数学卷·2018届河北省定州中学高三下学期第一次月考(2018

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数学卷·2018届河北省定州中学高三下学期第一次月考(2018

高三第二学期第1次考试数学试题 一、单选题 ‎1.在平面直角坐标系中,已知点, ,动点满足 ,其中,则所有点构成的图形面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.在平面直角坐标系中, 是坐标原点,设函数的图象为直线,且与轴、轴分别交于、两点,给出下列四个命题:‎ ‎①存在正实数,使的面积为的直线仅有一条;‎ ‎②存在正实数,使的面积为的直线仅有二条;‎ ‎③存在正实数,使的面积为的直线仅有三条;‎ ‎④存在正实数,使的面积为的直线仅有四条.‎ 其中,所有真命题的序号是( ).‎ A. ①②③ B. ③④ C. ②④ D. ②③④‎ ‎3.已知函数, ,若与的图像上存在关于直线对称的点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点,使得,则椭圆的离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知函数, 若当时,不等式组恒成立,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.若函数在区间上的最大值、最小值分别为、,则的值为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.定义“有增有减”数列如下: ,满足,且,满足.已知“有增有减”数列共4项,若,且,则数列共有( )‎ A. 64个 B. 57个 C. 56个 D. 54个 ‎9.已知函数,若是函数的唯一极值点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.定义在R上的函数满足,且对任意的不相等的实数, ‎ 有成立,若关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.现有两个半径为2的小球和两个半径为3的小球两两相切,若第五个小球和它们都相切,则这个小球的半径是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.定义在上的函数满足,且当时, ,若对任意的,不等式恒成立,则实数的最大值是( )‎ A. -1 B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎13.设为抛物线的焦点, 为抛物线上不同的三点, 则_________.‎ ‎14.已知函数,当时,函数的最大值是__________;若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称,则的取值范围是__________.‎ ‎15.已知双曲线 的左、右顶点分别为、,点为双曲线的左焦点,过点作垂直于轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线于, ‎ 点,连接交轴于点,连接交于点,若,则双曲线的离心率为__________.‎ ‎16.已知函数, ,若与的图像上存在关于直线对称的点,则实数的取值范围是__________.‎ 三、解答题 ‎17.对于若数列满足则称这个数列为“数列”.‎ ‎(Ⅰ)已知数列1, 是“数列”,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)是否存在首项为的等差数列为 “数列”,且其前项和使得恒成立?若存在,求出的通项公式;若不存在,请说明理由;‎ ‎(Ⅲ)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”,数列不是“数列”,若试判断数列是否为“数列”,并说明理由.‎ ‎18.已知椭圆的离心率为,且过点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数.若直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线与轴所成的锐角为,直线与轴所成的锐角为,判断与的大小关系并加以证明.‎ ‎19.已知函数在定义域内有两个不同的极值点.‎ ‎()求的取值范围.‎ ‎()记两个极值点, ,且,已知,若不等式恒成立,求的取值范围.‎ 参考答案 CDDAC CCDAD ‎ ‎11.A ‎12.C ‎13.6‎ ‎14. ‎ ‎15.5‎ ‎16.‎ ‎17.(Ⅰ)(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.‎ ‎(Ⅰ)由题意得 解得 所以实数的取值范围是 ‎(Ⅱ假设存在等差数列符合要求,设公差为则 由得 由题意,得对均成立,即 ‎①当时, ‎ ‎②当时, ‎ 因为 所以与矛盾,‎ 所以这样的等差数列不存在.‎ ‎(Ⅲ)设数列的公比为则 因为的每一项均为正整数,且 所以在中,“”为最小项.‎ 同理, 中,“”为最小项.‎ 由为“数列”,只需即 又因为不是“数列”,且为最小项,‎ 所以即,‎ 由数列的每一项均为正整数,可得 所以或 ‎①当时, 则 令则 又 所以为递增数列,即 所以 所以对于任意的都有 即数列为“数列”.‎ ‎②当时, 则 因为 所以数列不是“数列”.‎ 综上:当时,数列为“数列”,‎ 当时, 数列不是“数列”.‎ ‎18.(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎(Ⅰ)由题可得,解得.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)结论: ,理由如下:‎ 由题知直线斜率存在,‎ 设.‎ 联立,‎ 消去得,‎ 由题易知恒成立,‎ 由韦达定理得,‎ 因为与斜率相反且过原点,‎ 设, ,‎ 联立 消去得,‎ 由题易知恒成立,‎ 由韦达定理得,‎ 因为两点不与重合,‎ 所以直线存在斜率,‎ 则 ‎ ‎ 所以直线的倾斜角互补,‎ 所以.‎ ‎19.(1);(2)‎ ‎()由函数得的定义域为,且,‎ 若函数在定义域内有两个不同的极值点,则方程,‎ 即有两个不同的根,‎ 即函数与函数的图象在上有两个不同的交点,‎ 如图所示:‎ 若令过原点且切于函数图象的直线斜率为,只须,‎ 令切点,则,‎ 又,‎ ‎∴,解得, ,∴,‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎()因为等价于,‎ 由()可知, , 分别是方程的两个根,即, ,‎ 所以原式等价于,‎ ‎∵, ,‎ ‎∴原式等价于,‎ 又由, 作差得,‎ ‎∴原式等价于,‎ ‎∵,原式恒成立,‎ 即恒成立,‎ 令, ,则不等式在上恒成立,‎ 令, ,‎ 则,‎ 当时,可见时, ,‎ 故在上单调递增,‎ 又, 在上恒成立,符合题意;‎ 当时,可见时, ;‎ 时, ,‎ ‎∴在时单调递增,在时单调减,‎ 又,故在上不可能恒小于,不符合题意,‎ 综上所述,若不等式恒成立,只须,‎ 又,故.‎
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