2018-2019学年江西省分宜中学高二上学期第一次段考数学试题 Word版

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分宜中学2018-2019学年度上学期高二年级第一次段考 数 学 试 卷 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.知,,,则的大小关系为(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.设是等差数列的前项和, 则的值为(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知不等式的整数解构成等差数列的前三项,则数列的第四项(   )‎ A. B. C. D. 或 ‎4.已知数列为等差数列且,则的值为(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知数列满足,且,则数列的最大项是(   )‎ A. B. C. D.不存在 ‎6.已知实数满足,则的取值范围是(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是(   )‎ A.在中, B.在中,若,则 C.在中,若,则;若,则都成立 D.在中, ‎ ‎8.若为钝角三角形,三边长分别为,,,则的取值范围是(   )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知数列的通项公式,设其前项和为,则使成立的最小自然数等于(    )‎ A.83         B.82         C.81         D.80‎ ‎10.在中,角所对的边分别为已知 ,则 (   )‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎11.在中, 是边上的点,且,则的值为(    )     A. B. C. D. ‎ ‎12.在中,若,则∠等于(   )‎ A.45º B. C. 或 D. 或 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.在中,若,其外接圆的半径是,则        .‎ ‎14.在中,角所对的边分别为若则角的大小为________.‎ ‎15.已知,关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数,则所有符合条件的的值之和是________.‎ ‎16.已知,,,则__________.‎ 三、解答题(共70分)‎ ‎17.（10分）在锐角中, 分别为角所对的边,且. （1）确定角的大小; （2）若,且的面积为,求的值.‎ ‎18.（12分）已知首项都是的两个数列,满足. （1）令,求数列的通项公式; （2）若,求数列的前项和.‎ ‎19. （12分）在中, .‎ ‎（1）证明: ;‎ ‎（2）若,求的值.‎ ‎20.（12分）已知函数. （1）若求的值域; （2）若存在实数,当时, 恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎21.（12分）设数列的前项和为.已知,,. （1）求的值; （2）求数列的通项公式; （3）证明:对一切正整数,有.‎ ‎22. （12分）如图所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.‎ 现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.‎ ‎(1)求索道AB的长；‎ ‎(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ 分宜中学2018-2019学年度上学期高二年级第一次段考 数 学 答 案 一、选择题 ‎1-5 ADDDA 6-10 BBDCB 11-12 DC 二、填空题 ‎13. 14. 15.21 16. 450‎ 三、解答题 ‎17.答案：1.由及正弦定理得, ∵,∴ ∵是锐角三角形,∴ 2.解法1:‎ ‎∵,,由面积公式得即,①‎ 由余弦定理得即,②‎ 由②变形得,‎ 故;‎ 解法2:‎ 前同解法1,联立①、②得 ‎ 消去并整理得,解得或,‎ 所以或,‎ 故.‎ ‎18.答案：1.因为, 所以,即. 所以数列是以首项,公差的等差数列,故. 2.由知, 于是数列前项和 ① ①得,② ①-②得 所以.‎ 解析：‎ ‎19.答案：1.证明:在中,由正弦定理及已知,得,‎ 于是,即.‎ 因为,从而,所以. 2.由和1题得,‎ 故.‎ 又,于是.‎ 从而,‎ ‎.‎ 所以.‎ ‎20. 1.由题意得,当时, , ,∴此时的值域为, 当时, ,, ∴此时的值域为, 当时, ,, ∴此时的值域为. 2.由,成立得, , 恒成立,令,, 因为抛物线的开口向上,所以, 由,恒成立知, 化简得,令, 则原题可转化为:存在,使得,即当, ∵,∴函数的图像的对称轴: , ①当,即时, , ∴,解得. ②当,即时, , ∴,解得. 综上的取值范围为.‎ ‎21.答案：1.∵,. 当时, ‎ ‎, 又,∴. 2.∵,. ∴.    ① ∴当时, ,    ② 由①-②,得, ∵, ∴, ∴又. ∴数列是以首项为,公差为1的等差数列. ∴. 3.证明:由2知, . ①当时,∴原不等式成立. ②当时,∵, ∴ ‎ ‎. ∴当时,原不等式亦成立. 综上,对一切正整数,有.‎ ‎22.(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，‎ 所以sin A＝，sin C＝.‎ 从而sin B＝sin ‎＝sin(A＋C)‎ ‎＝sin Acos C＋cos Asin C ‎＝×＋×＝.‎ 由＝，得 AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．‎ 所以索道AB的长为1 040 m.‎ ‎(2)设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d m，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)× ‎＝200(37t2－70t＋50)，‎ 因0≤t≤，即0≤t≤8，‎ 故当t＝ min时，甲、乙两游客距离最短．‎ ‎(3)由＝，得BC＝×sin A＝×＝500(m)．‎ 乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.‎ 设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，‎ 解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．‎