2019-2020学年浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2019-2020学年浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学高一上学期期中联考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学高一上学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合， ，那么=( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先化简两集合，再求并集，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 所以，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查求集合的并集，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎2．函数的定义域是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，得到，且，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，且，得到，且，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.‎ ‎3．函数的单调递增区间是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由解析式求出定义域，再令，根据复合函数单调性的判定原则，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由，得到，令，则在上递减，而在上递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到在上递增，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查求复合函数单调区间，熟记复合函数单调性的判定原则即可，属于常考题型.‎ ‎4．已知函数，则的最大值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数单调性，分别求出和时的最大值，比较大小，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，任取，‎ 则，‎ 当时，，即，函数单调递增；‎ 当时，，即，函数单调递减；‎ 所以；‎ ‎（2）当时，单调递减，所以；‎ 而，所以，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查求分段函数的最值，熟记函数单调性的定义，根据函数单调性即可判断出结果，属于常考题型.‎ ‎5．函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据一次函数单调性与指数函数单调性，逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数单调递增，所以排除AC选项；‎ 当时，与轴交点纵坐标大于1，函数单调递增，B选项错误；‎ 当时，与轴交点纵坐标大于0小于1，函数单调递减；D选项正确.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图像的识别，熟记函数单调性即可，属于常考题型.‎ ‎6．若实数满足 ，其中，且，则( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，分别讨论和两种情况，结合对数函数的性质，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 当时， ，得到，所以．‎ 当时， ，得到，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查由对数不等式判断所给不等式的真假，熟记对数函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎7．已知实数是函数的一个零点，若，则( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由基本初等函数单调性得到在上递增，根据，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为与是增函数，则在上递增，且，‎ 因此，当时，有，即.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调性的应用，熟记基本初等函数单调性即可，属于常考题型.‎ ‎8．设函数为定义在上的奇函数，且当时，（其中为实数），则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由函数奇偶性，结合题意求出，计算出，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为为定义在上的奇函数，当时，，‎ 则，解得，则，‎ 所以，因此.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记奇偶性的概念即可，属于常考题型.‎ ‎9．若函数在区间上的最大值是，最小值是，则( )‎ A.与无关，但与有关 B.与无关，且与无关 C.与有关，但与无关 D.与有关，且与有关 ‎【答案】A ‎【解析】先将函数化为，令，根据题意，得到的最大值是，最小值是，根据二次函数各系数的意义，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 令，由题意的最大值是，最小值是，‎ 而是影响图象的上下平移，此时最大和最小值同步变大或变小，故与无关，而是影响图象的左右平移，故与有关.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的应用，熟记二次函数性质即可，属于常考题型.‎ ‎10．已知函数，则关于的不等式的解集为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，可得到，且函数在上递增，原不等式等价于，根据函数单调性，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ 因此，‎ 因此关于的不等式，可化为；‎ 又单调递增，单调递增，‎ 所以在上递增；‎ 所以有，解得：.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数单调性解不等式，熟记基本初等函数的单调性，会用基本初等函数单调性判断复合函数单调性即可，属于常考题型.‎ 二、填空题 ‎11．已知全集，，，则____，____．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据交集，并集，补集的概念，结合题中条件，直接计算，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以，‎ 又，所以，‎ 因此．‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合交并补的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎12．已知是定义在上的偶函数，则实数____，此函数的单调增区间为____．‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】根据偶函数的对称轴为轴，得到，求出；根据二次函数性质，即可得出单调区间.‎ ‎【详解】‎ 因为是定义在上的偶函数，所以其对称轴为轴；‎ 即，解得；于是，‎ 显然其单调增区间为：．‎ 故答案为：2；‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数奇偶性求参数，以及求二次函数的单调区间，熟记偶函数的性质，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎13．已知幂函数的图象经过点，则函数____，若，则实数的取值范围是____．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】先设，根据函数所过定点，得到，即可求出解析式；将原不等式化为，得到，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 设幂函数，由，得到，于是；‎ 若，则，所以，解得．‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求幂函数解析式，以及由函数单调性解不等式，熟记幂函数的解析式与性质即可，属于常考题型.‎ ‎14．设函数，则____，使得的实数的取值范围是_____．‎ ‎【答案】4 ‎ ‎【解析】根据函数解析式，由内而外，逐步代入，即可求出；分和 两种情况，结合函数解析式，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，因此；‎ 当时，可化为，即显然恒成立，所以；‎ 当时，，解得；‎ 综上，.‎ 故答案为：4；‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由分段函数求函数值，以及解不等式，熟记函数的概念，以及一元二次不等式解法即可，属于常考题型.‎ ‎15．已知函数,若实数满足，且，则的取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，根据题意，得到，根据得到，进而可化为，令，用定义法判断函数单调性，进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 因为两段函数均为单调函数，实数满足，且，‎ 所以有；又，所以，于是，则，所以；‎ 令 ，任取，‎ 则，‎ 因为，所以，，‎ 因此，‎ 所以函数在上单调递增；‎ 因此，即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的应用，以及由函数单调性求值域问题，熟记函数单调性的定义，以及对数函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎16．已知实数满足，且，则=_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得到，求出或，得到或，根据，分别计算，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 解得：或，则或．‎ 当时，，则，而，得到，；‎ 当时，，则，而，得到无解，‎ 所以．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数的运算与指数幂的运算，熟记对数运算性质，以及指数幂的运算性质即可，属于常考题型.‎ ‎17．已知集合，若是的两个非空子集，则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为____．‎ ‎【答案】49‎ ‎【解析】分中的最大数为，中的最大数为，中的最大数为，中的最大数为，四种情况，根据题意列举出满足条件的集合，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 当中的最大数为，即时，，，，，，，，，，，，，，，；‎ 所以满足题意的集合对的个数为个；‎ 当中的最大数为，即时，，，，，，，；即满足题意的集合对的个数为个；‎ 当中的最大数为，即时，，即满足题意的集合对的个数个；‎ 当中的最大数为，即时，，即满足题意的集合对的个数为个；‎ 所以总共个数为49个．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的应用，灵活运用子集的概念，用列举法表示集合即可，属于常考题型.‎ 三、解答题 ‎18．已知，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求；‎ ‎（Ⅱ）当时，若，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）解集合中对应不等式，化简集合，再由交集的概念，即可得出结果；‎ ‎（Ⅱ）根据得到，由，得到，根据集合包含关系，列出不等式求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由，得到，则；‎ 当时，由得，则；‎ 则；‎ ‎（Ⅱ）若，则，而 当时， ，则，得到，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主考查集合的交集运算，以及由集合的包含关系求参数的问题，熟记交集的概念，集合间的基本关系，以及一元二次不等式的解法即可，属于常考题型.‎ ‎19．已知函数 ‎（Ⅰ）若，求在上的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅱ）若关于的方程在上有两个不相等实根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）最大值0，最小值；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据，得到，由二次函数性质，即可得出结果；‎ ‎（Ⅱ）由题意得到方程有两个不相等正根，得到，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）若，则，‎ 因为二次函数开口向上，对称轴为：；又，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增；‎ 因此；又，，‎ 所以；‎ ‎（Ⅱ）由关于的方程在上有两个不相等实根，可得方程有两个不相等正根，‎ 则，解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由二次函数在给定区间的最值，以及由一元二次方程根的分布求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎20．已知实数，定义域为的函数是偶函数，其中为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）求实数值；‎ ‎（Ⅱ）判断该函数在上的单调性并用定义证明；‎ ‎（Ⅲ）是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）在上递增，证明详见解析；（Ⅲ）不存在.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据函数是偶函数，得到恒成立，即恒成立，进而得到，即可求出结果；‎ ‎（Ⅱ）任取，且，根据题意，作差得到，进而可得出函数单调性；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数在上递增，由函数是偶函数，所以函数在上递减，再由题意，不等式恒成立可化为恒成立，即对任意的恒成立，根据判别式小于0，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为定义域为的函数是偶函数，则恒成立，‎ 即，故恒成立，‎ 因为不可能恒为，所以当时， 恒成立，‎ 而，所以．‎ ‎（Ⅱ）该函数在上递增，证明如下 设任意，且，则 ‎，因为，所以，且；‎ 所以，即，即；‎ 故函数在上递增．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数在上递增，而函数是偶函数，则函数在上递减．若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．则恒成立，即，‎ 即对任意的恒成立，‎ 则，得到，故，‎ 所以不存在．‎ ‎【点睛】‎ 本主要考查由函数奇偶性求参数，用单调性的定义判断函数单调性，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记函数单调性与奇偶性的定义即可，属于常考题型.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的定义域和值域；‎ ‎（Ⅱ）若函数的定义域为，值域为，求实数的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）定义域为，值域为；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，得到，由，求解，即可得出定义域；令，得到，根据判别式法，即可求出结果；‎ ‎（Ⅱ）由定义域为可得：恒成立，即，令，由于的值域为，则，又，根据判别式大于等于0，解集为，得到和是方程的两个根，由根与系数关系，列出方程组，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）若，则，由，得到 ‎，得到，故定义域为．‎ 令，则 当时，符合．‎ 当时，上述方程要有解，则，得到或，‎ 又，所以，‎ 所以，则值域为．‎ ‎（Ⅱ）由于函数的定义域为，则恒成立，则 ‎，即，令，由于的值域为，则，而 ‎，则由解得 ，故和是方程即的两个根，则，得到，符合题意．所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求函数定义域，以及由函数值域求参数的问题，熟记函数求值域的方法，以及三个二次之间关系即可，属于常考题型.‎ ‎22．已知函数，其中为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）写出函数的单调递减区间(无需证明) ；‎ ‎（Ⅲ）若实数满足，则称为的二阶不动点，求函数的二阶不动点的个数．‎ ‎【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ），；（Ⅲ）3.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据函数解析式，由内而外逐步代入即可求出结果；‎ ‎（Ⅱ）根据题意，得到函数的解析式，进而可得出其单调递减区间；‎ ‎（Ⅲ）先由题意，得到，分别讨论，，三种情况，结合函数零点存在定理，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为，，所以，‎ 所以．‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 当时，，递减区间为：；‎ 当时，，递减区间为；‎ 因此函数的单调递减区间为：，．‎ ‎（Ⅲ）由题可得：．‎ 当时，由，记，‎ 则在上单调递减，且，，‎ 故在上有唯一零点，即函数在上有唯一的二阶不动点．‎ 当时，由，得到方程的根为，即函数在上有唯一的二阶不动点．‎ 当时，由，记，‎ 则在上单调递减，且，，‎ 故在上有唯一零点，即函数在上有唯一的二阶不动点．‎ 综上所述，函数的二阶不动点有3个．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求分段函数的函数值、单调区间，以及求函数零点个数，熟记基本初等函数的单调性，以及函数零点存在定理即可，属于常考题型.‎