2019届二轮复习（理）圆锥曲线综合学案（全国通用）

2019届二轮复习（理）圆锥曲线综合学案（全国通用）

‎【母题原题1】【2018新课标1，理19】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.‎ ‎（1）当与轴垂直时，求直线的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，证明：.‎ 由得 ‎.‎ 将代入得 ‎.‎ 所以，. ]‎ 则.‎ 从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.‎ 综上，.‎ 点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.‎ ‎【母题原题2】【2017新课标1，理20】已知椭圆C:=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎(1)求C的方程; ‎ ‎(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.‎ ‎【母题原题3】【2016新课标1，理20】‎ 设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC 的平行线交AD于点E.‎ ‎(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.‎ ‎【解析】 (Ⅰ)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.‎ 所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.‎ 又圆A的标准方程　为(x+1)2+y2=16,‎ 从而|AD|=4,‎ 所以|EA|+|EB|=4.‎ 由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,‎ 由椭圆定义　可得点E的轨迹方程为:=1(y≠0).‎ ‎(Ⅱ)当l与x轴不垂直时,设l的方程为 y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 由　‎ 可得当l与x轴不垂直　时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).‎ 当l与x轴垂直　时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.‎ 综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8). ‎ ‎【命题热点剖析】‎ ‎1.圆锥曲线的解答题新课标的要求理 一般以椭圆或抛物线为背景,而文 一般以椭圆或圆或抛物线为背景进行综合考查,由于双曲线的弱化,故以双曲线为背景的解析几何解答题不在考虑.从近几年高考来看,圆锥曲线的解答题中主要是以椭圆,抛物线为基本依托,考查椭圆,抛物线方程的求解、考查直线与曲线的位置关系,考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法,这道解答题往往是试卷的压轴题之一．从近几年高考来看,计算量都不是太大,说明文理难度都在降低,特别是计算量不大,但要求的逻辑思维能力,数形结合的能力与往年差不多,体现高考重能力,轻运算．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识,在高考命题上已经比较成熟,考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定,考查方向为以椭圆,抛物线为背景,考查轨迹问题、探索性命题及最值问题,文 也有可能以圆为背景命题,也有可能继续保持题型不变,考查细节上有所变化.‎ ‎2.从近几年高考来看,求曲线的轨迹方程是高考的常考题型,主要以解答题的形式出现,考查轨迹方程的求法以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质,一般用直接法、待定系数法、相关点代入法等求曲线的轨迹方程,其关键是找到与任意点有关的等量关系．轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合,着重考查分析问题、解决问题的能力,对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求．‎ ‎【应试经验与技巧】‎ ‎１．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中与的分母大小,若的分母比的分母大,则焦点在x轴上,若的分母比的分母小,则焦点在y轴上．‎ ‎２．注意椭圆的范围,在设椭圆上点的坐标时,则,这往往在求与点有关的最值问题中特别有用,也是容易忽略导致求最值错误的原因．‎ ‎３．注意椭圆上点的坐标范围,特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解,求函数的单调区间,最值有重要意义． ‎ ‎4．直线和抛物线若有一个公共点,并不能说明直线和抛物线相切,还有可能直线与抛物线的对称轴平行．‎ ‎5．在求得轨迹方程之后,要深入地思考一下：(1)是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？(2)在所求得的轨迹方程中,x,y的取值范围是否有什么限制？确保轨迹上的点“不多不少”．‎ ‎6.作为解答题的倒数第二个,试题的难度较大,也体现在计算量上尤为明显,学生在解题时往往会思路,‎ 但计算往往不对,对此,建议如下：第一问保证准确,如轨迹方程,曲线方程,或者几何性质等,因为第二问往往以第一问为基础,故第一问要舍得花时间去验证一下；对于第二问,往往就是曲线与直线联立,建立方程组,利用判别式,韦达定理等这些都已经成立的模式,建立关系式,即使思路无法进行,也要准确的放在卷面上,一般它们都要占到部分分数；如果涉及到直线方程的探索,特别注意斜率不存在的情况,有时一些定值定点问题,可以通过这种特殊情况直接得到.‎ ‎【重点知识整合】‎ ‎1.椭圆的第一定义：平面内到两个定点的距离之和等于定长（）的点的轨迹.‎ 注意：椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于时,无轨迹.‎ ‎2．直线和椭圆的位置关系 ‎（1）位置关系判断：‎ ‎ 直线与椭圆方程联立方程组,消掉y,得到的形式（这里的系数A一定不为0）,设其判别式为,‎ ‎（1）相交：直线与椭圆相交；‎ ‎（2）相切：直线与椭圆相切；‎ ‎（3）相离：直线与椭圆相离；‎ ‎(2弦长公式：‎ ‎（1）若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则＝,若分别为A、B的纵坐标,则＝,若弦AB所在直线方程设为,则＝.‎ ‎（2）焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解.椭圆左焦点弦,右焦点弦.其中最短的为通径：,最长为；‎ ‎（3）椭圆的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆中,以 为中点的弦所在直线的斜率. ]‎ ‎3.与焦点三角形相关的结论 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角,通常叫做焦点三角形.一般与焦点三角形的相关问题常利用椭圆的第一定义和正弦、余弦定理求解.设椭圆上的一点到两焦点的距离分别为,焦点的面积为,设,则在椭圆中,有以下结论：学- ‎ ‎(1)＝,且当即为短轴端点时,最大为＝；‎ ‎（2）；焦点三角形的周长为；‎ ‎ (3),当即为短轴端点时,的最大值为；‎ ‎4.直线和抛物线的位置关系 ‎（1）位置关系判断：直线与双曲线方程联立方程组,消掉y,得到 的形式,当,直线和抛物线相交,且与抛物线的对称轴并行,此时与抛物线只有一个交点,当设其判别式为,‎ ‎①相交：直线与抛物线有两个交点；②相切：直线与抛物线有一个交点；‎ ‎③相离：直线与抛物线没有交点.‎ 注意：过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.‎ ‎（2）焦点弦：若抛物线的焦点弦为AB,,则有,.‎ ‎（3） 在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率.‎ ‎（4）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点,反之亦成立.‎ ‎5.求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：‎ 步 骤 含 义 说 明 ‎1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标.‎ 建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标.‎ (1) 所研究的问题已给出坐标系,即可直接设点.‎ (2) 没有给出坐标系,首先要选取适当的坐标系.‎ ‎2、现(限)：由限制条件,列出几何等式.‎ 写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}‎ 这是求曲线方程的重要一步,应仔细分析题意,使写出的条件简明正确.‎ ‎3、“代”：代换 用坐标法表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0‎ 常常用到一些公式.‎ ‎4、“化”：化简 化方程f(x,y)=0为最简形式.‎ 要注意同解变形.‎ ‎5、证明 证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.‎ 化简的过程若是方程的同解变形,可以不要证明,变形过程中产生不增根或失根,应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围).‎ 注意：这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化.‎ ‎1．【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（二）】已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，面积的最大值为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作关于轴对称的两条不同直线分别交椭圆于与，且，证明直线过定点，并求的面积的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设，则，‎ 设，则.‎ 解得.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设方程为，联立，‎ 得，‎ 点睛：求定点，定值问题常见的方法有两种：‎ ‎(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎2．【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设是椭圆的右顶点，过点作两条直线分别与椭圆交于另一点，若直线的斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.‎ ‎【解析】分析: （Ⅰ）由题意布列关于a，b的方程组，解之即可；（Ⅱ）设直线，与椭圆方程联立可得，利用根与系数的关系表示直线的斜率之积为，可得值，从而得证.‎ 详解: （Ⅰ）依题意：，解得，即椭圆；‎ ‎（Ⅱ）设直线，‎ 则，‎ 点睛: 定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.‎ ‎ 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎3．【山东省肥城市2018届高三适应性训练】已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，.‎ ‎（1）当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；‎ ‎（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点，，且（其中是坐标原点），求的取值范围. ‎ ‎【解析】分析：(1)先根据垂直平分线定义得 ，再根据圆的半径得 ，最后根据椭圆定义确定轨迹，并求标准方程，(2)先设直线：，，，则，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简，最后解不等式得的取值范围.‎ 详解：（1）由题意是线段的垂直平分线，‎ 所以，‎ 所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，‎ ‎∴，，，‎ 故点的轨迹方程是. ‎ 点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.‎ ‎4．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟】设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .‎ ‎（1）求椭圆的方程;‎ ‎（2）若上存在两点，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形的面积的最小值.‎ ‎【解析】分析：（）由题意可知及，即可求得和的值，求得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）讨论直线的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线 的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可求得最小值.‎ ‎∴ ‎ ‎，令，‎ 则 ，‎ 综上 ‎ 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎5．【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】已知椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为，顶角为的等腰三角形．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设、、是椭圆上三动点，且，线段的中点为，，求的取值范围．‎ ‎∴椭圆 ‎（2）设，，，‎ 由 ‎∴，得：‎ 当的斜率不存在时，，‎ 由,，得，∴，‎ 当的斜率存在时，设 得：，‎ ‎，‎ 由点在椭圆上得得：，此时总成立 又，‎ ‎6．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟】已知椭圆的焦距为，离心率为，圆，是椭圆的左右顶点，是圆的任意一条直径，面积的最大值为2.‎ ‎（1）求椭圆及圆的方程；‎ ‎（2）若为圆的任意一条切线，与椭圆交于两点，求的取直范围.‎ ‎【解析】分析：(1)易知当线段AB在y轴时，，，结合 可求，可求椭圆方程和圆的方程； 学 . ‎ ‎（2）设直线L方程为：y=kx+m,直线为圆的切线，，‎ 直线与椭圆联立，，得，利用弦长公式 点睛：本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是难题．‎ ‎7．【江西省临川一中2018届高三模拟考试】已知的直角顶点在轴上，点为斜边的中点，且平行于轴.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线与的另一个交点为.以为直径的圆交轴于即此圆的圆心为,‎ 求的最大值.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设的中点的坐标为，根据,得即；（2）（2）讨论BC的斜率，求出圆P的半径和横坐标，计算最小值，进而得到的最大值.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． ‎ ‎8．【四川省双流中学2018届高三考前第二次模拟考试】在平面直角坐标系中，点、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为，点在双曲线上，不在轴上的动点 与动点关于原点对称，且四边形的周长为.‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程；‎ ‎(2)过点的直线交的轨迹于，两点，为上一点，且满足，其中，求的取值范围.‎ 方程为：.‎ ‎(2)由题意可知该直线存在斜率，设其方程为且.‎ 由得，‎ ‎∴，得，‎ 设，，，则，‎ 由，得，‎ 代入椭圆方程得，由得，‎ ‎∴，‎ 令，则，∴.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎9．【山东省实验中学2015级第二次模拟考试】过抛物线 的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线准线的交点为 ，点在抛物线准线上的射影为，若 的面积为 .‎ ‎（ 1 ） 求抛物线的标准方程；‎ ‎（ 2 ） 过焦点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与相交于点，与轴交于点，求证： .‎ 联立消去得，得，‎ ‎，设，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 得点坐标，‎ 由，得，‎ ‎,‎ 所以，即.‎ 点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎10．【河北省石家庄二中2018届高三三模】已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点的坐标为，点坐标为，且直线轴，过点作直线与椭圆交于，两点（，在第一象限且点在点的上方），直线与交于点，连接.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，问：的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由.‎ 所以 点睛：圆锥曲线的定值问题会涉及到曲线上的动点及动直线，常用解题步骤为：‎ 设动点和动直线、即引入参数；‎ 结合已知条件将目标式用参变量表示，‎ ‎（3）通过化简消参求得定值.‎ 设而不求、整体思想和消元思想的运用可有效的简化运算.‎ ‎11．【河南省安阳35中2018届高三核心押题卷一】已知椭圆的上顶点为，点,是上且不在轴上的点，直线与交于另一点，若的离心率为，的最大面积等于 ‎.‎ ‎（Ⅰ）求的方程，‎ ‎（Ⅱ）若直线分别与轴交于点,试判断是否为定值.‎ 形即可求值， 。可 所以 ‎ ，‎ 则为定值 点睛：（1）求椭圆或双曲线的方程，就是求的值，求值时注意的运用；‎ ‎（2）解决解析几何中的定值问题，应在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少。‎ ‎12．【辽宁省凌源二中2018届高考三模】设是坐标原点,是抛物线的焦点,是该抛物线上的任意一点，当它与轴正方向的夹角为60°时,.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)已知,设是该抛物线上的任意一点,是轴上的两个动点,且，当取得最大值时,求的面积.‎ 所以，抛物线的方程为 ‎（2）因为所以点在线段的中垂线上，‎ 设，则 所以 所以 当且仅当时等号成立，此时 所以.‎ 点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.‎ ‎13．【河南省2017-2018学年 高三最后一次模拟考试】设是坐标原点, 是抛物线的焦点, 是该抛物线上的任意一点,当与轴正方向的夹角为时, .‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)已知,设是该抛物线上的任意一点, 是轴上的两个动点,且，,当计取得最大大值时，求的面积.‎ 所以,抛物线的方程为.‎ ‎(2)因为,所以点在线段的中垂线上，‎ 设,则，‎ 所以，，‎ ‎ ，‎ 所以 .‎ 当且仅当时等号成立,此时.‎ 所以 .‎ 点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． ‎ ‎ ‎ ‎14．【河北省武邑中学2018届高三下学期第四次模拟】已知椭圆，为左焦点，为上顶点，为右顶点，若，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为.‎ ‎（1）求的标准方程；‎ ‎（2）是否存在过点的直线，与和交点分别是和，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.‎ 联立方程组，得，由韦达定理得，所以，‎ 若，则，即，解得，‎ 所以存在符合题意的直线方程为或.‎ 点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.‎ ‎15．【湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题】已知椭圆：，过上一动点作轴，垂足为点．当点满足时，点的轨迹恰是一个圆．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若与曲线切于点的直线与椭圆交于，两点，且当轴时，，求的最大面积．‎ 当轴时，切点为与轴的交点，即，‎ 此时，，即，‎ 故：，：．‎ 设直线：（斜率显然存在），，，‎ 由直线与相切知，，即，‎ 联立直线与椭圆的方程 得，‎ 其中，‎ 点睛：（1）本题主要考查轨迹方程和椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析转化推理能力计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求，其二是求|AB|的最大值，本题利用的是换元后利用基本不等式解答，也可以平方后利用导数解答.‎ ‎ ]‎