2019-2020学年湖北省恩施州高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年湖北省恩施州高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年湖北省恩施州高二上学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先解含绝对值不等式得集合，再根据数轴求集合交集.‎ 详解：因此AB=，选A.‎ 点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.‎ ‎2．若复数在复平面内对应的点在轴上，则（ ）‎ A．1 B．3 C．2 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意结合复数的运算法则有：，‎ 其对应的 点在y轴上，则：，‎ 则：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎3．已知点P(cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】利用点所在象限，推出三角函数的符号，然后判断角所在象限．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得,则,所以角α的终边在第二象限，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查角所在象限以及点所在象限的判断，基本知识的考查．‎ ‎4．设向量，，且，方向相反，则的值是（ ）‎ A．2 B． C． D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，方向相反，可得，，即，由此求得的值．‎ ‎【详解】‎ 解：向量，，且，方向相反，则，，即，‎ 解得或（舍去）‎ 故，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查相反的向量的定义，属于基础题．‎ ‎5．若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接离心率的平方的表达式，再由的范围求出离心率的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可得，离心率，而，‎ 因为，‎ 所以，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 考查双曲线的简单几何性质，属于基础题．‎ ‎6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长的长度为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由三视图得出该几何体的直观图，结合题意求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知其直观图，‎ 该几何体为四棱锥P-ABCD，最长的棱为PA，则最长的棱长为，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何体的三视图，属于基础题型.‎ ‎7．不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】不等式等价于或，根据二元一次不等式与区域的关系即可得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 等价于或，‎ 即不等式表示的区是同时在两直线的上方或同时在两直线的下方部分，只有选项符合题意，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二元一次不等式与区域的对应，解题的关键是熟练掌握判断规則，并能作出正确的图形，作图时要根据边界的存在与否来选择边界是实线还是虚线.‎ ‎8．已知函数，那么（ ）‎ A．函数的单调递减区间为，‎ B．函数的单调递减区间为 C．函数的单调递增区间为，‎ D．函数的单调递增区间为 ‎【答案】A ‎【解析】函数是向右平移1个单位长度得到的，由反比例函数的单调性可得的单调性.‎ ‎【详解】‎ 函数可看作是由向右平移1个单位长度得到的，‎ ‎∵在和上单调递减，‎ ‎∴在和上单调递减，‎ ‎∴函数的单调递减区间为和，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分式函数的单调性问题，属于基础题.‎ ‎9．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形，则的表达式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先分别观察给出正方体的个数为：1，，，，总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解．‎ ‎【详解】‎ 解：根据前面四个发现规律： ， ， ，，，‎ 累加得： ，‎ ‎，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了归纳推理，属于中档题．‎ ‎10．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为（ ）‎ A．f(x)＝ B．f(x)＝‎ C．f(x)＝ D．f(x)＝x2ln(x2＋1)‎ ‎【答案】B ‎【解析】模拟执行程序框图可得其功能是输出的函数为奇函数，并且此函数存在零点，一一验证即可.‎ ‎【详解】‎ 由程序框图知该程序输出的是存在零点的奇函数，‎ 选项A、C中的函数虽然是奇函数，但在给定区间上不存在零点，故排除A、C.‎ 选项D中的函数是偶函数，故排除D.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了程序框图和算法，考查了函数的性质及其应用，属于基础题.‎ ‎11．已知变量和满足关系，变量与正相关，下列结论中正确的是（ ）‎ A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关 C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与正相关 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得，变量和满足关系知；，所以与负相关，又变量与正相关，可得与负相关，故选A．‎ ‎【考点】回归直线方程．‎ ‎12．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，‎ l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】联立方程解得M(3，)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.‎ ‎【详解】‎ 依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.‎ 由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4‎ 又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形 点M到直线NF的距离为 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ 二、填空题 ‎13．函数的最大值为________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】由辅助角公式可得，再根据正弦函数的值域可得的最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：函数，‎ 令，，．‎ 则由辅助角公式可得，根据正弦函数的值域可得的最大值为5，‎ 故答案为：5．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于中档题．‎ ‎14．若a，b为正实数，且，则的最小值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知可得，，利用基本不等式即可求解 ‎【详解】‎ 解：，且，，‎ 则，‎ 当且仅当且，即，时取得最小值 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题关键是对应用条件的配凑，1的代换是求解条件配凑的关键 ‎15．设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】长方体外接球直径=长方体体对角线长度．‎ ‎．‎ ‎16．在△ABC中，2acos A＋bcosC＋ccosB＝0，则角A的大小为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先利用正弦定理边化角得到，所以，从而求出角．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，，‎ ‎，，‎ 又，，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理、两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．已知α∈，tanα＝，求：‎ ‎(1)tan2α的值；‎ ‎(2)sin的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1)因为tanα＝，所以tan2α＝.‎ ‎(2)因为α∈，所以2α∈(0，π)．‎ 又tan2α>0，所以sin2α＝，cos2α＝.‎ 所以sin＝sin2αcos＋cos2αsin.‎ ‎18．已知递增等差数列的前n项和为，且，．‎ ‎(1)求数列的通项公式以及的表达式；‎ ‎(2)若数列满足：，，求数列的通项公式．‎ ‎【答案】（1），，. （2）‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为，由，．可得，，联立解得，．利用通项公式与求和公式即可得出．‎ ‎（2）数列满足：，，利用裂项求和方法即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设数列的公差为d(d>0)，‎ 则 解得或(舍去)，‎ ‎∴，，.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ 当时，也符合上式，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎19．某学校艺术专业300名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎(1)从总体的300名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；‎ ‎(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎【答案】（1）0.4 （2）15人 （3）3∶2‎ ‎【解析】（1）根据频率分布直方图求出样本中分数小于70的频率，用频率估计概率值；‎ ‎（2）计算样本中分数小于50的频率和频数，估计总体中分数在区间，内的人数；‎ ‎（3）由题意计算样本中分数不小于70的学生人数以及男生、女生人数，求男生和女生人数的比例．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，‎ 所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4．‎ 所以从总体的300名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计值为0.4．‎ ‎（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为 (0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，‎ 故样本中分数小于50的频率为0.1，‎ 故分数在区间[40，50)内的人数为100×0.1－5＝5．‎ 所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为．‎ ‎（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为 ‎(0.02＋0.04)×10×100＝60，‎ 所以样本中分数不小于70的男生人数为．‎ 所以样本中的男生人数为30×2＝60，‎ 女生人数为100－60＝40，‎ 男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2．‎ 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样原理应用问题，属于中档题．‎ ‎20．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）若PA∥平面BDE，求三棱锥E-BCD的体积．‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2).‎ ‎【解析】试题分析：（2）要证平面平面，可证平面，平面，运用面面垂直的判定定理可得平面平面，再由等腰三角形的性质可得，运用面面垂直的性质定理，即可得证； （3）由线面平行的性质定理可得，运用中位线定理，可得的长，以及平面，求得三角形的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．‎ 试题解析：‎ ‎(1)证明：由已知得平面，平面，∴平面平面，平面平面，平面，，∴平面，平面，∴平面平面.‎ ‎(2) 平面，又平面平面，平面，∴，是中点，∴为的中点，∴，∴，.‎ ‎21．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为.直线与轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点．‎ ‎（I）求椭圆E的方程；‎ ‎(II)若，求的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）(1，4).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意求得a＝2，b＝1.∴椭圆E的方程为 ＋x2＝1. ‎ ‎(2)联立直线与椭圆的方程，结合判别式为正数得到关于m的不等式，求解不等式可得的取值范围是(1，4).‎ 试题解析：‎ ‎(I)根据已知设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，‎ 由已知得＝，∴c＝a，b2＝a2－c2＝.‎ ‎∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，‎ ‎∴4＝2a＝4，∴a＝2，b＝1.∴椭圆E的方程为＋x2＝1. ‎ ‎(II)根据已知得P(0，m)，设A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，‎ 由得，(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0.‎ 由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，即k2－m2＋4>0，且x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 由得x1＝－3x2.‎ ‎∴3(x1＋x2)2＋4x1x2＝12x－12x＝0.‎ ‎∴＋＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0. ‎ 当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立，∴k2＝.‎ ‎∵k2－m2＋4>0，∴－m2＋4>0，即>0.∴1

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