数学文卷·2019届广东省中山一中、仲元中学等七校高二3月联考（2018-03）

数学文卷·2019届广东省中山一中、仲元中学等七校高二3月联考（2018-03）

七校联合体2019届高二3月联考试卷 文科数学 命题人：中山一中 审题人：‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2．下列有三种说法： ‎ ‎①命题“＞3x”的否定是“＜3x”；‎ ‎②已知p、q为两个命题，若为假命题，则 为真命题；‎ ‎③命题“若xy=0，则x=0且y=0”为真命题. 其中正确的个数为（ ）‎ A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 ‎3．等比数列中，公比，，则（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎4．若满足约束条件,则的最小值为（ ）‎ A．20 B．22 C．24 D．28‎ ‎5．曲线 在处的切线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎6．若,则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7．已知，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知定义域为R的函数为增函数，且函数为偶函数，则下列结论不成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9.方程在[0，1]上有实数根，则m的最大值是（ ）‎ A.0 B.-2 C.-3 D. 1‎ ‎10．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．已知分别是双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于A、B两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3， 4，5，6的横、纵坐标分别对应数列的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去，则 =（ ）‎ A.1003 B.1005 C.1006 D.2011‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13． 以、为焦点的椭圆＝１（）上顶点P，当=120°时，则此椭圆离心率e的大小为 ．‎ ‎14．已知两点，点P是圆上任意一点，则的面积的最小值为 ． ‎ ‎15．右边的框图运行后，若输入n的值为60，则输出的结果是　　 　　．‎ ‎16．某农场农作物使用肥料量x与产量y的统计数据如下表：‎ 肥料最x（吨）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 产量y（吨）‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎49‎ ‎54‎ 根据上表，可得回归方程y=bx+a中的b为9.4，据此模型，预报使用肥料量为6吨时产量为　　　 　吨． ‎ 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为，‎ 向量 向量.‎ ‎ （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积。‎ ‎18．(本小题满分12分) 某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：‎ 第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，‎ 第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．‎ ‎(1)上表是年龄的频数分布表，求正整数的值；‎ ‎(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？‎ ‎(3)在(2)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．‎ ‎19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面，且，‎ 若、分别为、的中点.‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎（3）求四棱锥的体积.‎ ‎20． (本题满分12分)已知函数 . （1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）函数在上是减函数，求实数a的取值范围.‎ ‎21．（本小题满分12分）设都是各项为正数的数列，对任意的正整数，都有成等差数列，成等比数列．‎ ‎（1）试问是否成等差数列？为什么？‎ ‎（2）如果，求数列的前项和．‎ ‎22．（本小题满分12分）已知椭圆C的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为。（1）求椭圆C的方程；（2）设A、B为椭圆上的两个动点，，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．‎ 七校联合体高二文数联考试题参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C C B C C D D A A B B 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13． 14. 15．63 16．65.5 ‎ 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为，‎ 向量 向量.‎ ‎ （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积。‎ 解：（1）‎ ‎（2）由余弦定理知：‎ ‎18．(本小题满分12分) 某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：‎ 第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，‎ 第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．‎ ‎(1)上表是年龄的频数分布表，求正整数的值；‎ ‎ (2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？‎ ‎(3)在(2)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．‎ 解：(1)由题设可知，， . ……2分 ‎(2) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，‎ 利用分层抽样在300名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为：‎ 第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为， ‎ 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． …………5分 ‎(3)设第1组的1位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从6位同学中抽两位同学有：‎ 共种可能． …………8分 其中2人年龄都不在第3组的有：共1种可能，…………10分 所以至少有1人年龄在第3组的概率为． …………12分 ‎19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面，且，‎ 若、分别为、的中点.‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎（3）求四棱锥的体积.‎ 解：（1）证明：连结AC，则是的中点，在△中，EF∥PA，……2分 ‎ 且PA平面PAD，EF平面PAD， ∴EF∥平面PAD …………4分 ‎（2）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ ‎ 又CD⊥AD，所以，CD⊥平面PAD，…………7分 又CD 平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC. …………8分 ‎(3) ,,‎ ‎…………9分 又由（2）可知CD⊥平面PAD，CD=2，…………10分 ‎…………11分 ‎…………12分 ‎20．(本题满分12分)已知函数 . （1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）函数在上是减函数，求实数a的取值范围.‎ 解: （1） …………1分 ‎ ‎ ‎ ……………………………4分 函数的定义域为（0，+∞），在区间（0，），（1，+∞）上f ′（x）＜0. 函数为减函数；在区间（，1）上f ′（x）＞0. 函数为增函数. ……………6分 ‎（2）函数在（2，4）上是减函数，则，在x∈（2，4）上恒成立. …………7分 ‎ ………………8分 ‎…………………10分 ‎ ……………………………………11分 实数a的取值范围 ……………………………………12分 ‎21．（本小题满分12分）设都是各项为正数的数列，对任意的正整数，都有成等差数列，成等比数列．‎ ‎（1）试问是否成等差数列？为什么？‎ ‎（2）如果，求数列的前项和．‎ 解：由题意，得， ①‎ ‎ ② ………………………………………2分 ‎（1）因为，所以由式（2）得，从而当时，，‎ 代入式（1）得， ……………………………………5分 即，故是等差数列．………………………6分 ‎（2）由及式①，式②，易得 …………8分 因此的公差，从而，‎ 得 从而有 ③‎ 又也适合式③，故 ，…………10分 所以，‎ 从而 ………12分 ‎22．（本小题满分12分）已知椭圆C的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为。（1）求椭圆C的方程；（2）设A、B为椭圆上的两个动点，，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．‎ 解：（1）设椭圆C的方程为．‎ 由题意可得：，，． ………………4分 ‎（2）（1）当直线AB的斜率存在时，‎ 设直线AB的方程为 ‎，‎ ‎， ……………6分 ‎， …………………8分 即，‎ ‎ ① …………9分 又， ②‎ 又点在直线AB上，‎ ‎ ③ …………………………10分 把②③代入①得，‎ 点D的轨迹方程为 ； …………………………………11分 ‎（2）当直线AB的斜率不存在时，，满足 综合（1）（2）知点D的轨迹方程为 ． ………………………………12分