2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期第一次阶段性测试数学试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期第一次阶段性测试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期第一次阶段性测试数学试题 一、单选题 ‎1．在中，若，，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：在中，由正弦定理可知，∴.‎ ‎【考点】正弦定理的应用.‎ ‎2．在平行四边形中，下列结论错误的是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出图像，根据向量加法运算，对选项逐一分析判断，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 画出图像如下图所示.对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确.对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，，结论正确.对于C选项，由于，故结论错误.对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量加法运算，考查平行四边形的几何性质，属于基础题.‎ ‎3．在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是 A．，， B．，，‎ C．，， D．，，‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据全等三角形的判断方法，判断A,B两个选项有一个解.根据判断C选项有一个解.根据判断D选项有两个解.‎ ‎【详解】‎ 根据“有两个角两角相等，且有一边相等的两个三角形全等”可知A选项有一个解.根据“两边对应相等，且这两边的夹角相等，则这两个三角形全等”可知B选项有一个解.由于为锐角，且，故C选项有一个解.对于D选项，由于，所以D选项有两个解.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查解三角形过程中，三角形解得个数的判断，属于中档题.‎ ‎4．设是两个不共线的向量，若则（ ）‎ A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 ‎【答案】A ‎【解析】因为+==2，故三点共线.‎ 故答案为：A.‎ ‎5．已知向量与的夹角为120°，则（ ）‎ A．5 B．4 C．3 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】 即 解得（舍去）故选B ‎6．的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为两向量平行，所以等价于，整理为，所以，所以角 ‎【考点】1．向量平行的坐标表示；2．余弦定理．‎ ‎7．．已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，得，，，根据向量数量积的计算公式，得，解得，又与不共线，则，所以正确答案为A,‎ ‎8．在中，点在边上，且，，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出图像，利用向量减法的运算，表示出，由此求得的值，进而求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，故，故.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量减法运算，考查平面向量基本定理，属于基础题.‎ ‎9．在中，，则的形状是 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 ‎【答案】C ‎【解析】利用正弦定理和二倍角公式，求得的值，由此判断角的大小，进而判断出角的大小，从而判断出三角形的形状.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得，由于，故,，由于，故，故，所以三角形为钝角三角形.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查正弦定理，考查二倍角公式，考查三角形形状的判断，属于中档题.‎ ‎10．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】以分别为轴正方向建立平面直角坐标系，设出的坐标，代入，利用模的坐标表示出，进而求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ 以分别为轴正方向建立平面直角坐标系，如下图所示，，设，则有得，化简得，故向量对应的点在以为圆心，半径为的圆上.由于圆过原点，故圆上的点到原点的距离的最大值为直径，也即的最大值为.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力以及化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎11．在中,已知,分别为所对边,则为 A． B．1 C．或1 D．无法确定 ‎【答案】B ‎【解析】将通分后，利用余弦定理化简，求得化简的结果.‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理得.由通分得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查余弦定理的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎12．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，则点为三角形的 A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 ‎【答案】D ‎【解析】在上分别取单位向量，记，则平分，用表示出，代入条件所给等式，用表示出，则可证明三点共线，即平分.同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心.‎ ‎【详解】‎ 在，上分别取点使得，则，作菱形，则由所以为的平分线.因为，所以，所以 ，所以三点共线，即在的平分线上. .同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心.，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平面向量的加法运算，考查三点共线的证明，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知向量，，若，则_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求得，然后利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，由于，所以，.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平面向量坐标的加法运算，考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.‎ ‎14．在所在的平面内有一点，若，那么的面积与的面积之比是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用向量加法和减法运算，证得是线段上，靠近点的四等分点，由此求得两个三角形面积的比值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，所以，即，所以是线段上，靠近点的四等分点，故两个三角形面积的比等于.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，考查平面向量方向相反的表示，属于基础题.‎ ‎15．在中,内角所对应的边分别为，若，，则的面积为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由，，利用余弦定理可得，结合三角形的面积公式进行求解即可.‎ 详解：因为，，‎ 所以由余弦定理得：‎ ‎，即，‎ 因此的面积为，‎ 故答案为.‎ 点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎16．在中，内角，，的对边分别为，，，为边上的高，给出以下结论：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）．‎ 其中正确的序号是__________．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）（4）‎ ‎【解析】利用向量加法、减法和数量积的运算，结合余弦定理，对四个结论逐一分析，由此得出正确的序号.‎ ‎【详解】‎ 由于，故（1）正确.由于 ，故（2）正确.由于，且，故（3）正确.由于 ，故（4）正确.‎ 综上所述，正确的序号是（1）（2）（3）（4）.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平面向量加法、减法运算，考查平面向量数量积运算，考查两个向量垂直的表示，考查余弦定理，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．在中，内角的对边分别为，，，已知．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，,求的面积．‎ ‎【答案】（1）2；（2）‎ ‎【解析】（1）通过将条件转化为，然后利用三角变换可得结果；‎ ‎（2）由（1）得，由余弦定理得，可解得，，从而解得三角形的面积。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理，得，‎ 所以，‎ 即，‎ ‎，‎ 化简得，‎ 又，所以，‎ 因此.‎ ‎（2）由，得，‎ 由余弦定理及，‎ 得，‎ 解得，从而．‎ 又因为，且，‎ 所以．‎ 因此.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正、余弦定理和三角形的面积公式，解三角形问题时，熟记三角变换公式是前提，解三角形的本质其实是边与角的互化，如何转化是解三角形的关键。‎ ‎18．如图所示，某海岛上一观察哨上午时测得一轮船在海岛北偏东的处， 时分测得船在海岛北偏西的处， 时分轮船到达位于海岛正西方且距海岛的港口，如果轮船始终匀速直线前进，求船速多少．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：将实际问题转化为解三角形问题，找到对应的边角以及所求的边，利用正弦定理余弦定理求得边长，即航行的距离，得到航速 试题解析：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟， ‎ 而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=，则 则BC=4，由已知得2分 在△AEC中，由正弦定理得：‎ ‎ ‎ ‎ 5分 在△ABC中，由正弦定理得： ‎ ‎ 8分 ‎ 在△ABE中，由余弦定理得：‎ ‎11分 所以船速答：该船的速度为km/h 14分 ‎【考点】1．正余弦定理解三角形；2．解三角形在实际问题中的应用 ‎19．在中，角，，的对边分别为，，，且满足．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由平面向量的数量积定义与正弦定理进行化简的值，进而求教B;（2）利用余弦定理与基本不等式进行求解．‎ 试题解析：（1）由题意得（a－c）cosB＝bcosC．‎ 根据正弦定理有（sinA－sinC）cosB＝sinBcosC，‎ 所以sinAcosB＝sin（C＋B），即sinAcosB＝sinA．‎ 因为sinA>0，所以cosB＝，‎ 又B∈（0，π），所以B＝．‎ ‎（2）因为||＝，所以 即b＝‎ 根据余弦定理及基本不等式得 ‎6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝（2－）ac（当且仅当a＝c时取等号），即ac≤3（2＋）．‎ 故△ABC的面积S＝acsinB≤．‎ ‎【考点】1．正弦定理；2．余弦定理；3．基本不等式．‎ ‎20．已知是锐角三角形的外接圆圆心，，‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理将已知条件转化为边的形式，然后利用余弦定理求得的值，进而求得的大小.（2）利用为锐角三角形的外心，以及正弦定理，化简，得到，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理得，即，即，所以.（2）设是中点，根据垂径定理可知，依题意，即，利用正弦定理化简得，由于，所以，即，即.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查平面向量的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎