数学文卷·2018届辽宁省大连市高三第一次模拟考试（2018

数学文卷·2018届辽宁省大连市高三第一次模拟考试（2018

辽宁省大连市2018届高三第一次模拟 数学文试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A．1 B．0 C． D．-1‎ ‎3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.如图所示程序框图是为了求出满足的最小正偶数，那么空白框中及最后输出的值分别是（ ）‎ A．和6 B．和6 C. 和8 D．和8‎ ‎5.函数的部分图象大致为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎6.等差数列的公差不为零，首项，是和的等比中项，则数列的前9项和是（ ）‎ A．9 B．81 C.10 D．90‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示（单位：），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：）是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知首项与公比相等的等比数列中，若满足，则的最小值为（ ）‎ A．1 B． C.2 D．‎ ‎9.过曲线上一点作曲线的切线，若该切线在轴上的截距小于0，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕进行翻折，使为直角，则过四点的球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值可以为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，若上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C.2 D．3‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设实数，满足约束条件，则的最大值为 ．‎ ‎14.已知半径为的圆周上有一定点，在圆周上等可能地任意取一点与点连接，则所得弦长小于的概率为 ．‎ ‎15.已知抛物线，过点任作一条直线和抛物线交于、两点，设点，连接，并延长，分别和抛物线交于点和，则直线过定点 ．‎ ‎16.已知菱形的一条对角线长为2，点为上一点且满足，点为的中点，若，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知的内角的对边分别为，若，且.‎ 求的大小；‎ 求面积的最大值.‎ ‎18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎46.6‎ ‎573‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎215083.4‎ ‎31280‎ 表中，.‎ 根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ 根据的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；‎ 已知这种产品的年利润与、的关系为.根据的结果回答下列问题：‎ 年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ 年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？‎ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：‎ ‎，.‎ ‎19.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，分别是线段，的中点，.‎ 求证：平面；‎ 求到平面的距离.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上.‎ 求椭圆的方程；‎ 已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于两点，求四边形面积的最大值.‎ ‎21. 已知函数，.‎ 若恒成立，求的取值范围；‎ 已知，是函数的两个零点，且，求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，.‎ 求与交点的极坐标；‎ 设点在上，，求动点的极坐标方程.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，.‎ 当时，求不等式的解集；‎ ‎，都有恒成立，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13.14 14. 15. 16.-7‎ 三、解答题 ‎17.解：由可得 ‎，‎ 故，‎ 所以.‎ 方法一：由，根据余弦定理可得，‎ 由基本不等式可得所以，‎ 当且仅当时，等号成立. ‎ 从而，‎ 故面积的最大值为. ‎ 方法二： 因为 所以 ，‎ ‎，‎ 当，即时，，‎ 故面积的最大值为. ‎ ‎18.解：由散点图可以判断适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型. ‎ 令，先建立关于的线性回归方程 ‎，‎ ‎，‎ 所以关于的线性回归方程为，‎ 所以关于的线性回归方程为.‎ 由知，当时，年销售量的预报值为，‎ 年利润的预报值为.‎ 根据的结果知，年利润的预报值 ‎，‎ 当，即时，年利润的预报值最大，‎ 故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.‎ ‎19.方法一：‎ 取中点，连接，‎ 分别是中点, ，‎ 为中点，为正方形，，‎ ‎,四边形为平行四边形，‎ 平面，平面，‎ 平面.‎ 方法二： ‎ 取中点，连接，.‎ 是中点，是中点，，‎ 又是中点，是中点，，‎ ‎，，‎ 又，平面，平面，平面，平面，平面平面.‎ 又平面，平面.‎ 方法三：‎ 取中点，连接，，‎ 在正方形中，是中点，是中点 又是中点，是中点，，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ 平面//平面.‎ 平面 平面.‎ 方法一：‎ 平面，到平面的距离等于到平面的距离，‎ ‎ 平面，，，在中，‎ 平面，，又 ，,，‎ 平面，又平面，‎ ‎,故.‎ ‎ ，‎ 为直角三角形，，‎ 设到平面的距离为，‎ 则，‎ ‎ 到平面的距离.‎ 方法二：‎ 平面，‎ 点到平面的距离等于点到平面的距离，‎ 又 平面,是中点，‎ 点到平面的距离等于点到平面距离的2倍. ‎ 取中点,连接,由得,‎ 由,,, 平面，‎ 平面，平面，‎ 又 平面，平面平面.‎ 又平面平面，，平面，‎ 平面，‎ 长即为点到平面的距离，‎ 由，，.‎ 点到平面的距离为，‎ 即点到平面的距离为.‎ ‎20. 解：由可得，，又因为，所以.‎ 所以椭圆方程为，又因为在椭圆上，所以.‎ 所以，所以，故椭圆方程为. ‎ 方法一：设的方程为，联立，‎ 消去得，设点，‎ 有 所以令，‎ 有，由 函数，‎ ‎ ‎ 故函数，在上单调递增，‎ 故，故 当且仅当即时等号成立，‎ 四边形面积的最大值为. ‎ 方法二：设的方程为，联立，‎ 消去得，设点，‎ 有 ‎ 有，‎ 点到直线的距离为，‎ 点到直线的距离为，‎ 从而四边形的面积 令，‎ 有，‎ 函数，‎ ‎ ‎ 故函数，在上单调递增，‎ 有，故当且仅当即时等号成立，四边形面积的最大值为. ‎ 方法三：①当的斜率不存在时，‎ 此时，四边形的面积为.‎ ②当的斜率存在时，设为：， 则 ‎ ，‎ ‎，‎ 四边形的面积 令 则 ‎ ‎ ,‎ 综上，四边形面积的最大值为. ‎ ‎21.解：令，有，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值，为， ‎ 若恒成立，则即. ‎ 方法一：，，‎ ‎，‎ 即 ‎， ‎ 欲证：，只需证明，只需证明，‎ 只需证明.‎ 设，则只需证明，‎ 即证：. ‎ 设，，‎ 在单调递减，，‎ ‎，所以原不等式成立. ‎ 方法二：由（1）可知，若函数 有两个零点，有，则，且， ‎ 要证，只需证，由于在上单调递减，从而只需证，由，‎ 只需证， ‎ 又，‎ 即证 即证，.‎ 令，，‎ 有在上单调递增，，.‎ 所以原不等式成立. ‎ ‎22.解：联立，， ‎ ‎，，‎ ‎，‎ 交点坐标.‎ 设,且，，‎ 由已知，得，‎ ‎，点的极坐标方程为.‎ ‎23.解：当m=-2时，,‎ 当解得当恒成立 当解得 此不等式的解集为.‎ 当时，‎ 当时，不等式化为.‎ 由 当且仅当即时等号成立.‎ ‎，.‎ 当时，不等式化为.‎ ‎，令，.‎ ‎，‎ 在上是增函数.‎ 当时，取到最大值为.‎ ‎.‎ 综上.‎