2021版高考数学一轮复习第七章数列7.5.1 等差与等比数列的综合问题

2021版高考数学一轮复习第七章数列7.5.1 等差与等比数列的综合问题

‎7.5.1 等差与等比数列的综合问题 核心考点·精准研析 考点一　基本量的运算 ‎ ‎1.等差数列的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则前6项的和为 (　　)‎ A.-24 B.-3 C.3 D.8‎ ‎2.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则 (　　)‎ A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0‎ C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0‎ ‎3.(2019·江苏高考)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8‎ ‎=0,S9=27,则S8的值是________. ‎ ‎4.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2,a5,a11成等比数列,且a11=‎ ‎2(Sm-Sn)(m>n>0,m,n∈N*),则m+n=________. ‎ ‎【解析】1.选A.设等差数列的公差为d,由a2,a3,a6成等比数列可得=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),整理可得d2+2d=0,又公差不为0,则d=-2,故{an}前6项的和为S6=6a1+d=6×1+×(-2)=-24.‎ ‎2.选B.因为数列{an}是等差数列,a3,a4,a8成等比数列,‎ 所以=,‎ 解得a1=-d,‎ 所以S4=2=2=-d,‎ 所以a1d=-d2<0,dS4=-d2<0.‎ ‎3.设等差数列的首项为a1,公差为d,‎ 由a2a5+a8=0,S9=27,‎ 12‎ 得解得a1=-5,d=2,‎ 所以S8==4(2a1+7d)=16.‎ 答案:16‎ ‎4.设公差为d,则=a2a11⇒(a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d)(d≠0),整理得a1=2d,由a11=‎ ‎2(Sm-Sn),可得 a1+10d=2,‎ 化简得(m2-n2)+3(m-n)=12,‎ 即(m-n)(m+n+3)=12,因为m>n>0,m,n∈N*,‎ 所以m=5,n=4,所以m+n=9.‎ 答案:9‎ 已知等比数列{an}的各项都为正数,且a3,a5,a4成等差数列,则的值是 (　　)‎ A.　　　B.　　　C.　　　D.‎ ‎【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q,由a3,a5,a4成等差数列,可得a5=a3+a4,即a3q2=a3+a3q,故q2-q-1=0,解得q=或q=(舍去),==‎ 12‎ ‎====.‎ ‎　等差数列、等比数列基本量的运算方法 ‎(1)等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组)问题.‎ ‎(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.‎ 考点二　等差、等比数列的综合应用 ‎ ‎【典例】设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. ‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|<成立的n的最小值.‎ ‎【解题导思】‎ 序号 题目拆解 ‎(1)‎ ‎①Sn=2an-a1‎ 将Sn=2an-a1利用an=Sn-Sn-1转化为an与an-1的关系,由Sn=2an-a1,将a2、a3用a1表示 ‎②a1,a2+1,a3成等差数列 根据关系列方程,得a1‎ ‎(2)‎ ‎①记数列的前n项和为Tn 由(1)写出的表达式,表示出Tn ‎②求使得|Tn-1|<成立的n的最小值 由|Tn-1|<解关于n的不等式 ‎【解析】(1)由已知Sn=2an-a1,有 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),‎ 即an=2an-1(n≥2).所以公比q=2.‎ 从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.‎ 12‎ 又因为a1,a2+1,a3成等差数列,‎ 即a1+a3=2(a2+1).‎ 所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,故an=2n.‎ ‎(2)由(1)得=,‎ 所以Tn=++…+==1-.‎ 由|Tn-1|<,得<,即2n>1 000.‎ 因为29=512<1 000<1 024=210,所以n≥10.‎ 于是,使|Tn-1|<成立的n的最小值为10.‎ ‎　等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略 ‎(1)设置中间问题:求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.‎ ‎(2)注意解题细节:在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.‎ ‎【误区警示】在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.‎ ‎【变式备选】‎ ‎　　 已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=6,b2+S3=8.‎ ‎(1)求数列{an}与{bn}的通项公式.‎ ‎(2)求++…+.‎ ‎【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d, d>0,{bn}的公比为q,则an=1+(n-1)d,‎ 12‎ bn=qn-1.‎ 依题意有解得或(舍去).‎ 故an=n,bn=2n-1.‎ ‎(2)由(1)知Sn=1+2+…+n=n(n+1),‎ 所以==2,所以++…+=2‎ ‎=2=.‎ 已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列.‎ ‎(1)求等比数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)对n∈N*,在an与an+1之间插入3n个数,使这3n+2个数成等差数列,记插入的这3n个数的和为bn,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列,‎ 所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5,‎ 即2a6-3a5+a4=0,所以2q2-3q+1=0.‎ 因为q≠1,所以q=,‎ 所以等比数列{an}的通项公式为an=.‎ 12‎ ‎(2)由题意得bn=·3n=·,‎ Tn=·=.‎ 考点三　求数列的通项公式 ‎ 命 题 精 解 读 考什么:数列的通项公式 怎么考:(1)由an与Sn的关系求通项an ‎(2)由递推公式求通项an ‎(3)构造新数列求an 新趋势:以数列为载体,与函数或不等式等综合考查 学 霸 好 方 法 ‎1.求数列的通项公式an ‎(1)形如an+1=an+f(n)的数列,常用累加法 ‎(2)形如an+1=anf(n)的数列,常可采用累乘法 ‎(3)形如an+1=ban+d(其中b,d为常数,b≠0,1)的数列,常用构造法 ‎2.交汇问题 与函数或不等式等交汇时,经常先构造出新的等差或等比数列求解,然后再求an 由an与Sn的关系求通项an ‎【典例】(2018·全国卷Ⅰ改编)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则an=________. ‎ ‎【解析】因为Sn=2an+1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+1,‎ 所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1.‎ 当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.‎ 所以数列{an}是首项a1为-1,公比q为2的等比数列,所以an=-1×=-.‎ 答案:-2n-1‎ 12‎ Sn与an关系问题的求解思路如何?‎ 提示:根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.‎ ‎①利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式 ‎②利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式 由递推公式求数列通项 ‎【典例】1.设数列{an}满足a1=3,an+1=an+,则通项公式an=________. ‎ ‎【解析】原递推公式可化为an+1=an+-,‎ 则a2=a1+-,a3=a2+-,a4=a3+-,…,an-1=an-2+-,an=an-1+-,以上(n-1)个式子的等号两端分别相加得,an=a1+1-,故an=4-.‎ 答案:4-‎ ‎2.在数列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),则数列{an}的通项公式为________.  ‎ ‎【解析】因为an=an-1(n≥2),‎ 所以an-1=an-2,an-2=an-3,…,a2=a1.‎ 以上(n-1)个式子相乘得an=a1···…·==.‎ 当n=1时,a1=1,上式也成立.所以an=(n∈N*).‎ 答案:an=(n∈N*)‎ ‎(1)形如an+1=an+f(n)的数列,选择何种方法求通项公式?‎ 12‎ 提示:累加法.‎ ‎(2)形如an+1=anf(n)的数列,选择何种方法求通项公式?‎ 提示:累乘法.‎ ‎【误区警示】利用累乘法求通项公式时,易出现两个方面的问题:一是在连乘的式子中只写到,漏掉a1而导致错误;二是根据连乘求出an之后,不注意检验a1是否成立.‎ 构造等差、等比数列求通项an ‎【典例】1.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,则数列{an}的通项公式为____________. ‎ ‎【解析】因为an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),‎ 所以=3,‎ 所以数列{an+1}为等比数列,公比q=3,又a1+1=2,‎ 所以an+1=2·3n-1,所以an=2·3n-1-1(n∈N*).‎ 答案:an=2·3n-1-1(n∈N*)‎ ‎2.已知数列{an}满足:an+2=3an+1-2an,a1=2,a2=4,n∈N*.‎ 求证:数列{an+1-an}为等比数列,并求数列{an}的通项公式.‎ ‎【解析】因为==2,‎ 所以数列{an+1-an}是公比为2,首项为2的等比数列,‎ 所以an+1-an=2n,‎ 累加可知:an-a1=2+22+…+2n-1=2n-2(n≥2),‎ an=2n(n≥2),当n=1时,a1=2满足上式,‎ 所以an=2n(n∈N*).‎ ‎(1)形如an+1=ban+d(其中b,d为常数,b≠0,1)的数列,其基本思路是什么?‎ 提示:等号两边同时加上一个数使{an+λ}成等比数列.‎ 12‎ ‎(2)形如an+1=(p,q,r是常数)的数列,构造新数列时是怎样变形的?‎ 提示:求倒数==+,再用构造法.‎ ‎(3)形如an+2=pan+1+qan(p,q是常数,且p+q=1)的数列,如何求通项?‎ 提示:等号两边同时加上an+1的倍数使{an+1+λan}成等比数列.‎ ‎1.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6= (　　)‎ A.3×44 B.3×44+1‎ C.45 D.45+1‎ ‎【解析】选A.a1=1,a2=3S1=3,a3=3S2=12=3×41,a4=3S3=48=3×42,a5=3S4=192=3×43,a6=3S5=768=3×44.‎ ‎【一题多解】选A.当n≥1时,an+1=3Sn,则an+2=3Sn+1,‎ 所以an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即an+2=4an+1,‎ 所以该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列,又a2=3S1=3a1=3,所以 an=‎ 所以当n=6时,a6=3×46-2=3×44.‎ ‎2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn= (　　)‎ A.2n-1 B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选B.由已知Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,=,而S1=a1=1,所以Sn=‎ 12‎ ‎.‎ ‎3.设数列{an}满足a1=1,且an+1=an+n+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式为________. ‎ ‎【解析】由题意得a2=a1+2,a3=a2+3,…,an=an-1+n(n≥2),以上各式相加,得an=a1+2+3+…+n.又因为a1=1,所以an=1+2+3+…+n=(n≥2),因为当n=1时也满足上式,所以an=(n∈N*).‎ 答案:an=‎ ‎4.设数列{an}满足a1=1,an+1=2nan,则通项公式an=________. ‎ ‎【解析】由an+1=2nan,得=2n-1(n≥2),‎ 所以an=··…··a1‎ ‎=2n-1·2n-2·…·2·1=21+2+3+…+(n-1)=.‎ 又a1=1适合上式,故an=.‎ 答案:‎ ‎1.在数列{an}中,a1=3,且点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4x-y+1=0上,求数列{an}的通项公式.‎ ‎【解析】因为点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4x-y+1=0上,‎ 所以4an-an+1+1=0,即an+1=4an+1,‎ 12‎ 得an+1+=4,‎ 所以是首项为a1+=,公比为4的等比数列,所以an+=·4n-1,故an=‎ ‎·4n-1-.‎ ‎【变式备选】‎ ‎　　　在数列{an}中,a1=1,数列{an+1-3an}是首项为9,公比为3的等比数列.‎ ‎(1)求a2,a3.‎ ‎(2)求数列的前n项和Sn.‎ ‎【解析】(1)因为数列{an+1-3an}是首项为9,公比为3的等比数列,所以an+1-3an=9×3n-1=3n+1,‎ 所以a2-3a1=9,a3-3a2=27,所以a2=12,a3=63.‎ ‎(2)因为an+1-3an=3n+1,所以-=1,‎ 所以数列是首项为,公差为1的等差数列,‎ 所以数列的前n项和Sn=+=.‎ ‎2.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,n∈N*.‎ ‎(1)证明:an+2=3an.‎ ‎(2)求S2n.‎ ‎【解析】(1)由条件,对任意n∈N*,有 an+2=3Sn-Sn+1+3,‎ 则对任意n∈N*,n≥2,有an+1=3Sn-1-Sn+3.‎ 两式相减,得an+2-an+1=3an-an+1,‎ 12‎ 即an+2=3an,n≥2,‎ 又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1.故对一切n∈N*,an+2=3an.‎ ‎(2)由(1)知,an≠0,所以=3.‎ 于是数列{a2n-1}是首项a1=1,公比为3的等比数列;数列{a2n}是首项a2=2,公比为3的等比数列.‎ 因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.‎ 于是S2n=a1+a2+…+a2n ‎=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)‎ ‎=(1+3+…+3n-1)+2×(1+3+…+3n-1)‎ ‎=3×(1+3+…+3n-1)=.‎ 12‎