求证：提示：可考虑用分析法找思路 ‎【答案】见解析 16 / 16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要证：ba＞ab只要证：alnb＞blna．只要证＞．构造函数f（x）=，利用函数的单调性即可证明．‎ ‎【详解】证明：，，‎ 要证：只要证：，‎ 只要证，‎ 设，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 函数在上是单调递减．‎ 当时，有，‎ 即，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．‎ ‎20.20.求由抛物线与它在点和点的切线所围成的区域的面积．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：求出函数的切线方程，利用积分的几何意义即可求出区域的面积 16 / 16‎ 试题解析：，，‎ 所以过点A（0，－3）和点B(3，0)的切线方程分别是 ‎ ‎， ……2分 两条切线的交点是（）， …3分 围成的区域如图所示：区域被直线分成了两部 分，分别计算再相加，得：]‎ 即所求区域的面积是。‎ 考点：定积分在求面积中的应用 ‎21.21.设函数在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又 ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若在区间 上恒有成立，求的取值范围 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解：（1）1分 由已知，即 ‎3分 解得4分 ‎7分 ‎（2）令，即 ‎ 或 16 / 16‎ 又在区间上恒成立，14分 考点：二次函数解析式，二次不等式 点评：解决的关键是通过导数的值来求解解析式，以积极通过不等式的求解得到参数的范围，属于中档题。‎ ‎22.22.已知函数．‎ 若，求函数的单调区间；‎ 若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为．（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）f（1）=﹣5，0﹣a﹣3=﹣5，解得a．利用导数研究函数的单调性即可得出．‎ ‎（2）由f（x）=alnx﹣ax﹣3，可得f′（x）=﹣a．由题意可得：f′（2）=﹣a=tan45°=1，解得a=﹣2．可得f′（x）=﹣+2．g（x）=x3+x2=x3+x2﹣2x，g′（x）=3x3+（m+4）x﹣2．g′（0）=﹣2．函数g（x）=x3+x2[f′（x）+]在区间（t，3）上总不是单调函数，可得，由题意可知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立．利用单调性即可得出．‎ ‎【详解】（1）∵f（1）=﹣5，0﹣a﹣3=﹣5，解得a=2．‎ 16 / 16‎ ‎∴f（x）=2lnx﹣2x﹣3．‎ ‎∴f′（x）=﹣2=，（x＞0）．‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．‎ ‎（2）∵f（x）=alnx﹣ax﹣3，∴f′（x）=﹣a．‎ 由题意可得：f′（2）=﹣a=tan45°=1，解得a=﹣2．‎ ‎∴f（x）=﹣2lnx+2x﹣3．f′（x）=﹣+2．‎ g（x）=x3+x2[f′（x）+]=x3+x2=x3+x2﹣2x，‎ ‎∴g′（x）=3x3+（m+4）x﹣2．g′（0）=﹣2．‎ 函数g（x）=x3+x2[f′（x）+]在区间（t，3）上总不是单调函数，‎ ‎∴，由题意可知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立．‎ ‎∴3t2+（m+4）t﹣2＜0，则﹣（m+4）＞3t﹣对任意的t∈[1，2]成立．‎ 又3t﹣在t∈[1，2]为增函数，则﹣（m+4）＞6﹣1，‎ ‎∴＜m＜﹣9．‎ ‎【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．‎ 16 / 16‎ ‎ (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ 16 / 16‎