【数学】2018届一轮复习人教A版2-7对数与对数函数学案
第07节 对数与对数函数
【考纲解读】
考 点
考纲内容
5年统计
分析预测
对数运算
1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.
2．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.
3.了解对数函数的变化特征.
2013•浙江理3；
2014•浙江文8；理7；
2015•浙江文9；理10，12；
2016•浙江文,5；理12；
1.对数运算；
2.对数函数的图象和性质及其应用.
3.备考重点：
（1）对数运算
（2）对数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；
（3）图象过定点；
（4）底数分类讨论问题.
对数函数的图象和性质
【知识清单】
1. 对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
对点练习
设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A. B.10 C.20 D.100
【答案】A
则.解得.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1)
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
对点练习
【2017浙江台州中学月考】等于（ ）
A.lg2 B.lg3 C.4 D.lg5
【答案】A.
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0
1时，y>0；
当01时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
对点练习
【2017天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为
（A） （B） （C） （D）
【答案】
所以，故选C．
【考点深度剖析】
从近几年的高考试题来看，对数运算、对数函数的图象和性质及其应用是高考的热点，题型多以选择题、填空题为主，偶尔有以大题中关键一步的形式出现，主要考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等. 另外底数多含参数、考查分类讨论．常常以分段函数的形式与指数函数综合考查.
【重点难点突破】
考点1 对数的化简、求值
【1-1】求值
【答案】-4
【解析】；
【1-2】已知，求的值.
【答案】2
.
【1-3】若则________,用表示为________.
【答案】 12 ，.
【解析】∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3，
a2m+n=(am)2×an=22×3=12，
.
【领悟技法】
1.对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此，经常会用到换底公式及其推论；在对含有字母的对数式化简时，必须保证恒等变形．
2. (a>0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意灵活运用．
3.利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化．
4.有限制条件的对数化简、求值问题，往往要化简已知和所求，利用“代入法”.
【触类旁通】
【变式一】【2017江西百所重点高中模拟】设函数，则__________．
【答案】6
【解析】
【变式二】【2017北京】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
（A）1033 （B）1053
（C）1073 （D）1093
【答案】D
【解析】
设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.
考点2 对数函数的图象及其应用
【2-1】【2017河南郑州一模】若函数的值域为，则函数的图象大致是( )
【答案】B
【2-2】【2017河北衡水调研】已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】如图，在同一坐标系中分别作出与的图象，其中表示直线在轴上截距.
由图可知，当时，直线与只有一个交点.
【2-3】当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是( )
A. B.
C．(1，) D．(，2)
【答案】B
综上，可得a的取值范围是.
【2-4】已知函数若关于的方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在时，是增函数，值域为，在时，是减函数，值域是，因此方程有两个不等实根，则有.
【领悟技法】
1. 的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线的右侧，时，底大图低（靠近轴）；时，底大图高（靠近轴）．（2）左右比较（比较图象与的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.
2. 涉及对数函数的定义域问题，要考虑底数大于零且不为1，真数大于零．
3.涉及对数函数单调性问题，要注意底数的不同取值情况．
【触类旁通】
【变式一】【2017河南（中原名校）模拟】若函数的两个零点是，则（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
，所以，应选答案C。
【变式二】【2017课标II】函数 的单调递增区间是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数有意义，则： ，解得： 或 ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为 .
故选D.
考点3 对数函数性质及其应用
【3-1】若，则a的取值范围是( )
A.(0，1) B.
C. D.(0，1)∪(1，＋∞)
【答案】C
【3-2】函数的最小值为_________.
【答案】
【解析】
所以，当，即时，取得最小值.
所以答案应填：.
【领悟技法】
1. 比较两个对数值的大小，若同底数，考虑应用函数的单调性；若底数不同，首先化同底数.
2.对数函数的定义域、值域问题，要考虑底数大于零且不为1，真数大于零．
3.数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想的应用，是本节的一突出特点．
【触类旁通】
【变式一】【2017课标1】已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．y=的图像关于直线x=1对称 D．y=的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【变式二】若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________.
【答案】[1，2)
【解析】令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a＜2，即a∈[1，2).．
【变式三】已知函数 (a>0，且a≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】当时，在[1，2]上是减函数，由在区间[1，2]上恒成立，
则，解之得。若时，在[1，2]上是增函数，
由在区间[1，2]上恒成立，
则，且.
∴，且，故不存在.
综上可知，实数a的取值范围是.
【易错试题常警惕】
易错典例：函数的单调递增区间为( )
A．(3，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(0，＋∞)
易错分析：解答本题，易于因为忽视函数的定义域，而导致错误．
又的图象的对称轴为，且开口向上，
∴在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．
而函数在(0，＋∞)上是减函数，
∴的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．
温馨提醒：
(1)复合函数的单调性，遵循“同增异减”；
(2)注意遵循“定义域优先”的原则.
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想
我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.
【典例】【2017浙江温州中学3月模拟】已知函数，则函数的零点个数的判断正确的是（ ）
A. 当时，有4个零点；当时，有1个零点
B. 无论为何值，均有2个零点
C. 当时，有3个零点；当时，有2个零点
D. 无论为何值，均有4个零点
【答案】A
故函数有四个零点.应选答案A.。
