【百强校首发】河北省武邑中学2020届高三年级下学期第二次质检考试数学（文）试题

【百强校首发】河北省武邑中学2020届高三年级下学期第二次质检考试数学（文）试题

‎ ‎ 河北武邑中学2019-2020学年高三年级下学期第二次质检考试 数学试题（文科）‎ 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎2.答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。‎ ‎3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。‎ 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上。‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ 解：∵集合，，‎ ‎∴.故选：B.‎ ‎2.已知复数，，若是实数，则实数的值为（ ）‎ A.0 B. C.6 D.‎ 解：∵是实数，‎ 则，∴实数的值为6，故选C ‎3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 解：根据四个列联表中的等高条形图可知，图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，它最能 ‎ ‎ 体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D.‎ ‎4.设，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 解：，，，，‎ ‎∴，，，‎ ‎ 【答案】D ‎5.大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 解：由题意，排除D，，排除A，C.同时B也满足，，，故选：B.‎ ‎6.椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，如果的中点在轴上，那么是的（）‎ A.7倍 B.6倍 C.5倍 D.4倍 ‎【答案】C ‎7.如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为4的正方形，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 解：结合题意，绘制图像，如图所示 ‎ ‎ 平面的面积为，故该几何体的体积，故选B.‎ ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数和单调性的关系，判断函数的单调性，再判断函数的变化趋势，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：的定义域为，‎ ‎∴恒成立，‎ ‎∴在，单调递增，‎ 当时，，函数单调递增，故排除C，D，‎ ‎ ‎ 当时，，，‎ ‎∴，故排除B，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图象的识别，关键是掌握函数的单调性和函数值的变化趋势，属于中档题.‎ ‎9.已知函数与轴交于点，距离轴最近的最高点，若，且，恒有，则实数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 解：由题意得，，，，‎ ‎∴，由五点作图法知，解得，‎ ‎∴，令，.‎ 解得，.‎ ‎∴，∴，故选：C.‎ ‎10.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：求出关于的对称点，根据题意，为最短距离，求出即可.‎ 解：设点关于直线的对称点，设军营所在区域为的圆心为，‎ 根据题意，为最短距离，先求出的坐标，‎ ‎ ‎ 的中点为，直线的斜率为1，‎ 故直线为，‎ 由，联立得故，，‎ 所以，‎ 故，故选：A.‎ ‎11.如图，为的外心，，，为钝角，是边的中点，则的值为（ ）‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎【解析】外心在，上的投影恰好为它们的中点，分别设为，，所以在，上的投影为，，而恰好为中点，故考虑，所以 ‎12.已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为（ ）‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 当时，则，‎ 此时有，‎ ‎ ‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数是周期为2的周期函数.‎ 令，则，‎ 由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数.‎ 在同一坐标系内画出函数和函数的图象（如图所示），‎ 结合图象可得两函数的图象有三个交点，‎ ‎∴函数的零点个数为3.选C.‎ 点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法 ‎（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；‎ ‎（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ ‎13.若，满足约束条件，则的最小值为________. 答案为：. ‎ ‎ ‎ 解：先作可行域，则直线过点时取最小值.‎ ‎14.利用随机模拟方法计算和所围成图形的面积.首先利用计算机产生两组0-1区间的均匀随机数，，，然后进行平移和伸缩变换，，，若共产生了个样本点，其中落在所围成图形内的样本点数为，则所围成图形的面积可估计为________.（结果用，表示）‎ ‎【答案】‎ ‎15.已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由双曲线的方程的左右焦点分别为，，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且，都位于第一象限，且，，‎ 可知为的三等分点，且，‎ 点在直线上，并且，则，，‎ 设，则，‎ 解得，，即，‎ 代入双曲线的方程可得，解得 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出，，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，转化为，的齐次式，然后转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式），即可得（的取值范围）.‎ ‎ ‎ ‎16.点为棱长是3的正方体的内切球球面上的动点，点满足，则动点的轨迹的长度为_______.‎ ‎【解析】由题意得经过球的球心，动点的轨迹为经过点且与垂直的平面被球所截所得的截面圆的圆周.‎ 由几何知识可得，平面为过点且与垂直的平面，由题意得截面圆即为的内切圆.结合意可得为边长等于的等边三角形，故内切圆的半径为，所以周长为.‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了，，三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成绩，其统计表如下：‎ 类 第次 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 分数（小于等于）150‎ ‎145‎ ‎83‎ ‎95‎ ‎72‎ ‎110‎ ‎，；‎ 类 第次 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 分数（小于等于）150‎ ‎85‎ ‎93‎ ‎90‎ ‎76‎ ‎101‎ ‎，；‎ 类 ‎ ‎ 第次 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 分数（小于等于）150‎ ‎85‎ ‎92‎ ‎101‎ ‎100‎ ‎112‎ ‎，；‎ ‎（3）经计算已知，的相关系数分别为，，请计算出学生的的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；（结果保留三位有效数字，越大认为成绩越稳定）。‎ ‎（4）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归方程为，利用线性回归方程预测该生第九次的成绩。‎ 参考公式：（1）样本的相关系数 ‎（2）对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ‎ 答案解析 ‎（1）根据题意，可知类学生的 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 相关系数，‎ ‎ ‎ 又因为，则类学生学习成绩最稳定 ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 当时，，‎ 所以预测该生的第九次成绩约为135.2.‎ ‎18.已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列的通项公式，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ 解：（1）由是，的等差中项得，‎ 所以，解得，‎ 由，得，解得或，因为，所以.‎ 所以，.‎ ‎（2）由（1）可得，.‎ 所以 ‎，‎ 所以 ‎.‎ ‎19.如图，四边形是直角梯形，，，，，又，，，直线与直线所成的角为.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求点到平面的距离。‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知，，可得平面，即可证明结论；‎ ‎（2）过做，交于，连，根据（1）可得平面，得到为异面直线与直线所成的角，在求出，中可得出，，求出，，用等体积法，即可求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，，，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，∴.‎ ‎（2）过做，交于，连，‎ ‎，，∴为中点，‎ ‎∵平面，平面，∴，‎ ‎∴为异面直线与直线所成的角，‎ ‎∴，在中，由余弦定理得，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎∴，，，∴‎ 在中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 设点到平面的距离为，，‎ ‎，∴，-‎ ‎∴点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间点、线、面位置关系，证明直线与直线垂直，应用等体积法求点到平面的距离，考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.‎ ‎20.（本题满分12分）已知抛物线，过点分别作斜率为，的抛物线的动弦、，设、分别为线段、的中点.‎ ‎（Ⅰ）若为线段的中点，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标。‎ 解：（Ⅰ）设，，则①，②.‎ ‎①-②，得.‎ 又因为是线段的中点，所以 所以，.‎ ‎ ‎ 又直线过，所以直线的方程为；…………………………5分 ‎（Ⅱ）依题设，直线的方程为，即，‎ 亦即，代入抛物线方程并化简得.‎ 所以，…………………………………………7分 于是，，.‎ 同理，，.…………………………………………9分 易知，所以直线的斜率.‎ 故直线的方程为，‎ 即.此时直线过定点.‎ 故直线恒过定点.…………………………………………12分 ‎21.（本题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，，求证：.‎ 解：（Ⅰ）函数定义域为，，‎ 令得，令得，‎ ‎ ‎ 故在单调递增，在单调递减. ……………………4分 ‎（Ⅱ），不妨设，则，，‎ 要证：，即证：……（*），‎ 而，令，，‎ ‎（*）等价于，，………………8分 设，，‎ ‎，‎ 令，‎ ‎∵在恒成立，‎ 则在单调递增，故，故在单调递增，‎ 故，故原命题得证.……………………12分 ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，、均异于原点，且，求实数的值.‎ 解：（1）曲线的参数方程为，消去参数，‎ 可得曲线的普通方程为：‎ 故：曲线的极坐标方程为，∴‎ 又故：的直角坐标方程为：.‎ ‎ ‎ ‎（2）曲线化为极坐标方程为 设点，，依题设知，‎ 所以 由知 因为，故或 ‎23.已知函数，.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对任意的，均存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）由，得，‎ ‎∴，得不等式的解为 ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ ‎∵对任意的均存在，使得成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得或，‎ 即实数的取值范围为：或.‎