【推荐】专题11-1+分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

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真题回放 ‎1. 【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。 故选D。‎ ‎【考点】 排列与组合；分步乘法计数原理 ‎【名师点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步。具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)。‎ ‎2. 【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）‎ ‎（A）24 （B）18 （C）12 （D）9‎ ‎【答案】B 考点： 计数原理、组合.‎ ‎【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．‎ 分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．‎ ‎3. 【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）‎ ‎（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个 ‎【答案】B ‎【考点定位】排列组合.‎ ‎【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 加法原理与乘法原理 B 两个计数原理的应用是高考命题的一个热点，多以选择题和填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题。高考对两个计数原理的考查，主要有以下几个命题角度：‎ ‎1、与数字有关的问题，‎ ‎2、涂色问题。‎ 知识链接 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ‎　　　原理 异同点　　‎ 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 定义 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法 区别 各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事 各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才能做完这件事 融会贯通 题型一　分类加法计数原理的应用 典例1高三一班有学生50人，其中男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，其中男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，其中男生35人，女生20人．‎ ‎(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？‎ ‎(2)从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？‎ ‎【答案】（1）165(种) （2）80(种)‎ 解题技巧与方法总结 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．‎ ‎【变式训练】(2016·全国丙卷)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m ‎＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)‎ A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 ‎【答案】　C ‎【解析】　第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；只有2个1相邻时，共A个，其中110100,110010,110001,101100不符合题意；三个1都不在一起时有C个，共2＋8＋4＝14(个)．‎ 题型二　分步乘法计数原理的应用 典例2 (1)(2016·全国甲卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)‎ A．24 B．18 C．12 D．9‎ ‎(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．‎ ‎【答案】　(1)B　(2)120‎ 引申探究 ‎1．本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？‎ ‎【解析】　每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729(种)．‎ ‎2．本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？‎ ‎【解析】　每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216(种)．‎ 解题技巧与方法总结 ‎ (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．‎ ‎(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．‎ ‎【变式训练】(1)用0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的三位数的个数为________．‎ ‎(2)(2017·石家庄质检)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种．‎ ‎【答案】　(1)100　(2)45　54‎ ‎【解析】　(1)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数写有5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法，根据分步乘法计数原理，三位数个数为5×5×4＝100.‎ ‎(2)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．‎ 题型三　两个计数原理的综合应用 典例3　(1)如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法．‎ ‎(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．‎ ‎【答案】　(1)260　(2)36‎ 解题技巧与方法总结 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 ‎(1)弄清完成一件事是做什么．‎ ‎(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．‎ ‎(3)弄清分步、分类的标准是什么．‎ ‎(4)利用两个计数原理求解．‎ ‎【变式训练】(2017·济南质检)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为________．‎ ‎【答案】　96‎ ‎【解析】　按区域1与3是否同色分类：‎ ‎(1)区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A种方法．∴区域1与3涂同色，共有4A＝24(种)方法．‎ ‎(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法．∴这时共有A×2×1×3＝72(种)方法．‎ 故由分类加法计数原理，不同的涂色种数为24＋72＝96.‎ 练习检测 ‎1．（河北省廊坊市省级示范高中联合体2016-2017学年高二下学期期末）某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（ ）种 A. 27 B. 36 C. 33 D. 30‎ ‎【答案】D ‎ 2．（安徽省合肥市2018届高三调研性检测）用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（ ）‎ A. 250个 B. 249个 C. 48个 D. 24个 ‎【答案】C ‎【解析】先考虑四位数的首位，当排数字4,3时，其它三个数位上课从剩余的4个数任选4个全排，得到的四位数都满足题设条件，因此依据分类计数原理可得满足题设条件的四位数共有个，应选答案C。‎ ‎3．（黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期初考试）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）‎ A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：每家企业至少录用一名大学生的情况有两种：一种是一家企业录用一名， 种；一种是其中有一家企业录用两名大学生， 种，∴一共有种，故选D 考点：排列组合问题.‎ ‎4. （安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考）某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为（ ）‎ A. 5400种 B. 3000种 C. 150种 D. 1500种 ‎【答案】D ‎【解析】分两步：第一步从5个培训项目中选取三个，共种情况；‎ ‎ 第二步5位教师分成两类：一类：1人，1人，3人，共种情况；一类：1人，2人，2人，共种情况；‎ 故情况数为： 1500‎ 故选：D ‎5. （宁夏育才中学2016-2017学年高二下学期期末考试）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 ‎【答案】D ‎ ‎ ‎6. （浙江省杭州市萧山区第一中学2016-2017学年高二下学期2月月考）有六种不同颜色,给如图的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有( )‎ A. 4320 B. 2880 C. 1440 D. 720‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5种不同的涂色方法，第三个区域有4种不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第六个区域有4种不同的涂色方法，第五个区域有3种不同的涂色方法，根据乘法原理，故选：A．‎ 考点：乘法原理.‎ ‎7. （湖北省荆州中学2018届高三第二次月考）某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A、F这两块实验田上，则不同的种植方法有 ( )‎ A. 360种 B. 432种 C. 456种 D. 480种 ‎【答案】A ‎【点睛】‎ 当从正面分类比较复杂时，常从反面，用容斥原理处理排列组合问题。‎ ‎8. （甘肃省临夏中学2016-2017学年高二下学期期中考试）个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？‎ ‎（1）甲不排头，也不排尾， ‎ ‎（2）甲、乙、丙三人必须在一起 ‎ ‎（3）甲、乙之间有且只有两人，‎ ‎【答案】（1）3600；（2）720；（3）960。‎ ‎【解析】试题分析：（1）先考虑元素甲选择可能，再考虑其余剩下的元素的全排，运用分步计数原理求解；（2）先排甲、乙、丙三人，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于人的全排列，运用分步计数原理求解；（3）先从甲、乙之外的人中选个人排甲、乙之间，再该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于人的全排列，然后运用运用分步计数原理求解：‎ 解：（1）甲有5个 位置供选择，有5种，其余有，即共有种；‎ ‎（2）先排甲、乙、丙三人，有，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于人的全排列，即 ‎，则共有种；‎ ‎（3）从甲、乙之外的人中选个人排甲、乙之间，有，甲、乙可以交换有，把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于人的全排列，则共有种；‎ ‎9、（浙江省绍兴市柯桥区2017届高三第二次教学质量检测）现有排成一列的5个花盆，要将甲、乙两种花种在其中的2个花盆里（每个花盆种一种花），若要求每相邻的3个花盆里至少有一种花，则这样的不同的种法数是__________（用数字作答）.‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】没有限制的种花种数为种,其中三个空盆相邻的情况有种，‎ 则每相邻的3个花盆里至少有一种花，则这样的不同的种法数是20−6=14种.‎ 点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．‎ ‎(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．‎ ‎10、（浙江省ZDB联盟2017届高三一模）教育装备中心新到7台同型号的电脑，共有5所学校提出申请，鉴于甲、乙两校原来电脑较少，决定给这两校每家至少2台，其余学校协商确定，允许有的学校1台都没有，则不同的分配方案有__________种（用数字作答）．‎ ‎【答案】35‎ ‎ ‎