2018届二轮复习（理）回扣2　函　数课件（全国通用）

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回扣 2 　 函　数 考前回扣 基础回归 易错提醒 回归训练 Ⅰ 基础回归 1. 函数的定义域和值域 (1) 求函数定义域的类型和相应方法 ① 若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； ② 若已知 f ( x ) 的定义域为 [ a ， b ] ，则 f ( g ( x )) 的定义域为不等式 a ≤ g ( x ) ≤ b 的解集；反之，已知 f ( g ( x )) 的定义域为 [ a ， b ] ，则 f ( x ) 的定义域为函数 y ＝ g ( x )( x ∈ [ a ， b ]) 的值域 . (2) 常见函数的值域 ① 一次函数 y ＝ kx ＋ b ( k ≠ 0) 的值域为 R ； 2. 函数的奇偶性、周期性 (1) 奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意 x ( 定义域关于原点对称 ) ，都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) 成立，则 f ( x ) 为奇函数 ( 都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) 成立，则 f ( x ) 为偶函数 ). (2) 周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数 f ( x ) ，如果对于定义域内的任意一个 x 的值，若 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x )( T ≠ 0) ，则 f ( x ) 是周期函数， T 是它的一个周期 . 3. 关于函数周期性、对称性的结论 (1) 函数的周期性 ① 若函数 f ( x ) 满足 f ( x ＋ a ) ＝ f ( x － a ) ，则 f ( x ) 为周期函数， 2 a 是它的一个周 期； ② 设 f ( x ) 是 R 上的偶函数，且图象关于直线 x ＝ a ( a ≠ 0) 对称，则 f ( x ) 是周期函数， 2 a 是它的一个周期； ③ 设 f ( x ) 是 R 上的奇函数，且图象关于直线 x ＝ a ( a ≠ 0) 对称，则 f ( x ) 是周期函数， 4 a 是它的一个周期 . (2) 函数图象的对称性 ① 若函数 y ＝ f ( x ) 满足 f ( a ＋ x ) ＝ f ( a － x ) ， 即 f ( x ) ＝ f (2 a － x ) ， 则 f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ a 对称； ② 若函数 y ＝ f ( x ) 满足 f ( a ＋ x ) ＝－ f ( a － x ) ， 即 f ( x ) ＝－ f (2 a － x ) ， 则 f ( x ) 的图象关于点 ( a, 0) 对称； ③ 若函数 y ＝ f ( x ) 满足 f ( a ＋ x ) ＝ f ( b － x ) ， 则函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ 对称 . 4. 函数的单调性 函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质 . ① 单调性的定义的等价形式：设 x 1 ， x 2 ∈ [ a ， b ] ， ② 若函数 f ( x ) 和 g ( x ) 都是减函数，则在公共定义域内， f ( x ) ＋ g ( x ) 是减函数；若函数 f ( x ) 和 g ( x ) 都是增函数，则在公共定义域内， f ( x ) ＋ g ( x ) 是增函数；根据同增异减判断复合函数 y ＝ f ( g ( x )) 的单调性 . 5. 函数图象的基本变换 (1) 平移变换 6. 准确记忆指数函数与对数函数的基本性质 (1) 定点： y ＝ a x ( a ＞ 0 ，且 a ≠ 1) 恒过 (0,1) 点； y ＝ log a x ( a ＞ 0 ，且 a ≠ 1) 恒过 (1,0) 点 . (2) 单调性：当 a ＞ 1 时， y ＝ a x 在 R 上单调递增； y ＝ log a x 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增； 当 0< a <1 时， y ＝ a x 在 R 上单调递减； y ＝ log a x 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减 . 7. 函数与方程 (1) 零点定义： x 0 为函数 f ( x ) 的零点 ⇔ f ( x 0 ) ＝ 0 ⇔ ( x 0 ,0) 为 f ( x ) 的图象与 x 轴的交点 . (2) 确定函数零点的三种常用方法 ① 解方程判定法：解方程 f ( x ) ＝ 0 ； ② 零点定理法：根据连续函数 y ＝ f ( x ) 满足 f ( a ) f ( b )<0 ，判断函数在区间 ( a ， b ) 内存在零点 . ③ 数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解 . Ⅱ 易错提醒 1. 解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则 . 2. 解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围 . 3. 求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号 “∪” 和 “ 或 ” 连接，可用 “ 及 ” 连接或用 “ ， ” 隔开 . 单调区间必须是 “ 区间 ” ，而不能用集合或不等式代替 . 4. 判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响 . 5. 准确理解基本初等函数的定义和性质 . 如函数 y ＝ a x ( a ＞ 0 ， a ≠ 1) 的单调性容易忽视字母 a 的取值讨论，忽视 a x ＞ 0 ；对数函数 y ＝ log a x ( a ＞ 0 ， a ≠ 1) 容易忽视真数与底数的限制条件 . 6. 易混淆函数的零点和函数图象与 x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化 . III 回归训练 答案 解析 1. 下列各图形中，是函数图象的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　 函数 y ＝ f ( x ) 的图象与平行于 y 轴的直线最多只能有一个交点，故 A ， B ， C 均不正确，故选 D. 答案 解析 2. 若函数 f ( x ) ＝ 则 f ( － 3) 的值为 A.5 B . － 1 C. － 7 D.2 √ 解析　 依题意， f ( － 3) ＝ f ( － 3 ＋ 2) ＝ f ( － 1) ＝ f ( － 1 ＋ 2) ＝ f (1) ＝ 1 ＋ 1 ＝ 2 ，故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 3. 定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ，当 x ＞ 0 时， f ( x ) ＝ 3 ，则奇函数 f ( x ) 的值域是 A.( － ∞ ，－ 3] B .[3 ，＋ ∞ ) C. [ － 3,3] D .{ － 3,0,3} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 ∵ f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数， ∴ f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， f (0) ＝ 0 ， 设 x ＜ 0 ，则－ x ＞ 0 ， f ( － x ) ＝－ f ( x ) ＝ 3 ， ∴ f ( x ) ＝－ 3 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴ 奇函数 f ( x ) 的值域是 { － 3,0,3}. 答案 解析 4. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 和偶函数 g ( x ) 满足 f ( x ) ＋ g ( x ) ＝ a x － a － x ＋ 2( a ＞ 0 ， a ≠ 1) ，若 g (2) ＝ a ，则 f (2) 等于 解析　 因为 f ( x ) ＋ g ( x ) ＝ a x － a － x ＋ 2( a ＞ 0 ， a ≠ 1) ，若 g (2) ＝ a ，则 f (2) ＋ g (2) ＝ a 2 － a － 2 ＋ 2 ， 因为 f ( x ) 是奇函数， g ( x ) 是偶函数， 当 x ＝－ 2 时， f ( － 2) ＋ g ( － 2) ＝－ f (2) ＋ g (2) ＝ a － 2 － a 2 ＋ 2 ，解得 g (2) ＝ 2 ， 又 g (2) ＝ a ⇒ a ＝ 2 ，所以 f (2) ＝ 2 2 － 2 － 2 ＝ ， 故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5. 函数 f ( x ) ＝ e x ＋ 4 x － 3 的零点所在的区间为 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 6. 已知函数 f ( x ) 为奇函数，且在 [0,2] 上单调递增，若 f (log 2 m ) ＜ f (log 4 ( m ＋ 2)) 成立，则实数 m 的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　 因为函数 f ( x ) 是奇函数，且在 [0,2] 上单调递增，所以函数 f ( x ) 在 [ － 2,2] 上单调递增 . 故由 f (log 2 m ) ＜ f (log 4 ( m ＋ 2)) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　 由 f ( x － 2) ＝ f ( x ＋ 2) ⇒ f ( x ) ＝ f ( x ＋ 4) ， 因为 4 ＜ log 2 20 ＜ 5 ，所以 0 ＜ log 2 20 － 4 ＜ 1 ， － 1 ＜ 4 － log 2 20 ＜ 0. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 A. － 2 B . － 1 C.0 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 即 f ( x ) ＝ f ( x ＋ 1) ， ∴ T ＝ 1 ， ∴ f (6) ＝ f (1). 当 x <0 时， f ( x ) ＝ x 3 － 1 且当－ 1 ≤ x ≤ 1 时， f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， ∴ f (6) ＝ f (1) ＝－ f ( － 1) ＝ 2 ，故选 D. 答案 解析 9. 已知函数 f ( x ) ＝ 函数 g ( x ) ＝ 3 － f (2 － x ) ，则函数 y ＝ f ( x ) － g ( x ) 的零点个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 当 x ＞ 2 时， g ( x ) ＝ x － 1 ， f ( x ) ＝ ( x － 2) 2 ； 当 0 ≤ x ≤ 2 时， g ( x ) ＝ 3 － x ， f ( x ) ＝ 2 － x ； 当 x <0 时， g ( x ) ＝ 3 － x 2 ， f ( x ) ＝ 2 ＋ x . 由于函数 y ＝ f ( x ) － g ( x ) 的零点个数就是方程 f ( x ) － g ( x ) ＝ 0 的根的个数 . 当 x ＞ 2 时，方程 f ( x ) － g ( x ) ＝ 0 可化为 x 2 － 5 x ＋ 5 ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当 0 ≤ x ≤ 2 时，方程 f ( x ) － g ( x ) ＝ 0 可化为 2 － x ＝ 3 － x ，无解； 当 x <0 时，方程 f ( x ) － g ( x ) ＝ 0 可化为 x 2 ＋ x － 1 ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以函数 y ＝ f ( x ) － g ( x ) 的零点个数为 2. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴ 1 ≤ t ≤ 2 ，故选 A. 答案 解析 11. 已知函数 f ( x ) ＝ 且 f ( a ) ＝－ 1 ，则 f (6 － a ) ＝ ____. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 ∵ f ( a ) ＝－ 1 ， ∴ a ＞ 0 ， ∴ － log 2 ( a ＋ 1) ＋ 2 ＝－ 1 ， ∴ a ＝ 7 ， f (6 － a ) ＝ f ( － 1) ＝ 2 0 ＝ 1. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 由于 y ＝ f ( x ) 为奇函数，根据对任意 t ∈ R 都有 f ( t ) ＝ f (1 － t ) ，可得 f ( － t ) ＝ f (1 ＋ t ) ， 所以 f ( t ) ＝ f (2 ＋ t ) ， 所以函数 y ＝ f ( x ) 的一个周期为 2 ， 故 f (3) ＝ f (1) ＝ f (0 ＋ 1) ＝－ f (0) ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (0,1] 解析　 当 x ＞ 0 时，由 f ( x ) ＝ ln x ＝ 0 ，得 x ＝ 1. 因为函数 f ( x ) 有两个不同的零点， 则当 x ≤ 0 时， 函数 f ( x ) ＝ 2 x － a 有一个零点， 令 f ( x ) ＝ 0 ，得 a ＝ 2 x ， 因为 0 ＜ 2 x ≤ 2 0 ＝ 1 ，所以 0 ＜ a ≤ 1 ， 所以实数 a 的取值范围是 0 ＜ a ≤ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ( － 1,3) 解析　 因为 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，所以函数 f ( x ) 是偶函数 ， 当 x ≥ 0 时， f ( x ) ＝ x ＋ 2 x 是单调增函数 ， 故 由偶函数的性质及 f ( a － 1) ＜ f (2) 可得 | a － 1| ＜ 2 ， 即 － 2 ＜ a － 1 ＜ 2 ，即－ 1 ＜ a ＜ 3. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 偶函数 f ( x ) 满足 f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x ) ，且当 x ∈ [0,1] 时， f ( x ) ＝ ， 若直线 kx － y ＋ k ＝ 0( k ＞ 0) 与函数 f ( x ) 的图象有且仅有三个交点，则 k 的 取值 范围 是 _________ _ _. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 由 f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x ) 可知，函数关于 x ＝ 1 对称， 因为 f ( x ) 是偶函数，所以 f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x ) ＝ f ( x － 1) ， 即 f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ，所以函数的周期是 2 ， 作出函数 y ＝ f ( x ) 和直线 y ＝ k ( x ＋ 1) 的图象， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 要使直线 kx － y ＋ k ＝ 0( k ＞ 0) 与函数 f ( x ) 的图象有且仅有三个交点， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 因为 0 ≤ x ≤ 1 ，所以－ 2 ≤ x － 2 ≤ － 1 ， 所以 5 － 2 ≤ 5 x － 2 ≤ 5 － 1 ，而 5 － 2 ＞ 0.02 ， 故至少要过 4 小时后才能开车 .