- 2021-06-10 发布 |
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文档介绍
【数学】2019届一轮复习人教A版(文)第八章第二节两条直线的位置关系学案
第二节两条直线的位置关系 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行: ①对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2. ②当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2. (2)两条直线垂直: ①如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1. ②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2. 2.两条直线的交点的求法 直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解. 3.三种距离公式 P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离 |P1P2|= 点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 d= 平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间距离 d= 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( ) (2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.( ) (4)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.( ) (5)两平行直线2x-y+1=0,4x-2y+1=0间的距离是0.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2.若直线ax+2y-1=0与直线2x-3y-1=0垂直,则a的值为( ) A.-3 B.- C.2 D.3 解析:选D 直线ax+2y-1=0的斜率k1=-,直线2x-3y-1=0的斜率k2=,因为两直线垂直,所以-×=-1,即a=3. 3.(教材习题改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值为( ) A. B.2- C.-1 D.+1 解析:选C 由题意知=1,∴|a+1|=,又a>0,∴a=-1. 4.若直线2x-y=-10,y=x+1,y=ax-2交于一点,则a的值为________. 解析:由得 即直线2x-y=-10与y=x+1相交于点(-9,-8). 又因为直线2x-y=-10,y=x+1,y=ax-2交于一点, 所以-8=-9a-2,解得a=. 答案: 5.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是________. 解析:∵=≠,∴m=8,直线6x+my+14=0可化为3x+4y+7=0,两平行线之间的距离d==2. 答案:2 [考什么·怎么考] 两条不同直线的位置关系有平行、相交(垂直是其中一种特殊情况)两种情况,要求能根据直线方程判断两条直线的位置关系,利用两条直线平行、垂直求其中一条直线的方程或参数的取值范围,多以选择题、填空题的形式命题,难度较易,属于基础题. 1.已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2x+y-1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为( ) A.-10 B.-2 C.0 D.8 解析:选A ∵l1∥l2,∴=-2(m≠-2),解得m=-8(经检验,l1与l2不重合),∵l2⊥l3,∴2×1+1×n=0,解得n=-2,∴m+n=-10. 2.已知经过点A(-2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a)的直线l2互相垂直,则实数a的值为________. 解析:l1的斜率k1==a. 当a≠0时,l2的斜率k2==. 因为l1⊥l2,所以k1k2=-1,即a·=-1,解得a=1. 当a=0时,P(0,-1),Q(0,0),这时直线l2为y轴,A(-2,0),B(1,0),直线l1为x轴,显然l1⊥l2. 综上可知,实数a的值为1或0. 答案:1或0 3.已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,试确定m,n的值,使 (1)l1与l2相交于点P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1. 解:(1)由题意得 解得 即m=1,n=7时,l1与l2相交于点P(m,-1). (2)∵l1∥l2,∴ 解得或 即m=4,n≠-2或m=-4,n≠2时,l1∥l2. (3)当且仅当2m+8m=0, 即m=0时,l1⊥l2. 又-=-1,∴n=8. 即m=0,n=8时,l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1. [怎样快解·准解] 1.解题要“前思后想” 解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想” 2.方法要“因题而定” (1)已知两直线的斜率存在,判断两直线平行垂直的方法 ①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等; ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1. (2)由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1:A1x+B1y+C1=0(A+B≠0) l2:A2x+B2y+C2=0(A+B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2+B1B2=0 l1与l2平行的充分条件 =≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ==(A2B2C2≠0) [注意] 在判断两直线位置关系时,比例式与,的关系容易记住,在解答选择、填空题时,建议多用比例式来解答. 距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离以及两条平行线间的距离,多以选择题或填空题的形式考查,难度偏小,属于基础题. [典题领悟] 1.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( ) A. B. C. D. 解析:选C 因为=≠,所以两直线平行, 将直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0, 由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离, 即=,所以|PQ|的最小值为. 2.已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,若在坐标平面内存在一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2,则P点坐标为________. 解析:设点P的坐标为(a,b). ∵A(4,-3),B(2,-1), ∴线段AB的中点M的坐标为(3,-2). 而AB的斜率kAB==-1, ∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3, 即x-y-5=0. ∵点P(a,b)在直线x-y-5=0上, ∴a-b-5=0.① 又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2, ∴=2,即4a+3b-2=±10,② 由①②联立解得或 ∴所求点P的坐标为(1,-4)或. 答案:(1,-4)或 [解题师说] 距离问题的常见题型及解题策略 (1)求两点间的距离.关键是确定两点的坐标,然后代入公式即可,一般用来判断三角形的形状等. (2)解决与点到直线的距离有关的问题.应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在. (3)求两条平行线间的距离.要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题. [冲关演练] 1.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为( ) A. B.1 C. D.2 解析:选C 因为点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,所以当点P处的切线和直线y=x-2平行时,点P到直线y=x-2的距离最小.因为直线y=x-2的斜率等于1,曲线y=x2-ln x的导数y′=2x-,令y′=1,可得x=1或x=-(舍去),所以在曲线y=x2-ln x上与直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标为(1,1),所以点P到直线y=x-2的最小距离为,故选C. 2.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( ) A.3 B.2 C.3 D.4 解析:选A 依题意知AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离都相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得=⇒|m+7|=|m+5|⇒m=-6,即l:x+y-6=0.根据点到直线的距离公式,得M到原点的距离的最小值为=3. 对称问题主要包括中心对称和轴对称两类问题,中心对称就是点(线)关于点的对称,轴对称就是点(线)关于线的对称,此类问题多以选择题或填空题的形式考查,难度适中. 常见的命题角度有: (1)点关于点的对称; (2)点关于线的对称; (3)线关于点的对称; (4)线关于线的对称. [题点全练] 角度(一) 点关于点的对称 1.过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________________. 解析:设l1与l的交点为A(a,8-2a), 则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把B点坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0, 解得a=4,即点A(4,0)在直线l上, 所以由两点式得直线l的方程为x+4y-4=0. 答案:x+4y-4=0 [题型技法] 若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得进而求解. 角度(二) 点关于线的对称 2.在等腰直角三角形ABC中,|AB|=|AC|=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP的长度为( ) A.2 B.1 C. D. 解析:选D 以AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系,由题意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程为x+y-4=0,设P(t,0)(0查看更多