北京市朝阳区六校2020届高三四月联考数学（B卷）试题

北京市朝阳区六校2020届高三四月联考数学（B卷）试题

‎2019~2020学年度高三年级四月份测试题 ‎ 数学试卷B 2020.4‎ ‎（考试时间120分钟 满分150分）‎ 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知命题：，，那么命题的否定为 ‎（A）， （B）， ‎ ‎（C）， （D），‎ ‎（2）设集合，，则=‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（3）下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）已知，，，则，，的大小关系是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）为了宣传今年月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”），组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动. 在活动中，组委会对会议举办地参与活动的岁市民进行随机抽样，各年龄段人数情况如下：‎ 组号 分组 各组人数 各组人数频率分布直方图 第组 ‎ ‎ 第组 第组 第组 第组 根据以上图表中的数据可知图表中和的值分别为 ‎（A）， （B）， （C）， （D），‎ ‎（6）已知向量，若，则在上的投影是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥中最长的棱的长度为 ‎（A）‎ ‎（B） ‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（8）已知，则“”是“是直角三角形”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（9）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数构成的数列的第项，则的值为 ‎（A）5049‎ ‎（B）5050‎ ‎（C）5051‎ ‎（D）5101‎ ‎（10）关于函数，有以下三个结论：‎ ‎①函数恒有两个零点，且两个零点之积为；‎ ‎②函数的极值点不可能是；‎ ‎③函数必有最小值.‎ 其中正确结论的个数有 ‎（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。‎ ‎（11）在的二项展开式中，的系数为________．（用数字作答）‎ ‎（12）已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足，，则的实部为_________，‎ 虚部为 ．‎ ‎（13）设无穷等比数列的各项为整数，公比为，且，，写出数列的一个通项公式________．‎ ‎（14）在平面直角坐标系中，已知点，，为直线上的动点，关于直线的对称点记为，则线段的长度的最大值是________．‎ ‎（15）关于曲线，给出下列三个结论：‎ ‎① 曲线关于原点对称，但不关于轴、轴对称；‎ ‎② 曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；‎ ‎③ 曲线上任意一点到原点的距离都不大于．‎ 其中，正确结论的序号是________． ‎ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。‎ 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（16）（本小题13分）‎ 已知：①函数；‎ ‎②向量，，且，；‎ ‎③函数的图象经过点 请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.‎ 已知_________________，且函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．‎ ‎（Ⅰ）若，且，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的单调递减区间.‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎（17）（本小题14分）‎ 体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度（单位：）平均在之间即为正常体温，超过即为发热．发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：；高热：；超高热（有生命危险）：.‎ 某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗. 医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间，患者每天上午8:00服药，护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下：‎ 抗生素使用情况 没有使用 使用“抗生素A”治疗 使用“抗生素B”治疗 日期 ‎12日 ‎13日 ‎14日 ‎15日 ‎16日 ‎17日 ‎18日 ‎19日 体温（）‎ ‎38.7‎ ‎39.4‎ ‎39.7‎ ‎40.1‎ ‎39.9‎ ‎39.2‎ ‎38.9‎ ‎39.0‎ 抗生素使用情况 使用“抗生素C”治疗 没有使用 日期 ‎20日 ‎21日 ‎22日 ‎23日 ‎24日 ‎25日 ‎26日 体温（）‎ ‎38.4‎ ‎38.0‎ ‎37.6‎ ‎37.1‎ ‎36.8‎ ‎36.6‎ ‎36.3‎ ‎（Ⅰ）请你计算住院期间该患者体温不低于的各天体温平均值；‎ ‎（Ⅱ） 在日—日期间，医生会随机选取天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“项目”的检查，记为高热体温下做“项目”检查的天数，试求的分布列与数学期望；‎ ‎（Ⅲ）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由．‎ ‎（18）（本小题15分）‎ 在四棱锥中，平面平面．底面为梯形，，，且，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，‎ 与都不平行.‎ ‎（19）（本小题14分）‎ 已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，当直线与轴垂直时，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）当直线与轴不垂直时，在轴上是否存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎（20）（本小题15分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若曲线在处的切线与轴平行，求；‎ ‎（Ⅱ）已知在上的最大值不小于，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）写出所有可能的零点个数及相应的的取值范围．（请直接写出结论）‎ ‎（21）（本小题14分）‎ 已知集合，对于，‎ ‎，定义与的差为；与之间的距离为．‎ ‎（Ⅰ）若，试写出所有可能的，；‎ ‎（Ⅱ），证明：；‎ ‎（Ⅲ），三个数中是否一定有偶数？证明你的结论.‎ ‎2019~2020学年度高三年级四月份测试题 ‎ 数学B 参考答案 2020.4‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎（1） A （2） C （3）C （4） A （5） C ‎ ‎（6） D （7） B （8）D （9） B （10） D 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎（11） （12）, （13）（答案不唯一）‎ ‎（14） （15）①③‎ 三、解答题（共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）‎ ‎（16）（本小题13分）‎ 解：方案一：选条件①‎ ‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………3分 ‎ ‎ ‎ ，‎ 又 ，所以，所以. …………5分 方案二：选条件②‎ 因为，，‎ 所以.‎ 又 ，所以，所以 ‎. …………5分 方案三：选条件③‎ 由题意可知， ，所以，所以. …………1分 又因为函数图象经过点，所以. …………3分 因为，所以 ，所以. …………5分 ‎（Ⅰ）因为，，所以 . …………7分 ‎ 所以. …………9分 ‎（Ⅱ）由，‎ 得 …………12分 令，得，令，得，‎ 所以函数在上的单调递减区间为，. …………13分 ‎（17）（本小题14分）‎ 解:（Ⅰ） 由表可知，该患者共6天的体温不低于，记平均体温为，· ····1分 ‎． ··········4分 所以，患者体温不低于的各天体温平均值为.‎ ‎（Ⅱ）的所有可能取值为,,． ·····························5分 ‎, ······························6分 ‎, ····························7分 ‎． ····························8分 则的分布列为： ················································9分 P 所以． ·········································11‎ 分 ‎（Ⅲ）“抗生素C”治疗效果最佳可使用理由：‎ ① ‎“抗生素B”使用期间先连续两天降温1.0又回升0.1，“抗生素C”使用期间持续降温共计1.2，说明“抗生素C”降温效果最好，故“抗生素C”治疗效果最佳．‎ ② 抗生素B”治疗期间平均体温39.03，方差约为；“抗生素C”平均体温38，方差约为，“抗生素C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素C”治疗效果最佳． ········································14分 ‎“抗生素B”治疗效果最佳可使用理由：‎ ‎（不说使用“抗生素B”治疗才开始持续降温扣1分）‎ 自使用“抗生素B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素B”治疗当天共降温0.7，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素B”治疗效果最佳． ············14分 ‎（开放型问题，答案不唯一，但答“抗生素A”效果最好不得分，理由与结果不匹配不得分，不用数据不得分）‎ ‎（18）（本小题14分）‎ 解:（Ⅰ）因为平面平面， …………1分 平面平面, …………2分 平面, ， …………3分 所以平面, …………4分 又因为平面，‎ 所以． …………5分 M F ‎（Ⅱ）因为，，所以．‎ 由（Ⅰ）得平面，所以，‎ 故两两垂直．‎ 如图,以为原点，所在直线分别为轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 则，，，． …………6分 因为平面，所以平面的一个法向量是．‎ 而，，‎ 设平面的一个法向量为 则由 得 取，有， …………8分 所以． …………10分 由题知，二面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为． …………11分 （Ⅲ）假设棱上存在点，，设． …………12分 依题意，可知，，， …………13分 所以，． …………14分 根据假设，有 而此方程组无解，故假设错误，问题得证． …………15分 ‎（19）（本小题14分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得：‎ ‎ ……………………1分 解得: ． ……………………2分 所以椭圆的标准方程为： ……………………3分 ‎（II）依题意，若直线的斜率不为零，可设直线，．‎ 假设存在点，设，由题设，，且，.‎ 设直线的斜率分别为，‎ 则． …………4分 因为在上，‎ 故． …………5分 而轴上任意点到直线距离均相等等价于“平分”，‎ 继而等价于． …………………6分 则 ‎ ‎． ……………………8分 联立，消去，得：，‎ 有． ……………………10分 则，‎ 即，故或（舍）． … …………………13分 当直线的斜率为零时，也符合题意．‎ 故存在点，使得轴上任意点到直线距离均相等． …………14分 ‎（20）（本小题15分）‎ 解：（Ⅰ） 因为，‎ 故． …………1分 ‎ 依题意，即． …………2分 ‎ 当时，，此时切线不与轴重合，符合题意，因此．…………3分 ‎（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，,‎ 当时，因为,,，‎ 故，即单增，因此．‎ ‎ 依题意，当时，，所以符合题意． …………5分 当时，，令，有． …………6分 ‎,变化如下：‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 ‎ ‎ 故． …………7分 当时，即时，，单调递增，‎ 因此．‎ 依题意，令，有． …………8分 当时，即时，,，‎ 故存在唯一使． …………9分 此时有，即，,变化如下： …………10分 ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ 极大值 ‎ 所以，． …………11分 依题意，令，，则，在单调递增，‎ 所以，‎ 所以，此时不存在符合题意的． ‎ 综上所述，当，在上的最大值不小于，‎ 若，则在上的最大值小于，‎ 所以的取值范围为． …………………12分 解法二：‎ ‎（Ⅱ）当时，最大值不小于2，等价于 在上有解，显然不是解,‎ 即在上有解， ……………………4分 设，,‎ 则． ……………………5分 设 ，，‎ 则．‎ 所以在单调递减， ， …………7分 所以，所以在单调递增， ……………………9分 所以． ……………………10分 依题意需,‎ 所以的取值范围为． ……………………12分 解法三:‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,‎ ‎（1）当时，,‎ 设，,‎ 所以在单调递减，故． …………5分 所以，所以在单调递增，‎ 因此． …………7分 ‎ 依题意，令，得． …………8分 ‎（2）当时，,‎ 设,,‎ 则,‎ 所以在单调递增， …………10分 故，即，不符合题意． …………11分 综上所述，的取值范围为． ············12分 ‎（III）当时，有0个零点；当时，有1个零点 当时，有2个零点；当时，有3个零点．· ············15分 ‎（21）（本小题14分）‎ 解：（Ⅰ） ；‎ ‎； …………1分 ‎； …………2分 ‎. …………3分 ‎（Ⅱ） 令，‎ 对，‎ 当时，有； …………4分 当时，有． …………5分 所以 ‎ ． …………6分 ‎（Ⅲ），三个数中一定有偶数. 理由如下：‎ 解法一：‎ 设，‎ ‎，‎ 记由（Ⅱ）可知: ，‎ ‎，‎ ‎. …………8分 所以中1的个数为,中1的个数为.‎ 设是使成立的的个数，则. …………10分 由此可知，三个数不可能都是奇数，‎ 即三个数中一定有偶数. …………14分 解法二：‎ 因为，‎ 且与奇偶性相同. …………8分 所以为偶数，‎ 故为偶数， …………10分 所以三个数不可能都是奇数，‎ 即三个数中一定有偶数. …………14分