【数学】2021届一轮复习人教版（理）第4章第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数学案

【数学】2021届一轮复习人教版（理）第4章第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数学案

全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 从高考题型、题量来看，一般有两种方式： 三个小题或一个小题另加一个解答题，分 值上占 17 分左右． 2．考查内容 (1)客观题主要考查三角函数的定义，图 象与性质，同角三角函数关系，诱导公式， 和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识． (2)解答题涉及知识点较为综合．涉及三 角函数图象与性质、三角恒等变换与解三 角形知识较为常见． 3．备考策略 (1)熟练应用同角三角函数基本关系式与 诱导公式求值、化简． (2)重视对三角函数图象和性质的研究， 复习时通过选择题、填空题和解答题加以 训练和巩固，注意将问题和方法进行归 纳、整理． (3)对正弦定理、余弦定理的应用要加强 训练. 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函 数 [最新考纲] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互 化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位 置所成的图形． (2)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集 合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝l r(弧长用 l 表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ π 180 rad；②1 rad＝ 180 π ° 弧长公式 弧长 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝1 2lr＝1 2|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义 设角α终边与单位圆交于 P(x，y)，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝y x(x≠0)． 拓展：任意角的三角函数的定义(推广)． 设 P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sin α ＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x≠0)． (2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦． (3)几何表示 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示． 如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线． [常用结论] 1．单位圆上任意一点可设为(cos θ，sin θ)(θ∈R)． 2．若α∈ 0，π 2 ，则 sin α＜α＜tan α． 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)若α为第一象限角，则 sin α＋cos α＞1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编 1．若θ满足 sin θ＜0，cos θ＞0，则θ的终边在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D [∵sin θ＜0，cos θ＞0，∴θ的终边落在第四象限．] 2．下列与9π 4 的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋9 4π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π 4 (k∈Z) C [∵9π 4 ＝2π＋π 4 ， ∴9π 4 与π 4 终边相同． 又角度制与弧度制不可同时混用，故选 C.] 3．角－225°＝________弧度，这个角的终边落在第________象限． [答案] －5π 4 二 4．设角θ的终边经过点 P(4，－3)，那么 2cos θ－sin θ＝________． 11 5 [由已知并结合三角函数的定义，得 sin θ＝－3 5 ， cos θ＝4 5 ，所以 2cos θ－sin θ＝2×4 5 －(－3 5)＝11 5 .] 5．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度． [答案] π 3 考点 1 象限角及终边相同的角 1.表示区间角的三个步骤 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界． (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角 α和β，写出最简区间． (3)起始、终止边界对应角α，β，再加上 360°的整数倍，即得区间角集合． 2．象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判 断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为 k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即 找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限 角． 1.设集合 M＝ x|x＝k 2·180°＋45°，k∈Z ，N＝ x|x＝k 4·180°＋45°，k∈Z ，那么( ) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ B [由于 M 中，x＝k 2 ·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1 是奇数；而 N 中，x＝k 4 ·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1 是整 数，因此必有 M⊆N，故选 B.] 2．设θ是第三象限角，且|cos θ 2|＝－cos θ 2 ，则θ 2 是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 B [∵θ是第三象限角， ∴π＋2kπ＜θ＜3π 2 ＋2kπ，k∈Z， ∴π 2 ＋kπ＜θ 2 ＜3π 4 ＋kπ，k∈Z， ∴θ 2 的终边落在第二、四象限， 又|cos θ 2|＝－cos θ 2 ，∴cos θ 2 ＜0， ∴θ 2 是第二象限角．] 3．与－2 010°终边相同的最小正角是________． 150° [与－2 010°终边相同的角可表示为α＝－2 010°＋k·360°，k∈Z， 又当 k＝6 时，α＝150°，故与－2 010°终边相同的最小正角为 150°.] 4．终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合是________． {α|α＝k·180°＋60°，k∈Z} [终边在 y＝ 3x 上的角可表示为α＝k·180 °＋60°，k∈Z.] (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写 出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得 所需的角． (2)确定 kα，α k(k∈Z*)的终边位置的方法 先写出 kα或α k 的范围，然后根据 k 的可能取值确定 kα或α k 的终边所在位置． 考点 2 扇形的弧长、面积公式 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必 须是弧度． (2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面 积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解． 已知一扇形的圆心角为α，半径为 R，弧长为 l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长 l； (2)已知扇形的周长为 10 cm，面积是 4 cm2，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为 20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积 最大？ [解] (1)α＝60°＝π 3rad， 所以 l＝α·R＝π 3 ×10＝10π 3 (cm)． (2)由题意得 2R＋Rα＝10， 1 2α·R2＝4 ⇒ R＝1， α＝8 (舍去)或 R＝4， α＝1 2. 故扇形圆心角为 1 2rad. (3)由已知得 l＋2R＝20， 所以 S＝1 2lR＝1 2(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当 R＝5 cm 时，S 取得最大值 25 cm2， 此时 l＝10 cm，α＝2 rad. 求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． 1.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( ) A.π 6 B.π 3 C．3 D. 3 D [如图，等边三角形 ABC 是半径为 r 的圆 O 的内接三角形，则线段 AB 所对的圆心角∠AOB＝2π 3 ， 作 OM⊥AB，垂足为 M， 在 Rt△AOM 中，AO＝r，∠AOM＝π 3 ， ∴AM＝ 3 2 r，AB＝ 3r， ∴l＝ 3r， 由弧长公式得α＝l r ＝ 3r r ＝ 3.] 2．已知 2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A．2 B．sin 2 C. 2 sin 1 D．2sin 1 C [如图，∠AOB＝2 弧度，过 O 点作 OC⊥AB 于 C，并延长 OC 交AB ︵于 D. 则∠AOD＝∠BOD＝1 弧度， 且 AC＝1 2AB＝1， 在 Rt△AOC 中， AO＝ AC sin∠AOC ＝ 1 sin 1 ， 即 r＝ 1 sin 1 ， 从而AB ︵的长为 l＝α·r＝ 2 sin 1.故选 C.] 3．已知扇形弧长为 20 cm，圆心角为 100°，则该扇形的面积为________cm2. 360 π [由弧长公式 l＝|α|r， 得 r＝ 20 100π 180 ＝36 π ， 所以 S 扇形＝1 2lr＝1 2 ×20×36 π ＝360 π .] 考点 3 三角函数的概念及应用 三角函数定义问题的常见类型及解题策略 (1)已知角α终边上一点 P 的坐标，可求角α的三角函数值：先求点 P 到原点 的距离，再用三角函数的定义求解． (2)已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点 P 的坐标中的参数值，可根 据定义中的两个量列方程求参数值． (3)三角函数值的符号及角的终边位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α， cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的 交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况． 三角函数定义的应用 (1)在平面直角坐标系中，以 x 轴的非负半轴为角的始边，角α，β的 终边分别与单位圆交于点 12 13 ， 5 13 和 －3 5 ，4 5 ，则 sin(α＋β)＝( ) A．－36 65 B.48 65 C．－ 3 13 D.33 65 (2)角α终边上一点 P(4m，－3m)(m≠0)，则 2sin α＋cos α＝________． (3)角α的终边在直线 y＝－4 3x，求 sin α，cos α，tan α. (1)D (2)±2 5 [(1)由题意可知 cos α＝12 13 ，sin α＝ 5 13. cos β＝－3 5 ，sin β＝4 5 ， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝ 5 13 × －3 5 ＋12 13 ×4 5 ＝－15 65 ＋48 65 ＝33 65. (2)r＝ 16m2＋9m2＝5|m|， 当 m＞0 时，r＝5m，sin α＝－3m 5m ＝－3 5 ，cos α＝4m 5m ＝4 5 ， ∴2sin α＋cos α＝2× －3 5 ＋4 5 ＝－2 5. 当 m＜0 时，r＝－5m，sin α＝－3m －5m ＝3 5 ，cos α＝ 4m －5m ＝－4 5 ， ∴2sin α＋cos α＝2×3 5 ＋ －4 5 ＝2 5 ， ∴2sin α＋cos α＝±2 5.] (3)[解] 由题意 tan α＝－4 3 ， 当角α终边落在第二象限，设角α终边上一点 P(－3，4)，r＝5，∴sin α＝4 5 ， cos α＝－3 5 ， 当角α终边落在第四象限，设角α终边上一点 P(3，－4)，r＝5， sin α＝－4 5 ，cos α＝3 5. 充分利用三角函数的定义解题是解答此类问题的关键，对于含字母 的方程求解要注意字母的范围． 三角函数值的符号判断 (1)若 tan α＞0，则( ) A．sin α＞0 B．cos α＞0 C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0 (2)若 sin αtan α＜0，且cos α tan α ＜0，则角α是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (1)C (2)C [(1)由 tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时 sin α与 cos α同号，故 sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选 C. (2)由 sin αtan α＜0 可知 sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos α tan α ＜0 可知 cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可 知，α为第三象限角．] 判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结 合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略 角的终边在坐标轴上的情况和三角函数的定义域． 三角函数线的应用 函数 y＝ sin x－cos x的定义域为________． 2kπ＋π 4 ，2kπ＋5π 4 (k∈Z) [法一：要使函数有意义，必须使 sin x－cos x≥0. 利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上 y＝sin x 和 y＝cos x 的图象，如图所示． 在[0，2π]内，满足 sin x＝cos x 的 x 为π 4 ，5π 4 ，再结合正弦、余弦函数的周期 是 2π，所以原函数的定义域为 x|2kπ＋π 4 ≤x≤2kπ＋5π 4 ，k∈Z . 法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影 部分所示)． 所以定义域为 x|2kπ＋π 4 ≤x≤2kπ＋5π 4 ，k∈Z .] 利用三角函数线比较大小或解三角不等式，通常采用数形结合的方 法，一般来说 sin x≥b，cos x≥a，只需作直线 y＝b，x＝a 与单位圆相交，连接 原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的 x 的范 围． 1.已知点 P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B [∵tan α＜0，cos α＜0， ∴α在第二象限．] 2．(2019·枣庄模拟)已知角α的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且 cos α＝－ 4 5 ，则 m 的值为( ) A．－1 2 B.1 2 C．－ 3 2 D. 3 2 B [∵r＝ 64m2＋9，∴cos α＝ －8m 64m2＋9 ＝－4 5 ， ∴m＞0，∴ 4m2 64m2＋9 ＝ 1 25 ，即 m＝1 2.] 3．若－3π 4 ＜α＜－π 2 ，从单位圆中的三角函数线观察 sin α，cos α，tan α的大 小是( ) A．sin α＜tan α＜cos α B．cos α＜sin α＜tan α C．sin α＜cos α＜tan α D．tan α＜sin α＜cos α C [如图，作出角α的正弦线 MP， 余弦线 OM，正切线 AT， 观察可知 sin α＜cos α＜tan α.]