数学文卷·2018届江西省南昌三中高二上学期期末考试（2017-01）
南昌三中2016-2017学年度上学期期末考试
高二数学（文）试卷
命题：胡炳华 审题：邱焱明
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. 复数的共轭复数是( )．
A．－i B.i C．－i D．i
2. 函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．由a确定
3. 与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是( )．
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y-3＝0
4. 设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的 ( ) 条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
5. 下列判断错误的是（ ）
A．若为假命题，则至少之一为假命题
B. 命题“”的否定是“”
C．“若且，则”是真命题
D．“若，则”的否命题是假命题
6.函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是 ( )
A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1,1)
7. 若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是 ( )
A．(0,1) B. C．(－∞，1) D．(0，＋∞)
8. 函数f(x)＝sinx＋2xf ′()，f ′(x)为f(x)的导函数，令a＝－，b＝log32，则下列关系正确的是( )
A．f(a)
f(b) C．f(a)＝f(b) D．f(|a|)>f(b)
9. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若 的最大值为5，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
12. 已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝ex＋sin x，则( )
A．f(3)＜f(1)＜f(2) B．f(2)＜f(3)＜f(1) C．f(3)＜f(2)＜f(1) D．f(1)＜f(2)＜f(3)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13. 函数y＝2－x＋4在点(-,)处的切线的斜率为 .
14. 若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是 ．
15. 若曲线(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α= .
16.已知函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题满分12分)已知函数f（x）=x﹣2lnx（a∈R）．求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程和极值
18. (本小题满分12分)
已知p：指数函数f(x)＝(2a－6)x在R上是单调减函数；q：关于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的两根均大于3，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
19. (本题满分12分) 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
20. (本题满分12分) 已知两点A(-2,0)、B(2,0),动点P与A、B两点连线的斜率kPA、kPB满足kPA·kPB=-.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)若H是曲线E与y轴正半轴的交点,则曲线E上是否存在两点M、N,使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明满足条件的M、N有几对;若不存在,请说明理由.
21. (本题满分12分) 已知函数，g(x)aln xx(a0)．
（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；
（Ⅱ）证明：当a > 0时，对于任意x1，x2∈(0，e]，总有g(x1) < f (x2)成立，其中是自然对数的底数．
22. (本题满分12分)平面直角坐标系中，曲线.直线经过点，且倾斜角为.以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程；
（2）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.
南昌三中2016—2017学年度上学期
高二期终考试数学(文)答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. 复数的共轭复数是( C )．
A．－i B.i C．－i D．i
2. 函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是 ( A )
A．0 B．1 C．2 D．由a确定
3. 与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是( B )．
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y-3＝0
4. 设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的 ( A ) 条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
5. 下列判断错误的是（ C ）
A．若为假命题，则至少之一为假命题
B. 命题“”的否定是“”
C．“若且，则”是真命题
D．“若，则”的否命题是假命题
6.函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是 ( A )
A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1,1)
7. 若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是 (B )
A．(0,1) B. C．(－∞，1) D．(0，＋∞)
8. 函数f(x)＝sinx＋2xf ′()，f ′(x)为f(x)的导函数，令a＝－，b＝log32，则下列关系正确的是( B )
A．f(a)f(b) C．f(a)＝f(b) D．f(|a|)>f(b)
9. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ A ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（ A ）
A. B. C. D.
11. 已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若 的最大值为5，则的值是（ B ）
A．1 B． C． D．
12. 已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝ex＋sin x，则( A )
A．f(3)＜f(1)＜f(2) B．f(2)＜f(3)＜f(1) C．f(3)＜f(2)＜f(1) D．f(1)＜f(2)＜f(3)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13. 函数y＝2－x＋4在点(-,)处的切线的斜率为 .
14. 若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是 a>3或a<-1 ．
15. 若曲线(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=____2_____.
16.已知函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为___m≥1_____．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题满分12分) 已知函数f（x）=x﹣2lnx（a∈R）．求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程和极值
答案:X＋y－2=0；x=2时f(x)取得极少值2，无极大值。
18. (本小题满分12分)
已知p：指数函数f(x)＝(2a－6)x在R上是单调减函数；q：关于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的两根均大于3，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
答案 (，3]∪[，＋∞)
解析 p真，则指数函数f(x)＝(2a－6)x的底数2a－6满足0<2a－6<1，所以30，a<－2或a>2；②对称轴x＝－＝>3；③g(3)>0，即32－9a＋2a2＋1＝2a2－9a＋10>0，所以(a－2)(2a－5)>0.所以a<2或a>.
由得a>. p真q假，由3，得0), 则HN所在直线的方程为y=-x+1.
联立,消去y整理得(1+4k2)x2+8kx=0,得xM=-,
将xM=-代入y=kx+1可得yM=-+1,故点M的坐标为(-,+1).
所以|HM|=, 同理可得|HN|=,
由|HM|=|HN|,得k(4+k2)=1+4k2, 所以k3-4k2+4k-1=0,整理得(k-1)(k2-3k+1)=0, 解得k=1或k=.
当直线HM的斜率k=1时,直线HN的斜率为-1; 当直线HM的斜率k=时,直线HN的斜率为;
当直线HM的斜率k=时,直线HN的斜率为. 综上所述,符合条件的M、N有3对.
21. (本题满分12分)
已知函数，g(x)aln xx(a0)．
（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；
（Ⅱ）证明：当a > 0时，对于任意x1，x2∈(0，e]，总有g(x1) < f (x2)成立，其中是自然对数的底数．
解析：（Ⅰ）函数f (x)的定义域为R，f ′(x)＝＝. ……1分
当a>0时，当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，＋∞)
f ′(x)
－
0
＋
0
－
f (x)
↘
↗
↘
当a<0时，当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
↗
↘
↗
综上所述，
当a>0时，f (x)的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；
当a<0时，f (x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1)．
……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a>0时，f (x)在区间(0，1)上单调递增，f (x) >f (0)＝a；
f (x)在区间(1，e]上单调递减，且f (e)＝＋a>a，所以当x∈(0，e]时，f (x)>a. ……6分
因为g(x)＝aln x－x，所以g′(x)＝－1，令g′(x)＝0，得x＝a.
①当a≥e时，g′(x)≥0在区间(0，e]上恒成立，
所以函数g(x)在区间(0，e]上单调递增，所以g(x)max＝g(e)＝a－e0，得0a，所以函数g(x)在区间(0，a)上单调递增，在区间(a，e]上单调递减．所以g(x)max＝g(a)＝aln a－a. ……9分
因为a－(aln a－a)＝a(2－ln a)>a(2－ln e)＝a>0，
所以对任意x1，x2∈(0，e]，总有g(x1)
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